高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)應(yīng)注重“審題”教學(xué)

摘 要：應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的終極目標(biāo)，然而在實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的應(yīng)用能力有待加強(qiáng). 因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程的始終都應(yīng)注重學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，加大應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)力度. 本文主要從注重“審題”這個(gè)角度結(jié)合具體例子深入闡述應(yīng)用題教學(xué).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用題教學(xué)；審題步驟；審題能力

著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾這樣論述數(shù)學(xué)的應(yīng)用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，無(wú)處不用到數(shù)學(xué).”伴隨著素質(zhì)教育的實(shí)施，聯(lián)系實(shí)際，貼近生活的數(shù)學(xué)應(yīng)用題已經(jīng)走入各省市的試卷之中. 它引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，使其在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)數(shù)學(xué)與自然以及人類(lèi)社會(huì)的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心. 解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首先要在閱讀材料、理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將實(shí)際問(wèn)題經(jīng)過(guò)抽象概括，利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；再利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究，從而得出結(jié)論.

數(shù)學(xué)應(yīng)用題可以說(shuō)是江蘇高考的一大特色，幾年來(lái)持續(xù)考查，從未間斷，但從閱卷現(xiàn)場(chǎng)來(lái)看，學(xué)生得分率不是很理想，究其原因，主要是學(xué)生審題不清，沒(méi)有準(zhǔn)確的審題，就無(wú)法進(jìn)入分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的環(huán)節(jié)，導(dǎo)致學(xué)生放棄解答或者草草幾筆了事. 那么對(duì)于應(yīng)用題而言究竟該如何審題，本文試借助于2014年江蘇高考應(yīng)用題來(lái)闡述審題能力的培養(yǎng).

案例：2014年江蘇高考應(yīng)用題

真題再現(xiàn) （2014年江蘇高考第18題）如圖1，為了保護(hù)河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時(shí)設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū).規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護(hù)區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80m. 經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處， 點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處（OC為河岸），tan∠BCO=. （1）求新橋BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)OM多長(zhǎng)時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大？

1. 分層理解

文字語(yǔ)言分為幾個(gè)層次？初步可劃分為4個(gè)，第一層：開(kāi)始的一句話，介紹了問(wèn)題的背景以及主要話題——建立新橋、設(shè)立圓形保護(hù)區(qū)；第二層：建立新橋與保護(hù)區(qū)的具體要求；第三層：基本元素之間的數(shù)量關(guān)系；第四層：解題目標(biāo)——新橋的長(zhǎng)度、保護(hù)區(qū)面積何時(shí)最大.

2. 分類(lèi)整理

依據(jù)上述初步分析，很容易感知到主要信息集中在兩個(gè)對(duì)象新橋（線段BC），保護(hù)區(qū)（圓M）上，但相對(duì)比較分散，采用列表的方式，則可以比較清晰地抓住要領(lǐng)，見(jiàn)表1.

3. 分步反推1——新橋BC的長(zhǎng)

（1）題目的條件是什么，一共幾個(gè)，怎樣理解？初步來(lái)看有四個(gè).

條件1：“點(diǎn)A位于點(diǎn)O正北方向60m處， 點(diǎn)C位于點(diǎn)O正東方向170m處（OC為河岸）”. 結(jié)合圖形，不難辨認(rèn)出，OA⊥OC，OA=60，OC=170.如果建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0，60），C（170，0）.

條件2：“tan∠BCO=”. 可以建立多種數(shù)學(xué)理解：可以理解為直線BC的斜率為-，也可以理解為∠BCO=arctan是一個(gè)定角，可以順此求出余弦、正弦值；還可以理解為直角三角形中的線段比例關(guān)系. 目前，這些形式的理解哪一個(gè)更適合本題，暫時(shí)還不清楚.

條件3：“新橋BC與河岸AB垂直”，進(jìn)一步數(shù)學(xué)化為：BC⊥AB，也可以建立多種理解：一方面是斜率之積互為負(fù)倒數(shù)；另一方面，∠AOC=∠CBA=，可以構(gòu)造出相似三角形.

（2）題目的結(jié)論是什么，一共幾個(gè)？怎樣理解？

題目的結(jié)論是求新橋BC的長(zhǎng)，即線段BC的長(zhǎng)，一種理解為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，另一種理解為圖形中的邊長(zhǎng)，具體由條件來(lái)確定.

（3）題目的條件與結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，解題的邏輯線索是什么？

思路1 由上述分析，若把線段BC的長(zhǎng)理解為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，則關(guān)鍵是求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，其邏輯線索為：線段BC的長(zhǎng)?點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離?求點(diǎn)的坐標(biāo)?求直線與直線的方程?求直線的斜率?建立直角坐標(biāo)系.

思路2 由上述分析，若把線段BC的長(zhǎng)理解為邊長(zhǎng)，則關(guān)鍵是構(gòu)造出相似三角形，

3. 分步反推2——保護(hù)區(qū)面積何時(shí)最大

（1）題目的條件是什么，一共幾個(gè)，怎樣理解？

在解答了問(wèn)題1以后，我們可以認(rèn)為條件有三個(gè).

條件1：“圓心M在線段OA上”，在直角坐標(biāo)系中，圓心可設(shè)為M（0，b），是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，圓是一個(gè)動(dòng)圓.

條件2：“與BC相切”，數(shù)學(xué)含義是半徑r=d，即動(dòng)點(diǎn)M（0，b）到定直線BC的距離，可以找到r、b之間的關(guān)系.

條件3：“古橋兩端O和A到該圓上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m”，依據(jù)圓的知識(shí)可知，圓上任意一點(diǎn)到O和A的最小距離分別為r-b，r-（60-b），所以，條件3的數(shù)學(xué)含義是r-b≥80，r-（60-b）≥80，這樣就給出了變量的取值范圍.

（2）題目的結(jié)論是什么，一共幾個(gè)？怎樣理解？

題目的結(jié)論是求保護(hù)區(qū)面積何時(shí)最大，顯然就是求圓的半徑何時(shí)最大.圓的半徑r隨著b在變化，而條件3給出了變量的取值范圍，這樣邏輯輪廓就出來(lái)了——建立變量之間的函數(shù)關(guān)系，依據(jù)定義域求出函數(shù)最值.

（3）題目的條件與結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，解題的邏輯線索是什么？

由上述分析可知，其邏輯線索為：保護(hù)區(qū)面積最大?半徑r的最值?建立r、b之間的函數(shù)關(guān)系、查找變量的取值范圍?求點(diǎn)到直線的距離、建立不等式.

4. 分步表達(dá) （略解）

（1）如圖2，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.

由條件知A（0，60），C（170，0），

直線BC的斜率kBC=-tan∠BCO= -.

又因?yàn)锳B⊥BC，所以直線AB的斜率kAB=.

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（a，b），則kBC==-， kAB==，

解得a=80，b=120.

所以BC==150.

因此新橋BC的長(zhǎng)是150 m.

（2）法1：設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OM=d m（0≤d≤60）.

由條件知，直線BC的方程為y=-·（x-170），即4x+3y-680=0.

由于圓M與直線BC相切，故點(diǎn)M（0，d）到直線BC的距離是r，

即r==.

因?qū)W為O和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，

所以r-d≥80，

r-（60-d）≥80，

即

-d≥80，

-（60-d）≥80，

解得10≤d≤35.

故當(dāng)d=10時(shí)，r=最大，即圓面積最大.

所以當(dāng)OM=10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.

法2：延長(zhǎng)OA，CB交于點(diǎn)F. 設(shè)保護(hù)區(qū)的邊界圓M與BC的切點(diǎn)為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設(shè)MD=r m，OM=d m（0≤d≤60）.

因?yàn)镺A⊥OC，所以sin∠CFO=cos∠FCO，sin∠CFO ====.

所以r=.

因?yàn)镺和A到圓M上任意一點(diǎn)的距離均不少于80 m，

所以r-d≥80，

r-（60-d）≥80，

即

-d≥80，

-（60-d）≥80，

解得10≤d≤35.

故當(dāng)d=10時(shí)，r=最大，即圓面積最大.

所以當(dāng)OM =10 m時(shí)，圓形保護(hù)區(qū)的面積最大.

關(guān)于審題的理解

從上述應(yīng)用題的解答過(guò)程我們不難看出，應(yīng)用題的審題過(guò)程應(yīng)該注意以下方面：

1. 閱讀、審題的3個(gè)要點(diǎn)

從解答過(guò)程看，數(shù)學(xué)應(yīng)用題的閱讀、審題主要應(yīng)該包括三個(gè)方面：①弄清題目的條件是什么？一共有幾個(gè)？數(shù)學(xué)含義是什么？如何表示？②弄清題目的目標(biāo)是什么？一共有幾個(gè)，其數(shù)學(xué)含義是什么？如何表示？③條件與結(jié)論有哪些數(shù)學(xué)聯(lián)系，是一種怎樣的結(jié)構(gòu)，如何實(shí)現(xiàn)兩者的溝通.

2. 審題的操作

筆者在長(zhǎng)期的教學(xué)過(guò)程中，逐步探索出審題模式——四分法審題.

第一分：分層理解 （1）將應(yīng)用題的文字語(yǔ)言，依據(jù)語(yǔ)意劃分為若干層次，概括出各層的含義，明確各層的意義與價(jià)值. （2）標(biāo)出關(guān)鍵詞語(yǔ)、專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)、易漏的地方并著重加以理解，明確其含義.

第二分：分類(lèi)整理 分類(lèi)檢索，圍繞題目中的主要對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)整理，將關(guān)于某一對(duì)象的相關(guān)語(yǔ)句集中到一起，以便于厘清關(guān)于這一對(duì)象的內(nèi)在邏輯關(guān)系. （1）強(qiáng)調(diào)的是解題監(jiān)控，回頭再閱讀，此時(shí)可依據(jù)需要回到相應(yīng)的文字語(yǔ)句中去檢索. （2）在整理過(guò)程中，如果出現(xiàn)細(xì)節(jié)不清的問(wèn)題，或有某種疑惑，再依據(jù)所畫(huà)的層次與段落，回頭仔細(xì)研讀，再次弄清關(guān)系即分類(lèi)檢索. （3）采用畫(huà)圖、列表等方式使題目含義直觀化，以便于整體把握.

分層理解、分層整理，強(qiáng)調(diào)全面性，細(xì)節(jié)性. 培養(yǎng)學(xué)生逐字逐句的閱讀習(xí)慣，要求學(xué)生在閱讀過(guò)程中必須對(duì)每個(gè)字句，每個(gè)術(shù)語(yǔ)，包括標(biāo)點(diǎn)符號(hào)，題內(nèi)括注等，都要細(xì)致地閱讀分析，做到全面準(zhǔn)確地理解內(nèi)容、含義，同時(shí)進(jìn)行初步理解，劃分出它的邏輯塊.

第三分：分步反推 （1）明確解題目標(biāo). （2）以分析法為手段，采用倒推的形式，依次查詢本題中各元素之間的關(guān)系，最好用圖形加以表示. （3）依據(jù)上述關(guān)系圖，恰當(dāng)選擇解題思路.

第四分：分步表達(dá) 依據(jù)第三步的關(guān)系圖，按照綜合法的書(shū)寫(xiě)格式順藤摸瓜，依次演算.

數(shù)學(xué)審題、閱讀是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程，而不是機(jī)械的，在此過(guò)程中既要激活對(duì)已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)，特別是關(guān)鍵詞、術(shù)語(yǔ)的含義有正確的理解，同時(shí)又要思考眾多因素之間的邏輯關(guān)系，努力實(shí)現(xiàn)已知條件與目標(biāo)之間的溝通.

關(guān)于審題能力的培養(yǎng)

1. 充分重視審題、數(shù)學(xué)閱讀的思維過(guò)程

世界著名數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾曾說(shuō)過(guò)：“與其說(shuō)讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，還不如說(shuō)讓學(xué)生學(xué)習(xí)‘?dāng)?shù)學(xué)化’”. 對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用題而言，解答過(guò)程就是一次數(shù)學(xué)化的過(guò)程，而這離不開(kāi)數(shù)學(xué)閱讀. 但學(xué)生的閱讀能力卻不是教師“講”出來(lái)的，而只能是學(xué)生“自我發(fā)展”出來(lái)的. 這就要求我們老師在平時(shí)的應(yīng)用題教學(xué)中，要重視“閱讀”的“過(guò)程教學(xué)”.

2. 真正地保證學(xué)生的自主學(xué)習(xí)

（1）不要幫學(xué)生讀題 陸游說(shuō)“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”. 建構(gòu)主義也告訴我們，學(xué)習(xí)不是簡(jiǎn)單的模仿，機(jī)械的操作，而是一種主動(dòng)建構(gòu)的過(guò)程. 因此學(xué)生審題的過(guò)程更不能由教師包辦. 不要幫學(xué)生讀題，題目展示后，教師就要閉嘴，不要喋喋不休地打擾學(xué)生思考，只有學(xué)生會(huì)閱讀了，才能在高考的考場(chǎng)上充分發(fā)揮.

（2）給出一個(gè)可行的示范與操作步驟 一方面教師要揭示審題的過(guò)程，并讓學(xué)生學(xué)會(huì)招招式式的操作；另一方面，要能激發(fā)起學(xué)生積極的心向，讓學(xué)生自覺(jué)參與“閱讀”的“過(guò)程”，自覺(jué)生成對(duì)“閱讀”的體驗(yàn)，并通過(guò)一定量的練習(xí)，最后內(nèi)化為能力.

總之，學(xué)生審題能力的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期的任務(wù)，它幾乎無(wú)捷徑可走，只有在學(xué)生自己反復(fù)的練習(xí)、教師的分析指導(dǎo)中逐步養(yǎng)成. 學(xué)生經(jīng)過(guò)了嘗試，才會(huì)有體會(huì)和感受，才會(huì)更深刻地理解教師的分析、指導(dǎo)，而教師的包辦代替只能扼殺學(xué)生的思想. 在今后教學(xué)中還要經(jīng)常提醒學(xué)生仔細(xì)讀題，認(rèn)真審題，要不斷做學(xué)生的表率，傳授他們審題的技巧及方法，提高解題的正確率，提高學(xué)生的審題能力，提高教學(xué)效果.