在條件最值問題教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想

摘 要：為了提高高中生的解題水平，高中數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解決條件最值問題. 在解決條件最值問題時要體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生利用條件最值問題深入理解數(shù)學(xué)思想. 本文分析了在條件最值教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想的意義，指出在條件最值教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想的范圍，重點論述了在條件最值教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的方法.

關(guān)鍵詞：條件最值問題；數(shù)學(xué)思想；方法

已知f（x，y）=0，求g（x，y）的最值，即為條件最值. 目前高考中經(jīng)常出現(xiàn)條件最值的題目，部分高中生不能解決較為復(fù)雜的條件最值問題，為了提高高中生的解題水平，高中數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解決條件最值問題，引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)思想.

在條件最值教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想的意義

部分高中生常常應(yīng)用一種方法解決數(shù)學(xué)問題：遇到數(shù)學(xué)問題以后，翻看數(shù)學(xué)課本或教參，看書本上有沒有類似的習(xí)題，如果有相似的習(xí)題，就照著該習(xí)題的思路做習(xí)題；如果找不到類似的習(xí)題，就去問老師或同學(xué). 高中生不能獨立地解決數(shù)學(xué)問題，意味著他們還沒有掌握解決數(shù)學(xué)問題的工具. 高中數(shù)學(xué)教師要在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會從宏觀的角度考慮數(shù)學(xué)問題，結(jié)合數(shù)學(xué)思想找到解決數(shù)學(xué)問題的途徑，從而高效率地解決數(shù)學(xué)問題.高中數(shù)學(xué)教師只有引導(dǎo)學(xué)生靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想，才能提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的水平.

條件最值問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題、方程問題、數(shù)形問題等，如果學(xué)生不能結(jié)合數(shù)學(xué)思想看待條件最值數(shù)學(xué)問題，就根本不能迅速地找到解決數(shù)學(xué)問題的方法. 高中數(shù)學(xué)教師可在條件最值問題的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)思想.

在條件最值教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)思想的范圍

數(shù)學(xué)思想，是以一種極宏觀、極抽象的思路思考數(shù)學(xué)問題，然后將解決數(shù)學(xué)問題的方法進行分類，找到數(shù)學(xué)問題最佳切入點的一種思想. 高中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，要學(xué)會從具象的數(shù)學(xué)問題中抽象出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，找到數(shù)學(xué)問題的規(guī)律，然后找到最適合解決這一數(shù)學(xué)問題的途徑來解決之. 高中數(shù)學(xué)教師可在條件最值教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生掌握最常見的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、整體思想、轉(zhuǎn)化思想、隱含條件、類比思想、建模思想，這些數(shù)學(xué)思想能夠成為高中生解決數(shù)學(xué)問題的利器. 數(shù)學(xué)教師不僅可在條件最值教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用這些思想，還可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)解決數(shù)學(xué)問題的需要創(chuàng)新數(shù)學(xué)思想.

在條件最值教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的方法

1. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的優(yōu)勢

當(dāng)高中數(shù)學(xué)教師試圖引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想時，有些學(xué)生提出：“有什么必要掌握它？它不過是說明一種解決數(shù)學(xué)問題的方法. 實際上遇到數(shù)學(xué)問題時，參看數(shù)學(xué)課本中的例題，不是能夠借鑒這些例題來解決我們遇到的數(shù)學(xué)問題嗎？”此時，數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生看到，在遇到數(shù)學(xué)問題時，漫無目的地找數(shù)學(xué)例題，從中借鑒的方法可能不是最優(yōu)解決我們遇到的數(shù)學(xué)問題的方法. 數(shù)學(xué)思想描述了解決數(shù)學(xué)問題的方向，如果我們建立了數(shù)學(xué)思想，就能從宏觀的高度迅速找到解決數(shù)學(xué)問題的切入點，而不必依靠數(shù)學(xué)課本中的例題. 以數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生思考習(xí)題1為例：已知實數(shù)x，y滿足x2+4y2≤4，求z=2x+y的取值范圍.

教師可引導(dǎo)學(xué)生觀察這一習(xí)題，如果應(yīng)用課本上求取最值的公式來解答這道習(xí)題，求解的過程會變得非常煩瑣. 假若學(xué)生能夠具備應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的意識，通過轉(zhuǎn)換思想，把這道求最值的習(xí)題變成解方程和圓的問題，這個數(shù)學(xué)問題就會變得簡單. 其解題過程如下：z=2x+y可變形為y=-2x+z，即可將它視為在坐標平面內(nèi)平移，與橢圓相切時所得的方程，應(yīng)用這一思路求取y軸上的截距z，即為最值.

將直線與橢圓相切的方程組定義為x2+4y2=4，

y=-2x+z.

該方程組有兩個相等的實數(shù)解.

將方程組轉(zhuǎn)化為x2+4（-2x+z）2=4，即17x2-16xz+4z2-4=0，求這個方程的實數(shù)根.

所以Δ=（-16z）2-4×17（4z2-4）=0，于是可得z=±，所以zmin=-，zmax=.

數(shù)學(xué)教師要在條件最值問題的教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生了解到應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的優(yōu)勢，只有學(xué)生愿意了解數(shù)學(xué)思想，他們才愿意積極地吸收與數(shù)學(xué)思想相關(guān)的知識.

2. 引導(dǎo)學(xué)生熟悉應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的方法

數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用方法計有十種以上，如果學(xué)生不能熟悉這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用方法，就不能用它解決數(shù)學(xué)問題. 數(shù)學(xué)教師在開展數(shù)學(xué)教學(xué)時，為學(xué)生精選習(xí)題，讓學(xué)生通過做數(shù)學(xué)習(xí)題熟悉數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用方法.

條件最值問題涉及計算的問題、圖形的問題、極限的問題、比較的問題，學(xué)生在解決條件最值問題的時候必須要應(yīng)用到數(shù)學(xué)思想，否則無法有效解決條件最值問題. 習(xí)題1談到了極值問題的轉(zhuǎn)換思想應(yīng)用的方法，現(xiàn)在用習(xí)題2說明在極值問題中數(shù)形問題轉(zhuǎn)換的方法.

習(xí)題2：設(shè)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個極值點x1，x2，并且x1.

教師可引導(dǎo)學(xué)生看到，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法能夠輕易地解決第一個問題.

解析：f ′（x）=2x+=（x>-1）. 設(shè)φ（x）=2x2+2x+a=0在（-1，+∞）內(nèi)有兩個不等根x1，x2，φ（x）的對稱軸為x=-. 作圖（圖略），由圖可知：

φ（0）=φ（-1）=a>0，又Δ=4-8a>0，所以0

數(shù)學(xué)教師可通過精選數(shù)學(xué)習(xí)題的方式，引導(dǎo)學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的方法，當(dāng)學(xué)生能夠熟悉的應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的理論以后，這些思想將會化為學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的利器.

3. 引導(dǎo)學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的途徑

部分學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題的時候，發(fā)現(xiàn)一個學(xué)習(xí)障礙：數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用方法計有十種以上，我遇到數(shù)學(xué)問題的時候，應(yīng)當(dāng)應(yīng)用哪種數(shù)學(xué)思想呢？數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)思想時，學(xué)會分析、比較、歸納數(shù)學(xué)問題的特征，讓學(xué)生能夠結(jié)合實際的數(shù)學(xué)問題找到最佳數(shù)學(xué)思想應(yīng)用的方法.

條件最值問題是一種能夠多角度應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)問題，高中數(shù)學(xué)教師可在條件最值問題教學(xué)中，通過典型的習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)問題的特點，找到最佳應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的方法. 以數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生思考習(xí)題3為例：已知x2+y2=16，求x+y的最大值和最小值. 該題可從數(shù)個角度來分析，找到解決數(shù)學(xué)問題的方法.

應(yīng)用方程角度分析. 這種方法是從等式的角度來分析條件最值的問題，假如其等式特征比較明顯，就可以把這一題中的某個數(shù)學(xué)問題替換成等式方程的問題，應(yīng)用方程相等的特性找到解決數(shù)學(xué)問題的途徑.

應(yīng)用換元角度分析. 換元，是從把復(fù)雜問題變成簡單問題的角度來思考數(shù)學(xué)問題的一種方法，是把其中某一元的問題換成另一個元的問題，用另一個元的視角解決數(shù)學(xué)問題. 假如目前條件最值問題與另一個元的問題對應(yīng)，另一個元存在更簡潔的解決問題途徑，就可以用換元的方法處理數(shù)學(xué)問題. 比如在這一題中，如果把x2+y2=16視為三角函數(shù)的問題，于是該題的二元問題就變成一元問題，該題的分析過程就變得簡單.

應(yīng)用數(shù)形角度分析. 數(shù)形思想是把抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換為直觀的圖形，應(yīng)用直觀的圖形輔助思考抽象數(shù)學(xué)問題的一種解題方法，假如把抽象的最值分析問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，就能借由分析圖形的距離、切點、焦點的方式解決最值問題. 習(xí)題1便是應(yīng)用這一思路解決數(shù)學(xué)問題.

應(yīng)用函數(shù)的角度分析，函數(shù)問題會涉及極值問題、導(dǎo)數(shù)問題、積分問題、微分問題等，這是一種討論數(shù)學(xué)問題變化規(guī)律的方法. 函數(shù)有專門解決極值問題的公式模板，如果能將條件最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，就能用函數(shù)極值公式解決數(shù)學(xué)問題.

以應(yīng)用方程的角度解決習(xí)題3為例，解答過程如下：現(xiàn)設(shè)t=x+y，那么可得y=t-x，將y=t-x代入原等式可得x2+（t-x）2=16，即可得2x2-2tx+（t2-16）=0. 方程中的x為實數(shù)，由此可將以上方程轉(zhuǎn)化為Δ=（2t）2-8（t2-16）≥0，那么可得t2≤32，并且t2=32時，可得x=-2或x=2，因此可知-4≤t≤4. 于是可得x=2與x=-2時，tmax=4且tmin=-4. 因此，x+y的最大值為4，最小值為-4.

數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生接觸各種條件最值習(xí)題，讓學(xué)生在做習(xí)題的過程中逐漸理解數(shù)學(xué)問題的特征，當(dāng)學(xué)生積累了足夠的解題經(jīng)驗以后，當(dāng)他們再一次看到數(shù)學(xué)問題時，便能夠憑借經(jīng)驗分析出哪種數(shù)學(xué)思想是解決這一數(shù)學(xué)問題的最佳途徑.