中學數(shù)學競賽中的反證法

摘 要：反證法作為解決中學數(shù)學競賽問題一種常用方法，有重要研究價值，本文首先介紹反證法的概念，然后研究了反證法在中學數(shù)學競賽中的運用，這部分主要引入歷年數(shù)學競賽中的典型例題，并對它進行深入研究，讓我們不僅了解何時用反證法，如何做反證法中的優(yōu)化假設，還掌握了反證中的局部反證.

關鍵詞：矛盾；反證法；命題；無限；假設

/引言/

反證法，可簡要敘述如下：從否定命題出發(fā)，通過正確的邏輯推理而得到與已知的公理、定義、定理、已知條件相矛盾的結(jié)論，從而斷定該否定是錯誤的，原命題是正確的，因而導致矛盾的原因只能是否定結(jié)論的假設造成的，從而證明原命題為真.

什么是反證法

一般地說，在證明一個命題時，從命題結(jié)論的反面入手，先假設結(jié)論的反面成立，如果由此假設推導出的結(jié)果與已知條件、已知公理、定理、定義相矛盾，或者推導出兩個互相矛盾的結(jié)果，就證明了“結(jié)論反面成立”的假設是錯誤的，從而得出結(jié)論的正面成立，這種證題方法叫做反證法.

例1 坐標都是整數(shù)的點叫做整點，試證：平面上任意三個整點都不能組成正三角形.

證法一：設平面上三個整點A，B，C組成一個正三角形.

由于上下或左右平移整數(shù)個單位，整點仍然變?yōu)檎c，因此不妨設A是原點，

因為a，b均為整數(shù)，且至少有一個不為零，所以x，y不可能均為整數(shù)，它與已知條件矛盾，故任一整點三角形都不可能是正三角形.

證法二：設A，B，C三點坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），這里每個坐標分量都是整數(shù). 若△ABC為正三角形，則△ABC至少有兩邊與Y軸不平行. 于是直線AB，AC的斜率為

kAB=，kAC=.

又由兩直線交角公式知

tanA=

.

由于kAB，kAC必為有理數(shù)，因此tanA為有理數(shù). 此與tanA=矛盾. 故原命題成立.

在上面的例子中，證法一推出了與已知條件相矛盾的結(jié)果，證法二推出了與已知定理矛盾的結(jié)果

由上面的例子可以看出，反證法的具體步驟如下：

（1）反設：做出與結(jié)論相反的假設，通常稱這種假設為反證假設.

（2）歸謬：利用反證假設、已知條件，推出與某個已知條件、已知公理、定理、定義相矛盾的結(jié)果，根據(jù)矛盾律，即在推理和論證的過程中，在同一時間、同一關系下不能對同一對象做出兩個相反的論斷，可知反證假設不成立.

（3）作結(jié)論：根據(jù)排中律，即在同一論證過程中，命題p和命題“非p”有一個且僅有一個是正確的，可知原結(jié)論成立.

何時用反證法

在以下幾種情況，我們用反證法.

1. 有些命題涉及“無限”形式的結(jié)論，如元素無限多，交點在無限遠處，數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù)等. 證明這類命題的手段不多，一般用反證法.

例2 求證：形如4n-1的自然數(shù)不是兩個自然數(shù)的平方和.

證明：（因涉及無限，所以用反證法）

若有兩個自然數(shù)x，y使x2+y2=4n-1成立，因4n-1為奇數(shù)，則x，y必為一奇數(shù)一偶數(shù)，不妨設x為奇數(shù)，y為偶數(shù)，x=2k-1，y=2t.

（2k-1）2+（2t）2=4n-1

展開整理得：

2（k2-k+t2-n）=-1 矛盾.

2. 有些命題是以否定判斷作結(jié)論.如“不存在”，“不具有某些性質(zhì)”，要用反證法.

例3 證明：不存在兩個分數(shù)，它們的和、積都是整數(shù).

證明：（以否定命題出現(xiàn)，用反證法）

若存在兩個既約分數(shù)，，它們之和、積都是整數(shù).

+=p，·=q. 由韋達定理知：，是x2-px+q=0的兩個根. 于是，

-p

+q=0，即=pm1-qn1（此式右端為整數(shù)），

但不是整數(shù)，所以不是整數(shù)，矛盾.

3. 命題不易證明時.

例4 在空間中給出8個已知點，其中任何4點都不共面，今知以它們?yōu)槎它c連有17條線段，證明：這些線段至少形成了一個三角形.

證明：假設這17條線段沒有形成任何一個三角形. 并設A點是這8個點中連出線段的數(shù)目最多的點. 假定由A共連出了n條線段，它們分別連向B1，B2，…，Bn . 于是在B1，B2，…，Bn中的任何兩點之間都沒有線段相連（否則就會形成三角形了）. 這樣一來，即使從其余7-n個點中的每個點也都連出了n條線段，那么線段的總數(shù)目也僅有n+（7-n）n=（8-n）·n≤=16條，而與已知條件中的17條相矛盾. 可見這些線段至少形成了一個三角形.

反證法假設中的優(yōu)化假設

先看一個例子.

例5 求證：方程x3-2y3-4z3=0無正整數(shù)解.

證明：若方程有正整數(shù)解（x0，y0，z0），則x-2y-4z=0，

得x0為偶數(shù)，令x0=2x1，代入上式得

4x-y-2z=0.

于是，y0為偶數(shù)，令y0=2y1，代入上式得：

2x-4y-z=0.

又可知z0=2z1，代入上式得

x-2y-4z=0.

故（x1，y1，z1）也是原方程的一個正整數(shù)解.

證到這里并無矛盾出現(xiàn)，如果繼續(xù)往下做，顯然會進入一個新的循環(huán)之中.要打破這一僵局，最好用優(yōu)化假設.

我們把證明一開始的那句“若方程有正整數(shù)解（x0，y0，z0）”改成“若方程有正整數(shù)解，則在方程的所有正整數(shù)解中必存在一組正整數(shù)解（x0，y0，z0），使得對于方程任一組正整數(shù)（x′，y′，z′）都滿足不等式x≤x′”. 證明的以后語句不變，得到（x1，y1，z1）是方程的解后，接著就可寫“因為x1

一般地，在反證法的使用過程中，恰當?shù)剡x擇一類量，并作出關于這類量的某個最大量或最小量的假設，叫做反證法的優(yōu)化假設，反證法中個優(yōu)化假設可以打破證明中的僵局，迅速找出矛盾.

其他證法中的局部反證

先看下面一個例子.

例6 設E是平面上2n個點構(gòu)成的集合，其中任意三點不共線，現(xiàn)將其中n個點涂成紅色，n個點涂成藍色，試證：總可找到兩兩沒有公共點的n條線段，使其中每條線段的兩個端點不同色.

證明：n個紅點、n個藍點兩兩配對的方法記為P，這樣的配對方法共有n！種.

另S（P）表示配對方法P所對應的n條端點不同色的線段的長度和. 于是，必存在配對方法P，使S（P）=min{S（P）}.

配對方法P所對應的n條端點不同色的線段必不相交.不然的話，若存在兩條線段AB與CD相交，則用AD，BC代替AC，BD，其他點間的連接方式不變，就可得到一個新的配對方式P ′.由于AC+BD>AD+BC，因此S（P）>S（P ′），此與P的定義矛盾.

故用配對方式P可以組成沒有公共點的n條線段的兩個端點都不同色.

本題的證明從整體上看屬于構(gòu)造性證法，它首先構(gòu)造了配對方法P來證明存在性，但從局部看，證明的最后一部分是反證法，用來證明所構(gòu)造的P符合本題的要求. 因此，這是構(gòu)造性證明中的局部反證.

局部反證在其他證法中也時有出現(xiàn)，它成為邏輯推理中一種常用的思維方式.

例7 已知集合 M由整數(shù)組成，其最小元素是1，最大元素是100. 集合M中除1的每個數(shù)都等于該集合中的兩個（允許是同一的）數(shù)之和，求集合的元素M個數(shù)的最小可能值.

解：最小可能值是9，事實上，當M={1，2，3，6，12，24，25，50，100}時，滿足題目的條件，此時

結(jié)束語

筆者個人認為，對反證法的理解，應先從命題的定義入手，一個數(shù)學命題，就是一個判斷句，它是由題設和結(jié)論構(gòu)成的，一個命題是真，就是從題設出發(fā)能夠依邏輯推理推出結(jié)論，我們要問在推理時，僅從幾個題設條件出發(fā)，不加入其他因素，憑邏輯推理能完成推證嗎？這是不可能的，可見，推證時，除了依據(jù)題目給出的顯性條件，還要結(jié)合這個題目所在的有關知識體系中的定義、公理、定理才能完成證明，這樣說來，對題設應有一個界定問題，各個數(shù)學命題中的已知條件和命題所在知識體系中的有關定義、公理、定理皆稱為命題的題設. 可見，命題的題設包括顯性與隱性兩種，在反證法中，對原結(jié)論的否定是一個必須有的題設，故利用反證法時，有三種題設：隱性（定義、公理、定理），顯性（已知條件），新題設（原結(jié)論的否定）. 當然這是在正文中的例題得出的啟示. 因此，我們在競賽中應根據(jù)具體題型運用反證法.