圓錐曲線中一組有關(guān)定點、定直線問題探究

摘 要：圓錐曲線在高考中占有很重要的位置，也使得許多考生遭遇“滑鐵盧”. 本文主要探討圓錐曲線中一組有關(guān)定點、定直線問題，拋磚引玉，希望對讀者有所幫助.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；定點；定直線

2010年江蘇高考數(shù)學卷運算量大，區(qū)分度高，立意高遠，注重創(chuàng)新. 本文將對其中的第18題進行深入研究與再推廣.

2010年江蘇卷第18題：在平面直角坐標系xOy中，如圖1，已知橢圓+=1的左、右頂點為A，B，右焦點為F，設(shè)過點T（t，m）的直線TA，TB與此橢圓分別交于點M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2<0.

（1）設(shè)動點P滿足PF2-PB2=4，求點P的軌跡；

（2）設(shè)x1=2，x2=，求點T的坐標；

（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關(guān)）.

[x][O][y][A][B][F]

圖1

其中第（3）問的結(jié)論為過定點（1，0），其實這是文中推導的一個定理的直接應用.

文給出的定理為：

定理1：設(shè)A，B分別為橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點，P為直線l：x=u上任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓交于點M，N，則直線MN恒過定點Q

，0

.

其實，此定理在雙曲線和拋物線上也可以做進一步的推廣.

定理2：設(shè)A，B分別為雙曲線-=1（a>0，b>0）的左、右頂點，P為直線l：x=u上任意一點，若直線AP，BP分別與雙曲線交于點M，N，則直線MN恒過定點Q

，0

.

證明：設(shè)P，M，N的坐標分別為（u，v），（xM，yM），（xN，yN）.

① 若直線AP斜率存在，則可設(shè)其直線方程為y=k1（x+a）.

由y=k1（x+a），

-

=1，得（b2-a2k）x2-2a3kx-a4k-a2b2=0，

故M

，

.

同理，若直線BP斜率存在，則可設(shè)其直線方程為y=k2（x-a），

可求得N

，

.

又直線MN方程：=，

令y=0，得x=，化簡得x=，

又v=k1（u+a）=k2（u-a），即=.

故x=a·=，從而直線MN恒過定點

，0

.

②若直線AP（或BP）的斜率不存在，容易驗證定理2成立. 證畢.

定理3：設(shè)拋物線y2=2px（p>0），P為直線l：x=u上的任意一點，直線OP交拋物線于點M，PN平行于x軸且交拋物線于N，則直線MN過定點Q（-u，0）.

證明：設(shè)P坐標為（u，v），則直線OP方程為y=x，

由

y=x，

y2=2px，得y2-2py=0，

故M坐標

，

，易知N坐標

，v

，

所以MN方程為y=（x+u）.

所以MN過定點（-u，0）. 證畢.

這3個定理中的點Q、直線l也是一一對應的，與圓錐曲線的焦點、準線類似，故我們可以得到如下三個推論.

推論1：設(shè)A，B分別為橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點，P為準線l上任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓交于點M，N，則直線MN恒過l對應的焦點.

推論2：設(shè)A，B分別為橢圓-=1（a>0，b>0）的左、右頂點，P為準線l上任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓交于點M，N，則直線MN恒過l對應的焦點.

推論3：設(shè)拋物線y2=2px（p>0），P為準線l上的任意一點，直線OP交拋物線于點M，PN平行于x軸且交拋物線于N，則直線MN過焦點.

經(jīng)過筆者的進一步研究發(fā)現(xiàn)，在定理1、定理2、定理3的情況下，直線PM，PQ，PN的斜率成等差數(shù)列.

推論4：設(shè)A，B分別為橢圓+=1（a>b>0）的左、右頂點，P為直線l：x=u上任意一點，若直線AP，BP分別與橢圓交于點M，N，直線MN與x軸交于點Q，則直線PM，PQ，PN的斜率成等差數(shù)列.

證明：由定理1可知Q

，0

，

因為kAP=，kQP==，kBP=，

所以kAP+kBP=+==2kQP . 證畢.

同樣的方法可以證明以下推論：

推論5：設(shè)A，B分別為雙曲線-=1（a>0，b>0）的左、右頂點，P為直線l：x=u上任意一點，若直線AP，BP分別與雙曲線交于點M，N，直線MN與x軸交于點Q，則直線PM，PQ，PN的斜率成等差數(shù)列.

推論6：設(shè)拋物線y2=2px（p>0），P為直線l：x=u上的任意一點，直線OP交拋物線于點M，PN平行于x軸且交拋物線于N，直線MN與x軸交于點Q，則直線PM，PQ，PN的斜率成等差數(shù)列.

推論4、5、6有沒有更加一般性的結(jié)論呢？經(jīng)過筆者的深入研究，發(fā)現(xiàn)了如下定理.

定理4：設(shè)橢圓方程為+=1（a>b>0），P為直線l：x=上任意一點，MN是過定點Q（m，0）的橢圓的一條動弦，則直線PM，PQ，PN的斜率成等差數(shù)列.

證明：設(shè)直線MN的方程x=m+tcosθ，

y=tsinθ，（其中t為參數(shù)）

代入橢圓方程得

（b2cos2θ+a2sin2θ）t2+2mb2cosθ·t+b2（m2-a2）=0，

所以t1+t2=，t1t2= …………①

又M（m+t1cosθ，t1sinθ），N（m+t2cosθ，t2sinθ）

所以kPM+kPN=+=. 將韋達定理①式代入并化簡得：kPM+kPN==2kPQ. 證畢.

定理5：設(shè)雙曲線方程為-=1（a>0，b>0），P為直線l：x=上任意一點，MN是過定點Q（m，0）的雙曲線的一條動弦，則直線PM，PQ，PN的斜率成等差數(shù)列.

證明略，可仿照定理4的方法證之.

定理6：設(shè)拋物線y2=2px（p>0），P為直線l：x=-m上的任意一點， MN過定點Q（m，0）的拋物線的一條動弦，則直線PM，PQ，PN的斜率成等差數(shù)列.

證明：設(shè)P（-m，n），M

，y1

，N

，y2

，

直線MN方程：x=ky+m，

由x=ky+m，

y2=2px，得y2-2pky-2pm=0，

所以y1+y2=2pky1y2=-2pm…………②

又kPM+kPN=+

=，

將②式代入并化簡得：kPM+kPN=-=2kPQ. 證畢.

當定理4、5、6中點P取在直線l與x軸的交點時，我們可以得到如下推論：

推論7：設(shè)橢圓方程+=1（a>b>0），P坐標為

，0

，MN是過定點Q（m，0）的橢圓的一條動弦，則kPM+kPN=0.

推論8：設(shè)雙曲線方程-=1（a>0，b>0），P坐標為

，0

，MN是過定點Q（m，0）的橢圓的一條動弦，則kPM+kPN=0.

推論9：設(shè)拋物線y2=2px（p>0），P坐標為（-m，0）， MN過定點Q（m，0）的拋物線的一條動弦，則kPM+kPN=0.

這三個推論正是文中所推導的性質(zhì)1、2、3. 故定理4、5、6可以看做是文中的三條性質(zhì)的進一步推廣.

例1 （2010年全國卷（一）第16題）已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段BF的延長線交C于點D，且=2，則C的離心率是__________.

解：不妨設(shè)橢圓方程+=1（a>b>0），令P

-，0

，

由推論7可知，kPB+kPD=0，即PB，PD關(guān)于x軸對稱，

從而P，D，B1共線，

又BF=2DF，由角平分線定理可知，PB=2PD=PB1，

故F為△PBB1的重心，所以=3c，即e=.

例2 （2010年全國卷（一）第21題）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點K（-1，0）的直線l與C相交于A，B兩點，點A關(guān)于x軸的對稱點為D.

（1）證明：點F在直線BD上。

（2）設(shè)·=，求△BDK的內(nèi)切圓M的方程.

證明：（1）由推論9可知， kFA+kFB=0，

又A與D關(guān)于x軸對稱，

所以B，F(xiàn)，D三點共線.

（2）略.