《e的直觀含義》的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

摘 要：人教版高中數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)了無理數(shù)e和自然對數(shù)的概念，但對其意義的闡釋很少，導(dǎo)致學(xué)生不理解e的含義與重要性，從而認(rèn)為自然對數(shù)是一種 “蠻橫”的數(shù)學(xué)規(guī)定，無實(shí)際意義. 為糾正學(xué)生以上片面的觀點(diǎn)，挖掘無理數(shù)e和自然對數(shù)的教育價值，本設(shè)計(jì)基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，通過設(shè)置細(xì)胞分裂和復(fù)利計(jì)算等兩種模擬情境，以直觀圖象和自然語言代替嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明，解讀e的直觀含義.

關(guān)鍵詞：無理數(shù)e；自然對數(shù)；教學(xué)設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)的背景

人教版高中數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)了無理數(shù)e和自然對數(shù)，但對其意義的解讀少之又少，導(dǎo)致學(xué)生不理解此無理數(shù)的含義和重要性，不理解以其為底的對數(shù)為何被稱為“自然對數(shù)”，從而認(rèn)為以e為底的自然對數(shù)是一種數(shù)學(xué)的規(guī)定，沒有實(shí)際意義. 其實(shí)，作為一個極為重要且美妙的無理數(shù)，e具有其合理性與必要性，擁有很多深刻的、發(fā)人深省的故事與應(yīng)用. 用e作對數(shù)的底不是數(shù)學(xué)家們對e有特別的偏愛，而是一些“對數(shù)運(yùn)算”的必然結(jié)果.

雖然囿于高中生的認(rèn)知水平，不可能要求他們完整地、絕對嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乩斫鈋的由來和應(yīng)用. 但如果以高中生能夠接受的直觀對e進(jìn)行適當(dāng)解讀，將極大地改變他們對e和自然對數(shù)的態(tài)度，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣.

設(shè)計(jì)的理念

數(shù)學(xué)教學(xué)要讓學(xué)生在多樣化的數(shù)學(xué)活動中感受、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索與創(chuàng)造，使學(xué)生對數(shù)學(xué)有好的理解，形成良好的數(shù)學(xué)觀. 《e的直觀含義》的教學(xué)設(shè)計(jì)體現(xiàn)了追求理解的教育價值取向，以“創(chuàng)造e的直觀解讀，幫助學(xué)生理解其合理性與必要性”為設(shè)計(jì)理念.

設(shè)計(jì)的理論

《e的直觀含義》的教學(xué)設(shè)計(jì)主要運(yùn)用了Hans Freudenthal的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”理論和Richard Skemp的二元理解理論.

（1）Hans Freudenthal的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”理論

Freudenthal認(rèn)為，每個人都有各自不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，即：“每個人都有自己生活、工作和思考著的特定客觀世界以及反映這種客觀世界的各種數(shù)學(xué)概念、它的運(yùn)算方法、規(guī)律和有關(guān)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu).” 這個定義反映數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)并不等同于客觀現(xiàn)實(shí)，它還包含個人觀察客觀現(xiàn)實(shí)所獲得的全部數(shù)學(xué)認(rèn)識. 張奠宙進(jìn)一步把學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)分為四種類型：模擬型數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、程序型數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、論證型數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、思想型數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).

《e的直觀含義》的教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，不涉及超越學(xué)生認(rèn)知水平的嚴(yán)謹(jǐn)證明. 通過設(shè)置細(xì)胞分裂和復(fù)利計(jì)算兩種模擬情境，以直觀圖象和自然語言代替嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明，解讀e的直觀含義，豐富了學(xué)生的模擬型數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和思想型數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí).

（2）Richard Skemp的二元理解理論

Skemp把理解分為“工具性理解”和“關(guān)系型理解”. “工具性理解”即知其然，而不知其所以然，注重結(jié)果；“關(guān)系性理解”即知其然且知其所以然，關(guān)注過程.

《e的直觀含義》的教學(xué)設(shè)計(jì)致力于向?qū)W生解釋引出e的合理性和必要性，幫助學(xué)生達(dá)到對e和自然對數(shù)的關(guān)系性理解.

[?] 設(shè)計(jì)的創(chuàng)新之處

（1）選題新穎，具有教學(xué)價值.尤其在情感態(tài)度價值觀方面，能夠糾正學(xué)生過去對數(shù)學(xué)一些片面的認(rèn)識，通過喜歡e開始，逐步喜歡數(shù)學(xué).

（2）選擇較小的知識點(diǎn)，有針對性，不耗費(fèi)時間. 易于學(xué)生在課堂上聚焦重點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo).

（3）彌補(bǔ)了現(xiàn)有教材及其教學(xué)的不足，是數(shù)學(xué)三維目標(biāo)得到具體落實(shí)的一個新案例.

教案

【教學(xué)對象】 中等水平及以上學(xué)校的高一學(xué)生.

【課時安排】 15分鐘.

【內(nèi)容分析】 本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了對數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)之后，對其中e和自然對數(shù)的補(bǔ)充學(xué)習(xí).它不屬于課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)內(nèi)容，卻對學(xué)生認(rèn)識e，認(rèn)識自然對數(shù)有重要意義.

【學(xué)情分析】

1. 認(rèn)知基礎(chǔ)：之前已學(xué)過對數(shù)的相關(guān)概念及其運(yùn)算性質(zhì)，理解對數(shù)運(yùn)算的本質(zhì)——乘方的逆運(yùn)算，具備對對數(shù)式進(jìn)行化簡和運(yùn)算的能力.

2. 認(rèn)知障礙：從有限到無窮的極限思想.

【教學(xué)目標(biāo)】

☆知識與技能

1. 初步理解無理數(shù)e的直觀含義，即細(xì)胞分裂中自然增長的極限、復(fù)利計(jì)算中利息增長的極限.

2. 了解e和自然對數(shù)在科學(xué)理論研究中的廣泛運(yùn)用，以及在簡化運(yùn)算方面的重大貢獻(xiàn).

☆過程與方法

通過細(xì)胞分裂和利息增長的過程，初步體會極限的思想.

☆情感態(tài)度價值觀

1. 糾正片面觀點(diǎn)：“數(shù)學(xué)概念只是一些枯燥的定義，如e，自然對數(shù)都是沒有實(shí)際意義的.”

2. 以e和自然對數(shù)為例，體會數(shù)學(xué)源于實(shí)際，對實(shí)際進(jìn)行概括和抽象，并且運(yùn)用于實(shí)際的特點(diǎn).

【教學(xué)重點(diǎn)】 e的直觀含義.

【教學(xué)難點(diǎn)】 極限過程：當(dāng)n→∞時，

1+

→2.71828….

【教學(xué)關(guān)鍵】 觀察f（n）=

1+

的圖象，直觀感受f（n）取極限的過程.

【教學(xué)方法】 情境教學(xué)法.

【教學(xué)工具】 計(jì)算機(jī)、PPT.

【教學(xué)流程設(shè)計(jì)】 見表1

【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】

（一）復(fù)習(xí)舊知，提出問題

上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了對數(shù)的有關(guān)概念：

（1））一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=logaN. 也就是說logaN是一個數(shù)，你要問它有多大，就是問a的幾次冪等于N！

（2）我們通常將以10為底的對數(shù)稱為常用對數(shù)，簡記作lgN. 將以無理數(shù)e=2.71828…為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)，簡記作lnN.

在這里，我們非常榮幸地遇上了無理數(shù)家族中一個極為重要的成員e，其重要性就算與π相比也是不遑多讓. 那么問題來了，我們很熟悉π的含義，即圓周長與直徑的比值. 但這個e呢？它有什么直觀含義？以之為底的對數(shù)為什么被稱為“自然對數(shù)”呢？本節(jié)課，老師將跟大家一起來揭開e的神秘面紗！

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過前面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步掌握對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，但對無理數(shù)e和自然對數(shù)的認(rèn)識相當(dāng)匱乏. 在此設(shè)疑是為了打破學(xué)生的認(rèn)知平衡，促使學(xué)生思考e和自然對數(shù)的由來，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的心向.

（二）探索細(xì)胞情境

我們來看一個細(xì)胞分裂的例子：有一群同種類的細(xì)胞每24小時全部分裂一次.

（1）如果不考慮死亡和變異，假設(shè)原有細(xì)胞為1單位，則1天后細(xì)胞數(shù)量增長為：1×（1+100%）1=2.

（2）然而對剛剛的模型稍加修正，考慮得更細(xì)致點(diǎn)，結(jié)果將更加貼近現(xiàn)實(shí)：其實(shí)每過12小時，也就是分裂進(jìn)行到一半時，平均就已經(jīng)產(chǎn)生了一半原數(shù)量的新細(xì)胞. 因此不妨把1天均分成兩個階段，每個階段的細(xì)胞數(shù)量都在前一個階段的基礎(chǔ)上增長50%，因此1天后細(xì)胞數(shù)量增長為：1×

1+

=2.25.

（3）倘若更精確些，把1天均分成3個階段，每個階段8小時. 每過8小時就可以產(chǎn)生倍原細(xì)胞的新細(xì)胞，新細(xì)胞具備獨(dú)立分裂的能力，那么1天后細(xì)胞總數(shù)會增至：1×

1+

=2.37037....

回到實(shí)際，這種分裂現(xiàn)象是不間斷、連續(xù)的，每分每秒都在產(chǎn)生新細(xì)胞，那么一個單位時間（24小時）最多可以得到多少個細(xì)胞呢？

為了解決上述問題，我們可以先把1天分成n個均等的階段，那么每個階段的增長率都是. 1天后細(xì)胞增長為：1×

1+

.

當(dāng)n取不同值的時候，上述式子的值會怎樣變化呢？其實(shí)，剛剛我們已經(jīng)算過n=1，2，3的情形了，發(fā)現(xiàn)上式的值是越來越大的. 那隨著n的繼續(xù)增大，是不是1×

1+

也跟著一直增大，大到多少呢？關(guān)于這個問題的答案，我們來看看計(jì)算機(jī)運(yùn)算的結(jié)果：

通過上圖，我們可以得到一個驚人的發(fā)現(xiàn)：1×

1+

雖然隨n的增大而增大，但始終跨不過一個界（2.71828…），只是越來越靠近它，最后要多近有多近.所謂要多近有多近，即任意給定一個距離ε>0，不管ε多么小，只要n取得足夠大，必能使1×

1+

與2.71828…的差距小于ε，即2.71828…-ε<1×

1+

<2.71828….

想象一下，把分裂看成是連續(xù)的過程，即把1天分為無數(shù)個片刻，即n→∞，有1×

1+

→2.71828….

也就是說當(dāng)單位時間的增長率為100%時，歷經(jīng)1個單位時間，細(xì)胞群最多拓展到2.71828…倍. 歐拉將其命名為e，含義是自然增長的極限，體現(xiàn)了大自然繁殖規(guī)律的精髓. 因此以e為底的對數(shù)，就叫做自然對數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過細(xì)胞分裂情境，學(xué)生理解e的直觀含義，了解自然對數(shù)的命名緣由，開始為e的奇妙而驚嘆.特別地，通過圖象的直觀，輔以自然語言的描述，學(xué)生突破了對1×

1+

→2.71828…的理解困難. 這一教學(xué)處理既避開了超越學(xué)生認(rèn)知水平的嚴(yán)謹(jǐn)證明，又使學(xué)生初步體驗(yàn)了取極限的過程，積累了相關(guān)的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，有利于后續(xù)導(dǎo)數(shù)乃至微積分的學(xué)習(xí).

（三）介紹利息情境

e不僅存在于自然界，在我們的社會生活中，也能尋覓到她的蹤跡. 比如在銀行的復(fù)利計(jì)算中，假設(shè)每年的復(fù)利是100%，那么存入1元，一年之后能拿到多少錢呢？答案是：1×（1+100%）1=2元.

那半年記一次利息呢？一年之后能拿到：1×

1+

=2.25元. 如果一個季度記一次利息就更好了！一年能拿到：1×

1+

=2.4414…元.

哇，如果計(jì)算利息的周期更短，短到每個月一次，每天一次，每小時甚至每秒一次，那我存一塊錢不就變土豪了？有沒有可能呀？這種增長有沒有一個上限？如果有的話，上限是多少？請同學(xué)們發(fā)表一下你們的意見？

設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合兩個情境，讓學(xué)生體會到無理數(shù)e無處不在，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生對e和自然對數(shù)的興趣.

（四）介紹e的應(yīng)用

以上，我們見識了e的直觀含義.接下來，老師還想說的是：它不僅來頭不小，而且作用很大！

（1）在科學(xué)理論研究中的廣泛運(yùn)用：只要是反映自然規(guī)律的函數(shù)關(guān)系，若是指數(shù)或?qū)?shù)形式的，則大多數(shù)以e為底，如種群的增長、螺線的方程等等.等大家學(xué)了高等數(shù)學(xué)就會和“她”經(jīng)常親密接觸！

（2）令人驚嘆的簡化運(yùn)算的功能！關(guān)于對數(shù)的發(fā)明，著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家拉普拉斯如是說：“可以把幾個月所做的運(yùn)算減少到幾天完成，由于縮短了計(jì)算工作的時間，我們可以說這種方法使天文學(xué)家的壽命被延長了一倍”. 而對數(shù)對運(yùn)算的簡化主要體現(xiàn)在對數(shù)表上，特別地，以10為底的對數(shù)表具有很大的用處，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在大部分情況下使用10進(jìn)制. 舉個例子來說明常用對數(shù)表的用處：例如我們要計(jì)算23214×43212，通過查常用對數(shù)表可得到lg23214≈4.3657，lg43212≈4.6356，故23214×43212≈104.3657×104.3656=109.0013.

這種估算在沒有計(jì)算機(jī)的十七八世紀(jì)，可以說是科學(xué)的福音！然而制作常用對數(shù)表在當(dāng)時卻是一件浩大的工程，很多數(shù)學(xué)家耗去自己大半生的時間，只為編造精度更高的對數(shù)表. 因此制表方法的改進(jìn)呼之欲出，這個時候聰明的數(shù)學(xué)家通過一番探索發(fā)現(xiàn)：以e為底編制自然對數(shù)表能夠極大地減少工作量，而利用換底公式能輕松地將自然對數(shù)表轉(zhuǎn)換成常用對數(shù)表. 以此化歸的方法，極大地簡化了編制常用對數(shù)表的難度，也再次讓e大顯神通了一回.看來它不僅僅是大自然的選擇！

設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)旨在讓學(xué)生通過了解e和自然對數(shù)的巨大應(yīng)用價值，體會其來源于現(xiàn)實(shí)，又運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)的特點(diǎn). 往大的方向說，這也是數(shù)學(xué)的重要特征，是數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生感受的方面.

（五）總結(jié)升華

本節(jié)課，我們通過細(xì)胞分裂和銀行計(jì)息的情境，對無理數(shù)e的含義進(jìn)行了探究，并簡單地了解到了一些e的運(yùn)用. 它是自然增長的極限，是銀行復(fù)利的極限，它具有很豐富的科學(xué)應(yīng)用價值，而并非無意義的、枯燥的規(guī)定. 推此及彼，大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念和原理都是源于實(shí)際的，抽象的原因往往是它們對實(shí)際進(jìn)行了更高層次的概括與抽象，使之具有普遍性，能解決一類乃至無窮的問題，這就是數(shù)學(xué)的厲害之處——通殺性.

設(shè)計(jì)意圖：通過總結(jié)，從e和自然對數(shù)升華到整個數(shù)學(xué)學(xué)科，強(qiáng)化學(xué)生對“數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，高于現(xiàn)實(shí)，具有科學(xué)價值”的認(rèn)識.

（六）開放性作業(yè)

在以下兩個主題中，任選其一，自行收集資料，然后以小文章的方式談?wù)劊?/p>

（1）e（或π）的其他奇趣故事.

（2）對數(shù)為何被譽(yù)為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大發(fā)現(xiàn)之一？

設(shè)計(jì)意圖：通過開放性作業(yè)，培養(yǎng)學(xué)生“自主查閱資料——獲取有用信息——分析解決問題”的學(xué)習(xí)能力.

【板書設(shè)計(jì)】 略

結(jié)語

新課程實(shí)施十余載，卻仍是風(fēng)雨飄搖，究其原因可能眾說紛紜，但其中至少有一點(diǎn)毋庸置疑，即三維目標(biāo)的缺失.時至今日，仍有不少教育工作者認(rèn)為情感態(tài)度價值觀是課程目標(biāo)，不屬于課堂教學(xué)目標(biāo). 然而不積跬步，何以至千里？相比于數(shù)學(xué)知識與技能的掌握，對學(xué)生影響更深遠(yuǎn)的是他們的數(shù)學(xué)觀. 這一維度的教學(xué)目標(biāo)并非虛無縹緲、不可實(shí)現(xiàn)，它就體現(xiàn)在教學(xué)活動的方方面面，取決于教師如何能動地處理教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生嘗到數(shù)學(xué)的“味道”. 《e的直觀含義》就是其中一個例子，它雖然不在教材中，卻蘊(yùn)涵著重要的教學(xué)價值，能在一定程度上改變學(xué)生對數(shù)學(xué)的片面認(rèn)識.而仍待數(shù)學(xué)教育工作者們?nèi)プ龅模闶窃诂F(xiàn)有的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容體系中挖掘更多類似的寶藏，以符合學(xué)生認(rèn)知水平的方式加以組織，成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)興趣、形成良好數(shù)學(xué)態(tài)度乃至良好數(shù)學(xué)觀的素材.