淺談復(fù)習(xí)課上如何講好題

摘 要：新一輪高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)又?jǐn)[在眼前，相比知識(shí)點(diǎn)多、難度大的數(shù)學(xué)學(xué)科而言，無(wú)目的性的題海訓(xùn)練已經(jīng)無(wú)法適應(yīng)新高考，如何在復(fù)習(xí)課上有針對(duì)性地講題？如何講好題？這是復(fù)習(xí)課教學(xué)更實(shí)際的教學(xué)工作.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；復(fù)習(xí)課；講題；高效；有效

高三復(fù)習(xí)教學(xué)一直以任務(wù)繁重、訓(xùn)練量大而著稱，教師在此更關(guān)心的是復(fù)習(xí)課的教學(xué)效率，如何提高復(fù)習(xí)課的效率？如何對(duì)問題進(jìn)行有效的總結(jié)？如何講透數(shù)學(xué)有代表性的問題？這是筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)最值得關(guān)注的，也是最切合復(fù)習(xí)教學(xué)實(shí)際的.

從現(xiàn)階段高三復(fù)習(xí)教學(xué)的實(shí)際來(lái)看，數(shù)學(xué)核心知識(shí)的考查是每年復(fù)習(xí)教學(xué)的核心，教學(xué)中對(duì)這樣的核心知識(shí)要進(jìn)行舉一反三的復(fù)習(xí)和總結(jié)，對(duì)具備內(nèi)在價(jià)值的試題進(jìn)行數(shù)學(xué)本質(zhì)的挖掘和延伸，對(duì)基本問題注重通性通法的講解，對(duì)巧法妙解在學(xué)情基礎(chǔ)上量力而行，更關(guān)注試題考查知識(shí)的分析和反思，這是筆者認(rèn)為我們復(fù)習(xí)講題中需要關(guān)注的. 羅增儒教授在江蘇舉辦試題研究討論班的時(shí)候，就如何講題提出了一系列的心得，其指出：要講好題首先教師要自己努力做題，只有見多識(shí)廣才能匯聚成河，才能理清思路教導(dǎo)學(xué)生. 本文將結(jié)合具體問題談一談自身的一些心得實(shí)踐.

深入挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)問題最核心的表達(dá)正是數(shù)學(xué)問題的本質(zhì). 數(shù)學(xué)問題有很多種解法，但是有些解法未能展示數(shù)學(xué)最本質(zhì)的核心，不要也罷. 華師大張奠宙教授說過：數(shù)學(xué)是美麗的、簡(jiǎn)潔的，把問題情境刪去后留下的最簡(jiǎn)潔的正是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，能通過數(shù)學(xué)情境看到問題的本質(zhì)，說明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)走在正確的路上. 因此，當(dāng)下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)教師要找到一些能反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的好題，能從不同角度思考問題，進(jìn)而以最好的方式、最本質(zhì)的解答直觸學(xué)生的心靈.

例1 設(shè)a∈R，若當(dāng)x∈（-a-1，+∞）時(shí)，不等式（2x-a+1）lg（x+a+1）≥0恒成立，則a=__________.

常規(guī)講解：x∈（-a-1，+∞）時(shí)，保證了對(duì)數(shù)的真數(shù)恒大于0，若要此不等式恒成立，則需滿足當(dāng)2x-a+1≥0時(shí)，lg（x+a+1）>0，或者當(dāng)2x-a+1≤0時(shí)，lg（x+a+1）<0. 由此列出不等式組可解得x≥

，

x>-a，或x

≤，

x<-a.兩者要同時(shí)成立，只有一種情況，即=a，即a=.

本質(zhì)探索：上述解法的求解過程不太簡(jiǎn)單，不易得到答案. 另外，如果我們能利用數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)現(xiàn)f（x）=2x-a+1與g（x）=lg（x+a+1）在定義域上都是增函數(shù)，那么可以快速得出兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)必定相等，則由f（x）=2x-a+1=0解得x=，由g（x）=lg（x+a+1）=0解得x=-a，從而由=-a解得a=. 顯然這種解法要比上述解法來(lái)得簡(jiǎn)潔易求. 但這也為學(xué)生充分挖掘、分析題中信息，揭示為何該不等式兩因子乘積大于0的本質(zhì)，自我分析、解決問題的能力提出了較高的要求. 因此，此題為學(xué)生提供了更為廣闊的發(fā)揮空間，對(duì)學(xué)生的發(fā)展具有很好的促進(jìn)作用.

多元思路開拓思維

高考數(shù)學(xué)問題的解決思路往往是多元化的，講解復(fù)習(xí)教學(xué)中的問題時(shí)不能求多、求快，而應(yīng)該求準(zhǔn)、求精. 學(xué)生個(gè)體對(duì)于問題的思路往往是單一的，但是學(xué)生整體的思路卻是多元化的，因此講題要關(guān)注學(xué)生思維的不同和差異，講題要開拓學(xué)生固有的思維方式，引導(dǎo)其進(jìn)入不擅長(zhǎng)的思維領(lǐng)域，這樣的多元化思維開拓既有助于發(fā)散思維的培養(yǎng)，也有助于學(xué)生思考問題靈活度和應(yīng)試能力的提升.

例2 在銳角△ABC中，已知B=，

-=2，則·的取值范圍是__________.

講解1：（向量的線性運(yùn)算，數(shù)量積的幾何意義）由數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)A=時(shí)，·=0；當(dāng)C=時(shí)，由投影的概念知·=12，所以·的取值范圍是（0，12）.

講解2：（向量的坐標(biāo)運(yùn)算）以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)A（x，x），則·=4x2-2x，其中x∈

，2

.

講解3：（正弦定理）由==可得b=，c=，所以·=bccosA==3cot2A+·cotA，A∈

，

.

講解4：（向量本質(zhì)的體現(xiàn)之一：極化恒等式）如圖1，由銳角三角形得：點(diǎn)A在線段DE上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），其中∠BDC=∠BCE=90°，點(diǎn)M為線段BC的中點(diǎn)，所以

∈（

，

）=（1，），所以·=-=

-1=

2-1∈（0，12）.

講解5：（向量本質(zhì)的體現(xiàn)之一：向量的投影）如圖2，由△ABC是銳角三角形得：點(diǎn)A在線段DE上運(yùn)動(dòng)（不包括端點(diǎn)），其中∠BDC=∠BCE=90°，所以·=

·

·cosA=

·

∈（0，12）.

說明：向量小題往往是學(xué)生比較畏懼的問題，筆者以這樣的問題啟發(fā)學(xué)生多元化的解決思路，尤其是后兩種揭示向量本質(zhì)的解法，讓學(xué)生在用數(shù)量積解決問題中找到了向量較為核心的知識(shí)，筆者認(rèn)為花稍多點(diǎn)的時(shí)間講解一道多元解法的向量小題，遠(yuǎn)比毫無(wú)目的講數(shù)十道題來(lái)得有針對(duì)性，這樣的復(fù)習(xí)課效率也更高，對(duì)學(xué)生思維的啟迪也更有效.

注重通法用于創(chuàng)新

高考中絕大部分問題涉及的方法基本是通性通法，也就是基本是以初等數(shù)學(xué)的方法解決初等數(shù)學(xué)問題. 比如二次函數(shù)中常見的值域、分類討論，數(shù)列中基本量的運(yùn)算和求和處理，向量中平面向量基本定理的分解，等等，這些都構(gòu)成了高考應(yīng)試的基本問題，復(fù)習(xí)教學(xué)講題要注重這些基本知識(shí)和通性通法的講解，在此基礎(chǔ)之上進(jìn)行適合學(xué)情的創(chuàng)新求解，是源于教材高于教材的最好體現(xiàn).

例3 已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f ′（x），若2f ′（x）>f（x）對(duì)任意的x∈R成立，則3f（2ln2）與2f（2ln3）的大小關(guān)系是____________. （填大于、小于或等于）

通法1：（順向思維）從條件2f ′（x）>f（x）出發(fā)，尋找解題的突破口：2f ′（x）>f（x）?2f ′（x）-f（x）>0，設(shè)g（x）=[] []?g′（x）=[] []>0?g（x）單調(diào)遞增?g（2ln2）

通法2：（逆向思維）從選項(xiàng)3f（2ln2）與2f（2ln3）出發(fā)，尋找解題的突破口：3f（2ln2）與2f（2ln3）?兩邊同除以6，得到與?構(gòu)造函數(shù)=g（x）?g′（x）=

′==>0?函數(shù)g（x）單調(diào)遞增?<?3f（2ln2）<2f（2ln3）.

創(chuàng)新：考慮到本題是小題，不妨設(shè)f（x）=ex，可以馬上比出大小. 這種特殊化的思想方法可以用來(lái)解決小題，教師在講解試題的時(shí)候?qū)τ谛☆}小做的講解策略要特別重視. 對(duì)于嚴(yán)密性并不高的小題而言，本題創(chuàng)新的特殊化思想解法顯得更為重要.

注重反思，拾級(jí)而上

教師講題需要注重對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行反思，并指導(dǎo)學(xué)生如何在解決問題的時(shí)候避免再次發(fā)生類似錯(cuò)誤，這種解題教學(xué)注重反思的表現(xiàn)往往更受學(xué)生喜歡. 從心理學(xué)研究來(lái)說，反思是一種對(duì)已有知識(shí)體系的新認(rèn)知，這種認(rèn)知不斷修補(bǔ)了存在的漏洞，對(duì)于知識(shí)整體性拾級(jí)而上很有益處. 筆者認(rèn)為，復(fù)習(xí)課中要有針對(duì)性地講好易錯(cuò)、常錯(cuò)問題，這種問題背后所形成的機(jī)制更值得教師思考，引導(dǎo)學(xué)生反思和總結(jié)，這樣的講題才是高效的、有效的.

例4 求函數(shù)f（x）=2sin2

+x

-cos2x的周期和單調(diào)增區(qū)間.

錯(cuò)誤反思：恒等變換過程中，由于對(duì)降冪公式、誘導(dǎo)公式、合一變形公式等的不熟悉，頻頻出現(xiàn)錯(cuò)誤. 有學(xué)生對(duì)2sin2

+x

=1-cos

+2x

的化解，錯(cuò)誤地化成了1+cos

+2x

；也有學(xué)生在cos

+2x

=-sin2x的化解過程中丟失了負(fù)號(hào)，化成了sin2x；還有學(xué)生在對(duì)f（x）=1+sin2x-cos2x=1+2sin

2x-

的合一變形公式中，錯(cuò)誤地化成f（x）=1+2sin

2x+

或f（x）=1+2sin

2x-

或f（x）=1+2cos

2x-

，從而致使下面發(fā)生連帶錯(cuò)誤.

說明：這些典型問題的錯(cuò)誤在于學(xué)生對(duì)公式的不熟練，因此在復(fù)習(xí)課講解這些問題時(shí)，筆者認(rèn)為教師少講多做顯得更有效果. 教師講解此題的幾分鐘，完全應(yīng)該讓學(xué)生自行對(duì)本題進(jìn)行訂正，這樣的效果來(lái)得更為直接和有效.

總之，講題的效率在復(fù)習(xí)教學(xué)中能夠直接反映教師課堂教學(xué)的基本功、學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，對(duì)于新課程下的復(fù)習(xí)教學(xué)而言，我們無(wú)法回避試題難易程度、試卷合理程度，但是我們可以通過合理的講題，讓學(xué)生在枯燥的學(xué)習(xí)中學(xué)有目的、學(xué)有所獲. 于學(xué)生而言這種講題是有針對(duì)性的，于教學(xué)而言這種講題是高效簡(jiǎn)潔的，于教師而言這種講題的實(shí)施符合教師專業(yè)化成長(zhǎng)的需求，因此在復(fù)習(xí)課上的講題需要教師自身不斷螺旋式上升的學(xué)習(xí)和積累.