不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中

摘 要：函數(shù)中的任意性、存在性問題，是歷年高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn).這兩類問題與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等整合在一起. 本文結(jié)合函數(shù)的值域和最值，總結(jié)解決這兩類問題的四種基本模式，并結(jié)合實(shí)例說明如何解決函數(shù)中的任意性、存在性問題.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；任意性、存在性；值域

函數(shù)中的任意性、存在性問題，即恒成立和能成立問題，是歷年高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn). 這兩類問題常常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等整合在一起，能夠有效考查對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度，考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力. 這類問題都涉及函數(shù)的最值和值域，其基本模式如下：設(shè)函數(shù)y=f（x），x∈D的值域是[A，B]，則

1. 不等式f（x）≥t對(duì)于?x∈D恒成立?t≤f（x）min=A；

2. 不等式f（x）≤t對(duì)于?x∈D恒成立?t≥f（x）max=B；

3. ?x∈D，使得不等式f（x）≥t成立?t≤f（x）max=B；

4. ?x∈D，使得不等式f（x）≤t成立?t≥f（x）min=A.

實(shí)際解題時(shí)，可能涉及兩個(gè)函數(shù)或者是同時(shí)出現(xiàn)任意性和存在性情況，很多學(xué)生感到非常棘手，其實(shí)，在復(fù)雜的情況下，解題的基本思路仍然不變.下面舉例說明.

例題 已知函數(shù)f（x）=2x2-8x+t，g（x）=2x3+3x2-12x，其中t∈R.

（1）對(duì)于任意x∈[-2，3]，都有f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：令h（x）=g（x）-f（x）=2x3+x2-4x-t，x∈[-2，3]，h′（x）=2（3x-2）（x+1），則

h（x）在x∈[-2，3]的值域是[-4-t，51-t]. 依題設(shè)，h（x）min=-4-t≥0，即，t≤-4.

（2）若存在x∈[-2，3]，使得f（x）≤g（x）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：存在x∈[-2，3]，使得f（x）≤g（x），即g（x）-f（x）≥0成立?h（x）max=51-t≥0，即，t≤51.

（3）若存在x∈[-2，3]，使得f（x）=g（x）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：存在x∈[-2，3]，使得f（x）=g（x），即f（x）-g（x）=0成立?h（x）min≤0≤h（x）max，即-4≤t≤51.

（4）對(duì)于任意x1，x2∈[-2，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：函數(shù)f（x），g（x）在x∈[-2，3]的值域分別是[t-8，t+24]，[-7，45]. 對(duì)于任意x1，x2∈[-2，3]，都有f（x1）≤g（x2）成立?f（x）max≤g（x）min，t+24≤-7，即t≤ -31.

（5）對(duì)于任意x∈[-2，3]，存在x1∈[-2，3]使得f（x1）≤g（x2）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：對(duì)于任意x2∈[-2，3]，存在x1∈[-2，3]使得f（x1）≤g（x2）成立?f（x）min≤g（x）min，t-8≤-7，即t≤1.

（6）對(duì)于任意x1∈[-2，3]，存在x2∈[-2，3]使得f（x1）=g（x2）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：對(duì)于任意x1∈[-2，3]，存在x2∈[-2，3]使得f（x1）=g（x2）成立?f（x）的值域是g（x）的值域的子集，即1≤t≤21.

（7）若存在x1，x2∈[-2，3]，使得f（x1）≤g（x2）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：存在x1，x2∈[-2，3]，使得f（x1）≤g（x2）成立?f（x）min≤g（x）max，t-8≤45，即t≤53.

（8）若存在x1，x2∈[-2，3]，使得f（x1）=g（x2）成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析：存在x1，x2∈[-2，3]，使得f（x1）=g（x2）成立?f（x）與g（x）的值域的交集不是空集，即-7≤t-8≤45或-7≤t+24≤45，即-31≤t≤53.

可以看出，函數(shù)的任意性和存在性問題都用到了函數(shù)的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想，在整體上是既對(duì)立又統(tǒng)一的問題. 當(dāng)然，對(duì)于具體的問題，則需要在基本思路原則不變的情況下具體分析，才能撥云見日，順利解決問題.