構(gòu)建現(xiàn)實(shí)主義的“數(shù)學(xué)化”

摘 要：“數(shù)學(xué)化”教學(xué)就是以“數(shù)學(xué)化”為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)，其實(shí)質(zhì)就是激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實(shí)世界的過(guò)程. 它是有效數(shù)學(xué)教學(xué)的核心和數(shù)學(xué)課程改革的關(guān)鍵. 文章就數(shù)學(xué)化的含義、教學(xué)意義、教學(xué)方法、教學(xué)案例等進(jìn)行論述.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)化；意義；方法；案例

[?] 數(shù)學(xué)化的含義

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾在他的巨著《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書中首次提出：人們?cè)谟^察、認(rèn)識(shí)和改造客觀世界的過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法來(lái)分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過(guò)程，就叫數(shù)學(xué)，即“抽象——符號(hào)——應(yīng)用”的過(guò)程.

數(shù)學(xué)化有橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化之分. 在弗賴登塔爾看來(lái)，橫向數(shù)學(xué)化“是把生活世界引向符號(hào)世界”，是從“生活現(xiàn)實(shí)”到“符號(hào)形式”的轉(zhuǎn)化，是由現(xiàn)實(shí)問(wèn)題到數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化. 從背景中識(shí)別數(shù)學(xué)→圖示化→形式化→尋找關(guān)系與規(guī)律→識(shí)別本質(zhì)→對(duì)應(yīng)到已知的數(shù)學(xué)模型（現(xiàn)實(shí)的、經(jīng)驗(yàn)的）.

“在符號(hào)世界里，符號(hào)的生成、重塑和被使用”，則是縱向數(shù)學(xué)化. 縱向數(shù)學(xué)化是在數(shù)學(xué)范疇內(nèi)對(duì)已經(jīng)符號(hào)化的問(wèn)題做進(jìn)一步抽象化處理的數(shù)學(xué)化問(wèn)題，是從“符號(hào)”到“概念”的轉(zhuǎn)化. 它是將某個(gè)關(guān)系形成一個(gè)公式，或是證明一個(gè)定律，或是對(duì)同一問(wèn)題采用不同的模型或?qū)δＰ瓦M(jìn)行加強(qiáng)、調(diào)整與完善，以致形成一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，或是由特殊情況經(jīng)過(guò)推廣從而建立起一般化的理論等，即問(wèn)題縱向深入，這都屬于數(shù)學(xué)化的縱向的成分.縱向數(shù)學(xué)化過(guò)程是：猜想公式→證明一些規(guī)則→完善模型→調(diào)整綜合模型→形成新的數(shù)學(xué)概念→一般化過(guò)程（現(xiàn)實(shí)的、構(gòu)造的）.

區(qū)分橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化時(shí)，往往有一種錯(cuò)覺(jué)：以為從具體到一般的過(guò)程是橫向數(shù)學(xué)化，而從一般到具體的過(guò)程是縱向數(shù)學(xué)化. 其實(shí)，區(qū)分橫向與縱向的標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活是否有直接的聯(lián)系. 如果上述所言的“具體”是指現(xiàn)實(shí)生活，也就是從現(xiàn)實(shí)的經(jīng)歷中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)，或者尋找、解釋抽象符號(hào)在現(xiàn)實(shí)中的意義，那么就是橫向數(shù)學(xué)化的過(guò)程. 如果上述所言的“具體”不是指現(xiàn)實(shí)生活中的具體的研究對(duì)象，而是思維中相對(duì)“具體”的數(shù)學(xué)模型，那么無(wú)論是“從具體到一般”還是“從一般到具體”，其間所進(jìn)行的數(shù)學(xué)思考以及數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，也就是“在符號(hào)世界里，符號(hào)的生成、重塑和被使用”，都是縱向數(shù)學(xué)化的過(guò)程.

在大多數(shù)情況下，橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化的界線并不分明. 有些問(wèn)題在數(shù)學(xué)化得到新的數(shù)學(xué)概念之后，還要做進(jìn)一步的工作，這也屬于數(shù)學(xué)化的一部分；對(duì)得到的結(jié)果做出解釋和說(shuō)明；對(duì)得到的模型或方法的適用范圍進(jìn)行討論；反思和分析已經(jīng)完成的數(shù)學(xué)化過(guò)程；實(shí)際應(yīng)用.

[?] 數(shù)學(xué)化的教學(xué)意義

布魯納關(guān)于兒童智力發(fā)展的研究表明，兒童的認(rèn)知發(fā)展需要經(jīng)歷三個(gè)發(fā)展階段：動(dòng)作認(rèn)知、圖形認(rèn)知和符號(hào)認(rèn)知.這三個(gè)發(fā)展階段對(duì)應(yīng)著兒童思維發(fā)展的三種水平：操作水平、表象水平和分析水平. 顧泠沅先生提出了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化的三個(gè)階段，即實(shí)物操作、表象操作和符號(hào)操作. 表象操作是一個(gè)中介，借助這個(gè)表象操作，實(shí)現(xiàn)了從動(dòng)手操作到符號(hào)表示的過(guò)渡，越過(guò)了形式化的難關(guān). 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)：“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程”. 這個(gè)過(guò)程既需要橫向數(shù)學(xué)化，也需要縱向數(shù)學(xué)化. 正如弗賴登塔爾認(rèn)為，與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不如說(shuō)是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)公理系統(tǒng)，不如說(shuō)是學(xué)習(xí)“公理化”；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)形式體系，不如說(shuō)是學(xué)習(xí)“形式化”. 他特別指出，數(shù)學(xué)本身同樣屬于現(xiàn)實(shí)世界，因而在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，我們必須要面對(duì)數(shù)學(xué)自身的數(shù)學(xué)化.

[?] 數(shù)學(xué)化的教學(xué)方法

從弗賴登塔爾關(guān)于數(shù)學(xué)化的框圖來(lái)看，他認(rèn)為現(xiàn)實(shí)世界自始至終貫穿在數(shù)學(xué)化之中，先由現(xiàn)實(shí)世界形成數(shù)學(xué)概念，再對(duì)這個(gè)概念的形成過(guò)程進(jìn)行反思，做更為抽象與形式的加工，再用它來(lái)解決現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題，通過(guò)現(xiàn)實(shí)世界的調(diào)節(jié)作用，使數(shù)學(xué)化得到進(jìn)一步的發(fā)展與演化. 所以，從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展以及應(yīng)用都體現(xiàn)數(shù)學(xué)化.對(duì)應(yīng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程來(lái)看，從現(xiàn)實(shí)世界出發(fā)，依據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)提出情境性問(wèn)題，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下或獨(dú)立地獲得數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則等等），進(jìn)一步通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的證明、重構(gòu)，形成一定的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，最后再應(yīng)用所得的數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題. 可以用一個(gè)框圖來(lái)表示“數(shù)學(xué)化”的全過(guò)程：

從上面的框圖可以看出，關(guān)注“數(shù)學(xué)化”是一個(gè)全面的連續(xù)的過(guò)程，而不是某一方面或某一階段的行為.通常從以下三個(gè)方面構(gòu)建知識(shí)：

（1）操作活動(dòng)數(shù)學(xué)化：積累豐富的感性經(jīng)驗(yàn)并由此反省抽象.

（2）數(shù)學(xué)材料邏輯化：在反省抽象理解事物本質(zhì)的基礎(chǔ)上用最簡(jiǎn)練的語(yǔ)言文字（即數(shù)學(xué)的概念、公式、定義、算式等）表達(dá)出來(lái).

（3）數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)踐化：把知識(shí)運(yùn)用到生產(chǎn)與生活實(shí)踐中，使學(xué)生能洞察到知識(shí)的“內(nèi)部境界”，而有一種“豁然開(kāi)朗”的感覺(jué). 只有讓學(xué)生經(jīng)歷“呈現(xiàn)生活情景——把問(wèn)題符號(hào)化， 概括出一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題——建構(gòu)數(shù)學(xué)模型——問(wèn)題解決”，才能培養(yǎng)他們“數(shù)學(xué)地思維”“數(shù)學(xué)地觀察生活”的意識(shí)和能力. 較為關(guān)鍵的5個(gè)步驟是：（1）辨別一類事物的不同例子；（2）找出各例子的共同屬性；（3）從共同屬性中抽象出本質(zhì)屬性；（4）把本質(zhì)屬性與原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)闹R(shí)聯(lián)系起來(lái)，使新概念與已知的有關(guān)概念區(qū)別開(kāi)來(lái)；（5）把新概念的本質(zhì)屬性推廣到一切同類事物中去，以明確它的外延. 這個(gè)過(guò)程很重要，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)核心價(jià)值——數(shù)學(xué)化.弗賴登塔爾認(rèn)為如果用雙重的二分法分別從橫向數(shù)學(xué)化和縱向數(shù)學(xué)化分類，數(shù)學(xué)教育可以分成四種類型，分別對(duì)應(yīng)著不同的哲學(xué)觀：缺少橫向數(shù)學(xué)化，也缺乏縱向數(shù)學(xué)化，是機(jī)械主義的教學(xué)；橫向數(shù)學(xué)化得到成長(zhǎng)，但縱向數(shù)學(xué)化不足，是經(jīng)驗(yàn)主義的教學(xué)；橫向數(shù)學(xué)化不足，但縱向數(shù)學(xué)化被培養(yǎng)起來(lái)，是結(jié)構(gòu)主義的教學(xué)；橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化都得到成長(zhǎng)，是現(xiàn)實(shí)主義的教學(xué).

在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，橫向數(shù)學(xué)化與縱向的數(shù)學(xué)化必須結(jié)伴同行，相輔相成，一道成長(zhǎng).為使橫向數(shù)學(xué)化與縱向數(shù)學(xué)化都得到成長(zhǎng)，就是現(xiàn)實(shí)主義的教學(xué). 這種教學(xué)從現(xiàn)實(shí)世界出發(fā)，依據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)提出情境性問(wèn)題，允許學(xué)生自己尋找解決這些問(wèn)題的方法和策略，問(wèn)題的解決過(guò)程就伴隨著“自由創(chuàng)造”以及對(duì)情境信息的“一般化”，然后在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生實(shí)現(xiàn)非形式化的、經(jīng)驗(yàn)的知識(shí)向著形式化的、一般化的數(shù)學(xué)知識(shí)的自然跨越，從而實(shí)現(xiàn)概念、規(guī)律、法則的學(xué)習(xí)，學(xué)生實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)化.

[?] 數(shù)學(xué)化的教學(xué)案例

案例1 “集合”的數(shù)學(xué)化教學(xué)過(guò)程

教師：上課！

學(xué)生：（起立）老師好！

教師：大家請(qǐng)坐.（等學(xué)生坐好后又說(shuō)）上課！

學(xué)生：（面帶疑惑地站起來(lái)）老師好！

教師：男生坐下，（稍做停頓）女生坐下.

教師：（等學(xué)生坐好后又說(shuō)）上課！

學(xué)生：（議論紛紛地站起來(lái)看著老師.）

教師：高個(gè)子坐下.

學(xué)生：（坐下了幾個(gè)，還有幾個(gè)坐下了，想想又站起來(lái)，不知該坐還是該站. 看到他們的樣子，其余學(xué)生紛紛笑了起來(lái).）

教師：（問(wèn)那幾個(gè)不知該坐該站的學(xué)生）為什么坐下后又站起來(lái)？

學(xué)生1：老師沒(méi)給出多高算高個(gè)子.

學(xué)生2：我不確定自己算不算高個(gè)子.

教師：為什么前面你就坐下了呢？

學(xué)生1：因?yàn)槲沂歉咭唬▁）班的學(xué)生，我也是男生.

教師：很好，我們班全體同學(xué)就構(gòu)成一個(gè)集合，所有男生、所有女生也分別構(gòu)成了一個(gè)集合. 同學(xué)們想一想，在初中數(shù)學(xué)中，我們接觸過(guò)哪些點(diǎn)或數(shù)的集合？

學(xué)生3：數(shù)的分類中，“正數(shù)的集合”，“負(fù)數(shù)的集合”.

學(xué)生4：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.

學(xué)生5：角平分線是到角的兩邊的距離相等的所有點(diǎn)的集合.

教師：可見(jiàn)“集合”一詞在初中數(shù)學(xué)已被廣泛使用，誰(shuí)能再舉個(gè)例子？

學(xué)生6：（學(xué)生很活躍）圖書館里所有的書. （學(xué)生紛紛贊許）

學(xué)生7：（調(diào)皮地喊）我們班的漂亮女生.

學(xué)生：（哈哈大笑，都在喊）不是集合.

教師：（也笑）為什么不是？

學(xué)生8：因?yàn)椤捌僚睕](méi)有判定標(biāo)準(zhǔn)，它的對(duì)象不確定.（學(xué)生紛紛點(diǎn)頭）

教師：那誰(shuí)能給集合一個(gè)準(zhǔn)確的定義呢？

學(xué)生9：具有共同的特征的數(shù)、式、點(diǎn)、形、物等放在一起構(gòu)成集合.

教師：還能精煉一些嗎？

學(xué)生10：有共同特征的事物集在一起形成集合.

教師：很好，某些指定對(duì)象的全體構(gòu)成集合，集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.

這樣，學(xué)生在大量的例子中形成了集合的概念，教師通過(guò)這短短的三次起立、坐下，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程，突破了本節(jié)課的難點(diǎn)——對(duì)集合元素的確定性的理解，突出了概念的本質(zhì)屬性. 有利于學(xué)生加深對(duì)集合概念的理解，完善自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

概念形成過(guò)程實(shí)質(zhì)上是抽象出某一類對(duì)象或事物的共同本質(zhì)特征的過(guò)程，是一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程. 下面筆者就結(jié)會(huì)案例1來(lái)說(shuō)明概念形成過(guò)程所需經(jīng)歷的數(shù)學(xué)化階段.

（1）辨別各種刺激模式，分化出各種刺激模式的屬性. 這些刺激模式可以是學(xué)生自己在日常生活中的經(jīng)驗(yàn)或事實(shí)，也可以是由教師提供有代表性的典型事例. 但不管是哪種刺激模式，都必須通過(guò)比較，在知覺(jué)水平上進(jìn)行分析、辨認(rèn)，根據(jù)事物的外部特征進(jìn)行概括，對(duì)各種刺激模式的各個(gè)屬性予以分化. 如，案例1中就給出了全班、男生、女生、高個(gè)子、漂亮女生以及后面的數(shù)集、點(diǎn)集等各種刺激模式讓學(xué)生辨別分化.

（2）概括出各個(gè)刺激模式的共同屬性，并提出它們的共同關(guān)鍵屬性的種種假設(shè).案例1中共同屬性有：都是某些指定的對(duì)象放在一起. 共同關(guān)鍵屬性可假設(shè)為個(gè)體要具有確定性.

（3）概括形成概念. 驗(yàn)證了假設(shè)以后，把關(guān)鍵屬性抽象出來(lái)，并區(qū)分出有從屬關(guān)系的關(guān)鍵性，使新概念與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的有關(guān)觀念分化，用語(yǔ)言概括成為概念的定義. 在案例1中，集合可以概括為“某些指定的對(duì)象集在一起稱為集合.”

（4）把新概念的共同關(guān)鍵屬性推廣到同類事物中去. 在這個(gè)過(guò)程中，我們可以用一些概念的等值語(yǔ)言來(lái)讓學(xué)生進(jìn)行判斷和推理. 案例1中，“有共同特征的事物放在一起形成集合”“某些指定的對(duì)象集在一起稱為集合”，就是集合的等值語(yǔ)言. 事實(shí)上，這個(gè)過(guò)程是使新概念與已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中比較穩(wěn)定的相關(guān)觀念建立起實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的過(guò)程，因此這是概念形成一個(gè)非常重要的步驟.

（5）用習(xí)慣的形式符號(hào)表示新概念. 通過(guò)概念形成的上述步驟，學(xué)生對(duì)概念的內(nèi)涵和外延都有了比較準(zhǔn)確的理解. 這時(shí)，就應(yīng)該及時(shí)地引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào). 如果概念的符號(hào)能夠與概念的實(shí)質(zhì)內(nèi)容建立起內(nèi)在聯(lián)系，那么，符號(hào)的掌握就可以提高學(xué)生的抽象能力、概括能力. 如案例1中集合可用大寫的拉丁字母來(lái)表示，把集中在一起的事物用大括號(hào)括起來(lái). 如A={高一（×）班同學(xué)}.

案例2 “排列”的數(shù)學(xué)化教學(xué)過(guò)程

（1）引導(dǎo)學(xué)生分析討論生活經(jīng)驗(yàn)中的實(shí)例，力求一般化，發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的一般性模式與學(xué)生討論日常生活中的一些具體問(wèn)題：

問(wèn)題1：經(jīng)過(guò)同學(xué)們推選，我們高二理化班產(chǎn)生3名正副班長(zhǎng)的候選人：劉?；?、周琴、董晨. 現(xiàn)在要確定其中2人任正、副班長(zhǎng)，共有多少種不同的結(jié)果？

問(wèn)題2：星期三上午要安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理四門課，共有多少種不同的排法？

問(wèn)題3：期中考試科目有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理、化學(xué)，一共有多少種不同的考試安排？

問(wèn)題4：2015年學(xué)校春季田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)在即，最激動(dòng)人心的項(xiàng)目就是4×100接力賽，我們高二理化班報(bào)名參加接力賽的運(yùn)動(dòng)員有董晨、張曉龍、李輝宇、嚴(yán)汝祥、黃曉林、盧玉太，共有多少種不同的戰(zhàn)術(shù)安排？

更多的問(wèn)題：7個(gè)同學(xué)排成一排，有多少種排法？從0，1，2，…，9中選6個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)6位密碼，共有多少種可能？

這些源于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的實(shí)例是學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，是最低層次上再創(chuàng)造的經(jīng)驗(yàn)素材.弗賴登塔爾強(qiáng)調(diào)：“傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)跳過(guò)這個(gè)層次，恰好是犯了一個(gè)錯(cuò)誤.”只有讓學(xué)生充分地分析討論這些具體問(wèn)題，學(xué)生的數(shù)學(xué)化思維活動(dòng)才可能達(dá)到新的層次.

在學(xué)生逐一分析、充分感知這些問(wèn)題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行邏輯化組織，抽象出更有價(jià)值的一般性問(wèn)題：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，有多少種排法？并且形成排列的定義：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)排列定義進(jìn)行思考，學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同. 元素不同，它們是不同的排列：即使元素相同，但排列順序不同，它們也是不同的排列. 如果m

學(xué)生對(duì)排列問(wèn)題、排列的概念的認(rèn)識(shí)，正是學(xué)生在最低層次上對(duì)生活經(jīng)驗(yàn)邏輯化組織的結(jié)果，同時(shí)這些認(rèn)識(shí)成果將成為下一水平層次的數(shù)學(xué)化思維對(duì)象. 教學(xué)中應(yīng)及時(shí)促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)化思維活動(dòng)向更高的水平層次發(fā)展.

（2）引導(dǎo)學(xué)生對(duì)一般性問(wèn)題進(jìn)行探究，推導(dǎo)出排列數(shù)公式，并進(jìn)行初步運(yùn)用

出于解決一般性問(wèn)題的需要，A等于多少這指明了研究的方向，也是新的數(shù)學(xué)化思維活動(dòng)的起點(diǎn). 如何來(lái)研究呢？這還需要引導(dǎo)學(xué)生回到最低層次，反思最低層次中的組織方法，對(duì)選正、副班長(zhǎng)的例子中A=12（學(xué)生在前面已用分步計(jì)數(shù)原理得到了結(jié)果）所用的方法進(jìn)行分析，建構(gòu)出模型：[4] [3]. 進(jìn)而研究A=，A=，…，A=，A=，A=，…，進(jìn)而歸納出A=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），這里n，m∈N+，并且m≤n.這個(gè)公式叫做排列數(shù)公式.

排列數(shù)公式的得出正是學(xué)生對(duì)上一層次的成果作為數(shù)學(xué)化思維對(duì)象的成果，前面已研究的特例中的共性（合理性成分、啟發(fā)性成分）被學(xué)生在數(shù)學(xué)化思維中獨(dú)立分離出來(lái)，成為新的數(shù)學(xué)化思維成果.

接著讓學(xué)生自己出一些排列數(shù)如A，A，A，并計(jì)算其結(jié)果，進(jìn)一步熟練排列數(shù)公式的計(jì)算.通過(guò)如下問(wèn)題：

（1）某年全國(guó)足球中超聯(lián)賽共有14隊(duì)參加，每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽1次，共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？

（2）①有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？②有5種不同的書，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？這些操作幫助學(xué)生從抽象回到具體，進(jìn)一步加深對(duì)排列問(wèn)題的理解.

學(xué)生在這一層次對(duì)排列數(shù)公式的操作，為數(shù)學(xué)化思維活動(dòng)進(jìn)入下一層次提供了反思的索材.

（3）進(jìn)一步探究排列數(shù)公式，加深對(duì)排列數(shù)公式的理解

在練習(xí)中不斷加深了學(xué)生對(duì)排列公式的理解，同時(shí)也促進(jìn)了學(xué)生對(duì)排列數(shù)公式的反思：排列數(shù)公式本身有什么性質(zhì)呢？通過(guò)問(wèn)題“如果A=17×16×…×5×4，那么n等于什么？m等于什么？啟發(fā)學(xué)生對(duì)排列數(shù)公式A=n（n-1）（n-2）…（n-m+1）進(jìn)行觀察，加深了學(xué)生對(duì)排列數(shù)公式結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)，這是脫離了排列問(wèn)題的具體意義的思維，完全以排列數(shù)公式本身為思維的對(duì)象的數(shù)學(xué)化思維活動(dòng).

引導(dǎo)學(xué)生觀察：

A=2×1；

A=3×2×1；

A=4×3×2×1；

A=5×4×3×2×1；

……

A=n·（n-1）·（n-2）·…·3·2·1.

使學(xué)生意識(shí)到引進(jìn)階乘符號(hào)的必要性，從而定義階乘運(yùn)算：

A=n·（n-1）·（n-2）·…·3·2·1=n！.

進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生獲得排列數(shù)公式的簡(jiǎn)潔形式：A=.通過(guò)質(zhì)疑：當(dāng)m=n時(shí)，如何理解A=？進(jìn)而理解了規(guī)定0！=1的必要性與合理性.

這一層次上數(shù)學(xué)化思維活動(dòng)對(duì)象——排列數(shù)公式就是上一層次的數(shù)學(xué)化思維結(jié)果，在對(duì)排列數(shù)公式探究的過(guò)程中，學(xué)生的新知得以發(fā)展，數(shù)學(xué)化思維活動(dòng)進(jìn)一步深入.

（4）引導(dǎo)學(xué)生全方位地對(duì)自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行回顧反思，深化新知，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法

在學(xué)生前三層數(shù)學(xué)化思維活動(dòng)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生全方位地對(duì)自己的學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)行回顧反思，是學(xué)生在元認(rèn)知水平上的思維，是學(xué)生以自身思維活動(dòng)過(guò)程和結(jié)果作為思維對(duì)象的思維活動(dòng)，這有助于學(xué)生對(duì)自身思維活動(dòng)結(jié)果和過(guò)程的認(rèn)知與體驗(yàn)，有利于學(xué)生體會(huì)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)藏的思想方法和數(shù)學(xué)研究方法，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解. 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)結(jié)果回顧，再現(xiàn)了排列問(wèn)題、元素、排列、排列數(shù)公式等陳述性知識(shí)；通過(guò)對(duì)活動(dòng)過(guò)程的回顧反思，學(xué)生體驗(yàn)到從生活中的具體實(shí)例抽象出排列問(wèn)題并建構(gòu)出排列概念的過(guò)程，體驗(yàn)到通過(guò)對(duì)特例解決過(guò)程的分析，抽取共性（合理性成分），推導(dǎo)出排列數(shù)公式的過(guò)程，體驗(yàn)到對(duì)排列數(shù)公式進(jìn)一步探究，引進(jìn)階乘運(yùn)算，簡(jiǎn)化排列數(shù)公式的過(guò)程. 通過(guò)回顧與反思，學(xué)生更加深刻體會(huì)到抽象是量化模式建構(gòu)的主要手段，是我們數(shù)學(xué)地看世界的重要方式，認(rèn)識(shí)到從特例解決過(guò)程中抽取共性（合理性）來(lái)指導(dǎo)一般問(wèn)題的解決是數(shù)學(xué)中重要的研究方法.最后通過(guò)思考題：5男5女共10個(gè)同學(xué)排成一行，（1）女生都排在一起，有幾種排法？（2）女生與男生相間，有幾種排法？（3）任何兩個(gè)男生都不相鄰，有幾種排法？（4）5名男生不排在一起，有幾種排法？（5）男生甲和男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生不能排在隊(duì)伍的兩端，有幾種排法？引導(dǎo)學(xué)生回到具體問(wèn)題，強(qiáng)化用所學(xué)排列知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)，這種應(yīng)用是學(xué)生在新的水平上的應(yīng)用，也打開(kāi)了學(xué)生新的思維空間.

讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)化地思考，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)化思維的發(fā)展，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目的. 數(shù)學(xué)教學(xué)中分析數(shù)學(xué)知識(shí)的層次性，合理地分層設(shè)計(jì)學(xué)生的數(shù)學(xué)化思維活動(dòng)過(guò)程，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)化思維在逐層深入中發(fā)展.

數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)從感性上升為理性的必由之路. 數(shù)學(xué)化思想的培養(yǎng)不是一朝一夕的事情，這項(xiàng)任務(wù)應(yīng)該貫串于整個(gè)數(shù)學(xué)教育的進(jìn)程中. 重要的是數(shù)學(xué)教育工作者要在教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)地體現(xiàn)數(shù)學(xué)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化的意識(shí)，并采取有效的措施滲透和強(qiáng)化這一思想.