談平面向量與三角形的“四心”

摘 要：近幾年在高考題中的向量題型，常常是以向量形式給出一些條件，讓學(xué)生判斷其具備平面幾何的某種性質(zhì)，如三角形的“四心”. 本文就是對(duì)這類(lèi)題型的規(guī)律進(jìn)行探索，呈現(xiàn)解決這類(lèi)問(wèn)題的方法.

關(guān)鍵詞：四心；重心定理；垂心定理；歐拉定理

三角形的“四心”，即三角形的重心、垂心、外心和內(nèi)心.將向量與三角形的“四心”結(jié)合，是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn). 現(xiàn)結(jié)合近幾年的高考題，分析向量與三角形的“四心”的常見(jiàn)題型和解決方法.

三角形的重心，是三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)，常用的結(jié)論：三角形的重心到頂點(diǎn)的距離與到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1；三角形的垂心，是三角形三條高的交點(diǎn)；三角形的外心，也是三角形外接圓的圓心，是三角形三條邊的中垂線(xiàn)的交點(diǎn)；三角形的內(nèi)心，也是三角形內(nèi)切圓的圓心，是三角形三個(gè)角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn).

將平面向量與三角形的內(nèi)心相結(jié)合考查

例1 O是平面上的一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足=+λ

+

，λ∈[0，+∞），則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的

（ ）

A. 外心 B. 內(nèi)心

C. 重心 D. 垂心

解析：因?yàn)槭窍蛄康膯挝幌蛄?，設(shè)與方向上的單位向量分別為e1，e2. 又-=，則原式可化為=λ（e1+e2），由菱形的基本性質(zhì)知，AP平分∠BAC，所以在△ABC中，AP平分∠BAC，則知選B.

點(diǎn)評(píng)：這道題給人的印象是既新穎，又陌生，但考查的都是最基礎(chǔ)的知識(shí). 新穎在將平面向量與三角形的四心相結(jié)合；陌生在表示什么，不知道. 考查的是基本知識(shí)，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)及單位向量等，比如：一個(gè)非零向量除以它的模就是一個(gè)單位向量，若對(duì)此類(lèi)知識(shí)非常熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，則解這道題一點(diǎn)問(wèn)題也沒(méi)有了.

將平面向量與三角形的垂心相結(jié)合考查“垂心定理”

例2 P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若·=·=·，則P是△ABC的（ ）

A. 外心 B. 內(nèi)心

C. 重心 D. 垂心

解析：由·=·得·-·=0，

即·（-）=0，所以·=0，

則PB⊥CA. 同理PA⊥BC，PC⊥AB，

所以P為△ABC的垂心. 故答案為D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算及“若兩個(gè)非零向量的數(shù)量積為零，則這兩個(gè)向量所在直線(xiàn)垂直”、三角形的垂心定義等相關(guān)知識(shí). 它將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及兩個(gè)向量的數(shù)量積為零的充要條件等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合.

將平面向量與三角形的重心相結(jié)合考查“重心定理”

例3 若O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且++=0，則O是△ABC的（ ）

A. 內(nèi)心 B. 外心

C. 垂心 D. 重心

解析：由++=0，得+= -，

如圖以O(shè)B、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則+=，

由平行四邊形性質(zhì)知=，所以O(shè)A=2OE，

同理可證其他兩邊上的這個(gè)性質(zhì)，所以O(shè)是△ABC的重心，故答案為D.

點(diǎn)評(píng)：本題需要平面幾何的知識(shí)：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分及三角形重心的性質(zhì)：重心是三角形中線(xiàn)的內(nèi)分點(diǎn)，所分的比為λ=. 本題在解題的過(guò)程中，將平面向量的有關(guān)運(yùn)算與平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分及三角形重心的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)巧妙結(jié)合.

”的充要條件是“點(diǎn)O是正三角形P1P2P3的中心”.

例6 若O，H分別是△ABC的外心和垂心，求證：=++.

證明：若△ABC的垂心為H，外心為O，如圖3.

連BO并延長(zhǎng)交外接圓于D，連結(jié)AD，CD.

所以AD⊥AB，CD⊥BC.

又垂心為H，AH⊥BC，CH⊥AB，

所以AH∥CD，CH∥AD，

所以四邊形AHCD為平行四邊形，

所以==+，

所以=+=++.

點(diǎn)評(píng)：著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線(xiàn)——“歐拉線(xiàn)”；（2）三角形的重心在“歐拉線(xiàn)”上，且為外心與垂心連線(xiàn)的第一個(gè)三分點(diǎn)，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍.

平面向量與三角形的“四心”相結(jié)合考查時(shí)，首先要求掌握三角形的“四心”的概念及相關(guān)性質(zhì)；其次需要將向量等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為與三角形的中線(xiàn)、垂線(xiàn)、高或角平分線(xiàn)構(gòu)成的向量或向量的模；最后需要具備推理論證的能力和運(yùn)算求解的能力，借助于數(shù)形結(jié)合，將已知向量等式進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化，再利用平面幾何的性質(zhì)，從而解決平面向量與三角形的“四心”相結(jié)合的問(wèn)題.