圓錐曲線中向量數(shù)量積定值問(wèn)題解題策略的比較研究

摘 要：圓錐曲線中的定值問(wèn)題一直是高考中的熱點(diǎn). 本文應(yīng)用例析的方式討論向量數(shù)量積為定值的類型及相關(guān)類型的解題策略，以期從不同的解題路徑、不同的思維過(guò)程來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，從而拓展學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；向量數(shù)量積；解題策略

圓錐曲線在高考中歷來(lái)受到壓軸大題的青睞，而在眾多類型的圓錐曲線問(wèn)題中，有一類定值問(wèn)題則是圓錐曲線考查的熱點(diǎn)問(wèn)題. 所謂定值問(wèn)題，在本質(zhì)上是由曲線與直線位置關(guān)系、函數(shù)與方程、平面向量等知識(shí)點(diǎn)交匯而整合成的綜合性問(wèn)題；在形式上往往表現(xiàn)為向量的數(shù)量積或某種比例關(guān)系不受變量影響、直線斜率不受變量影響、線段和差不受變量影響等基本形式. 解決這類問(wèn)題的三種策略是直線與橢圓聯(lián)立方程組、以向量共線為橋梁、特值引入. 當(dāng)然由于選擇的解題路徑不同，思維的過(guò)程和解題的過(guò)程往往呈現(xiàn)出不同的景象，因此有必要對(duì)三種方式的解題策略做進(jìn)一步比較研究.

實(shí)踐研究：例析三種解題策略的應(yīng)用

例：已知A，B，C是橢圓+=1（a>b>0）上不同的三點(diǎn)，A

3，

，B（-3，-3），C在第三象限，線段BC的中點(diǎn)在直線OA上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求C點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上（異于A，B，C），且PB，PC分別交直線OA于M，N兩點(diǎn)，證明：·為定值.

（1）（2）過(guò)程略，解得橢圓方程為+=1，C點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，-1）.

方法一：直線橢圓聯(lián)立方程組，求解M，N坐標(biāo)

分析：要證明·為定值，只需證明其坐標(biāo)表示與參數(shù)無(wú)關(guān)即可，因此只需要用P點(diǎn)坐標(biāo)將·的坐標(biāo)表達(dá)式表示出來(lái)，證明此表達(dá)式與所設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)關(guān)即可.

設(shè)P（m，n），所以m2+2n2=27，解得PB：y+3=（x+3），PC：y+1=·（x+5）.

方法二：以向量共線為橋梁，求解M，N坐標(biāo)

分析：要證明·的值與P點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，可以將三點(diǎn)共線作為橋梁，以向量共線定理為手段，以P點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)，將M和N點(diǎn)的坐標(biāo)用P點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)表示，最終將·的坐標(biāo)表達(dá)式化簡(jiǎn)成關(guān)于P點(diǎn)坐標(biāo)的式子，約去參數(shù)即可.

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（xm，ym），N點(diǎn)坐標(biāo)為（xn，yn），P點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），OA的方程為y=x.

因?yàn)镻，M，B三點(diǎn)共線，所以∥，

方法三：特值引入，以特殊求一般

分析：數(shù)學(xué)不僅是理性思考的結(jié)果，它也需要感性的一面，因題制宜在不同的題目中選擇不同的方法，亦是提升數(shù)學(xué)解題速度的一種重要思維.因此，如果是在填空或選擇題的情境下，在題目要求求解定值時(shí)，完全沒有必要按照上述理性的分析求解過(guò)程，而采用以特殊求一般的方式，取P點(diǎn)為特殊點(diǎn)求解.

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，3），易知PB的直線方程為x=-3，直線PC的斜率為kPC=2，則直線PC的方程為y=2x+9；

比較研究：從師和生的角度反思三種解題策略的特點(diǎn)

問(wèn)題是師生溝通的主要內(nèi)容，亦是師生溝通的橋梁，因此每個(gè)問(wèn)題都可以從師生兩個(gè)層面來(lái)分析. 在教師方面每種不同的解題策略都對(duì)教師的教學(xué)和課堂推演產(chǎn)生影響；同樣，差異的解題策略對(duì)學(xué)生的思維推進(jìn)和運(yùn)算推進(jìn)也存在不同的難度.

首先，三種不同解題策略對(duì)教師教學(xué)設(shè)計(jì)影響.

（一）基于學(xué)生角度的比較研究

每道題對(duì)于學(xué)生而言，總存在著兩類困難，其一是如何將問(wèn)題分析出來(lái)，可歸納為思維的推進(jìn)層面；其二是如何將過(guò)程計(jì)算出來(lái)，可歸納為運(yùn)算的推進(jìn)過(guò)程.

首先，從思維推進(jìn)的順序性上講，三種策略均以求出M，N點(diǎn)的坐標(biāo)為出發(fā)點(diǎn)，所不同的是策略一以直線與方程的方程組為橋梁，而策略二則是以向量共線定理作為過(guò)渡，問(wèn)題的關(guān)鍵在于聯(lián)立方程組是更一般的思維，而向量共線定理的運(yùn)用則是學(xué)生思維的盲點(diǎn)，因此在思維的順序性上策略一往往是學(xué)生第一反應(yīng)的策略. 從思維推進(jìn)的流暢性上講，考慮向量共線定理在思維的起步階段就存在思維盲點(diǎn)，并且對(duì)比上述解題過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)方程組求解M，N的坐標(biāo)具有直接性，而策略二求解M，N坐標(biāo)則需要借助ym=實(shí)現(xiàn)ym和xm的轉(zhuǎn)換，因此策略二易讓學(xué)生的思維陷入阻滯狀態(tài). 總體來(lái)講，無(wú)論從思維的順序性還是思維的流暢性上講，策略三總是最佳的，但其受適用情境的限制，不適合在解答題的情境中使用.

其次，從運(yùn)算的量方面講，上述運(yùn)算的篇幅的長(zhǎng)短直觀上反映出了運(yùn)算量的差異，仔細(xì)分析可以發(fā)現(xiàn)方程求解是用兩個(gè)參數(shù)表示兩個(gè)待求的坐標(biāo)，實(shí)際上涉及了四個(gè)字母的方程求解，易出現(xiàn)運(yùn)算混亂的情況，而策略二利用ym=實(shí)現(xiàn)ym和xm的轉(zhuǎn)換，實(shí)際上回避了四個(gè)字母的代數(shù)運(yùn)算，有效地減少了計(jì)算量. 而比較三個(gè)策略，總體而言特值法的計(jì)算量是最小的，問(wèn)題的關(guān)鍵在于它由于是用特殊去代表一般，不具有普遍性，不能作為理性分析的依據(jù).

（二）基于教師角度的比較研究

對(duì)于教師而言，亦需要從兩個(gè)方面去思考，其一，如何設(shè)計(jì)教學(xué)讓學(xué)生更容易聽懂；其二是課堂上采用哪種策略更易充實(shí)課堂容量.

首先，從教學(xué)設(shè)計(jì)層面上講，這主要與思維推進(jìn)流暢性有關(guān)，從這方面講明顯策略一更易于教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，教師只需按照如下順序進(jìn)行引導(dǎo)即可：由題目中線與線的位置關(guān)系你能得到什么呢？（M，N的坐標(biāo)）；在得到M和N的坐標(biāo)后，你能用兩個(gè)坐標(biāo)做些什么呢（用它們寫向量數(shù)量積）；向量數(shù)量積的表達(dá)引領(lǐng)你如何證明題目的結(jié)論呢？（化簡(jiǎn)表達(dá)式證明結(jié)果與所設(shè)參數(shù)無(wú)關(guān)）. 而顯然利用策略二作為教學(xué)的內(nèi)容，其教學(xué)設(shè)計(jì)更需要精心準(zhǔn)確，因?yàn)閷W(xué)生在這一塊是存在思維盲點(diǎn)的，因此教學(xué)設(shè)計(jì)的首要步驟在于打通學(xué)生的思維盲點(diǎn)，讓學(xué)生將向量共線定理與題目形成聯(lián)系，然后再進(jìn)行相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì). 相比較前兩種策略，特殊法的教學(xué)設(shè)計(jì)是最為簡(jiǎn)單的，關(guān)鍵在于特殊點(diǎn)的取法，這是教師需要考慮的內(nèi)容.

其次，從課堂推演的層面講，這主要與運(yùn)算推進(jìn)過(guò)程有關(guān)，從上述運(yùn)算維度的分析可知策略一的運(yùn)算量較大，在課堂上的推演過(guò)程更加復(fù)雜，因此也更加耗時(shí)，而策略二在推演上則會(huì)比較簡(jiǎn)單，因此教師在課堂上往往會(huì)更加傾向于利用第二種方法講解. 但筆者認(rèn)為，從提升學(xué)生運(yùn)算能力的角度和應(yīng)試教育的角度來(lái)講，策略一的方法更應(yīng)讓學(xué)生掌握.

總而言之，三種策略在解決上述問(wèn)題時(shí)各有各的優(yōu)點(diǎn)，策略一易于思維，但存在運(yùn)算量上的缺陷，策略二在減小運(yùn)算方面更優(yōu)，但卻易使學(xué)生陷入思維的困境，而策略三雖然在思維和運(yùn)算上都占優(yōu)，但是受制于運(yùn)用的情境.