基于ARMA模型的上證指數(shù)月度數(shù)據(jù)實(shí)證分析

叢 正,袁基瑜

(1.東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院,遼寧 大連 116025；2.黑龍江工程學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150050)

基于ARMA模型的上證指數(shù)月度數(shù)據(jù)實(shí)證分析

叢 正1,袁基瑜2

(1.東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院,遼寧 大連 116025；2.黑龍江工程學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150050)

上證指數(shù)是由上海證券交易所編制，反映上海證券交易市場(chǎng)的總體走勢(shì)，為投資者提供新的投資尺標(biāo)。根據(jù)美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Box Gep和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Jenkins G M提出的Box-Jenkins方法，即時(shí)間序列分析法，以2009年1月至2013年2月上證指數(shù)的月收盤價(jià)格為研究樣本，由不平穩(wěn)的原始數(shù)據(jù)經(jīng)過變換形成新的平穩(wěn)時(shí)間序列，建立ARMA模型進(jìn)行定量分析，得出相鄰6個(gè)月收盤價(jià)之間的關(guān)系模型。

上證指數(shù)；月度數(shù)據(jù)；ARMA模型

上證綜指即上海證券綜合指數(shù)(Shanghai composite index),簡(jiǎn)稱上證綜指，它是上海證券交易所編制的，以上海證券交易所掛牌上市的全部股票為計(jì)算范圍，以發(fā)行量為權(quán)數(shù)綜合，反映了上海證券交易市場(chǎng)的總體走勢(shì)。上證所將選擇已完成股權(quán)分置改革的滬市上市公司組成樣本，發(fā)布新上證綜指，以反映這批股票的市場(chǎng)走勢(shì)，為投資者提供新的投資尺標(biāo)。

新上證綜指發(fā)布以2005-12-30為基日，以當(dāng)日所有樣本股票的市價(jià)總值為基期，基點(diǎn)為1 000點(diǎn)。新上證綜指簡(jiǎn)稱“新綜指”，指數(shù)代碼為000017。新綜指當(dāng)前由滬市所有G股組成。此后，實(shí)施股權(quán)分置改革的股票在方案實(shí)施后的第二個(gè)交易日納入指數(shù)，指數(shù)以總股本加權(quán)計(jì)算。據(jù)統(tǒng)計(jì)，以2005-12-15收盤價(jià)計(jì)算，新綜指市價(jià)總值為3 927億元，流通市值為1 425億元，占市場(chǎng)的比重分別為18%及22%。隨著股權(quán)分置改革的不斷深入，新綜指占市場(chǎng)比重將逐漸增大。2005-12-15新綜指市盈率為12.14倍，比上證綜指低23.47%。新上證綜指是中國(guó)證券市場(chǎng)由權(quán)威機(jī)構(gòu)發(fā)布的反映股權(quán)分置改革實(shí)施后公司概況的指數(shù)，隨著股權(quán)分置改革的全面推進(jìn)，將不斷有新的樣本加入新上證綜指。

1 ARMA基本原理及建模步驟

1.1 ARMA模型的基本原理

ARMA模型(Auto-Regressive and Moving Average Model)是研究時(shí)間序列的重要方法，由自回歸模型(AR型)與滑動(dòng)平均模型(MA型)混合構(gòu)成。由美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家BOX GEP和英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家Jenkins G M在20世紀(jì)70年代提出的時(shí)間序列分析模型。建立ARMA模型的前提條件是，建立模型的時(shí)間序列是由零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程產(chǎn)生的，其過程的隨機(jī)性質(zhì)不變，表現(xiàn)為序列的均值、方差不隨時(shí)間T變化，在圖形上表示為所有樣本點(diǎn)都在某一水平線上下隨機(jī)地波動(dòng)。一般的ARMA(p,q)模型可表示為

時(shí)間序列yt服從(p,q)階自回歸移動(dòng)平均模型，或者記為

式中:εt為白噪聲序列，p和q都是非負(fù)整數(shù)。q=0，模型即為AR(P);p=0，模型即為MA(q)。ARMA模型是AR(P)模型和MA(q)模型的結(jié)合，其主要研究變量當(dāng)期值與若干滯后期值及誤差項(xiàng)之間的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上對(duì)后期數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，是時(shí)間序列分析中經(jīng)常要用到的模型。下面就以上證指數(shù)為例進(jìn)行實(shí)證分析。ARMA分析對(duì)象是隨機(jī)特性不變的平穩(wěn)序列，對(duì)于非平穩(wěn)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)，不能直接用ARMA模型處理，只有轉(zhuǎn)換為平穩(wěn)序列，才可以用ARMA(p,q)。

1.2 時(shí)間序列的分析工具和方法

1)ARMA的定階方法。對(duì)新生成的平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)，觀察自相關(guān)系數(shù)AC圖和偏自相關(guān)系數(shù)PAC圖，看有多少個(gè)自相關(guān)系數(shù)(偏自相關(guān)系數(shù))落在5%的置信區(qū)間之外，其余的落在區(qū)間之內(nèi)，表明該平穩(wěn)序列的移動(dòng)平均過程階數(shù)(自回歸過程的階數(shù))就為多少。若AC和PAC都沒有明顯的截尾性，則試試ARMA模型，通過反復(fù)的嘗試，有可能存在不止一組的(p,q)值都能通過識(shí)別檢驗(yàn)，這時(shí)比較它們的AIC值，選擇AIC值越小的那個(gè)模型。

2)ADF檢驗(yàn)方法。ADF檢驗(yàn)也稱為單位根檢驗(yàn)，即檢驗(yàn)時(shí)間序列是否存在單位根。一般進(jìn)行ADF檢驗(yàn)的步驟如下：①對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行檢驗(yàn)，此時(shí)第二項(xiàng)選level。如果ADF檢驗(yàn)值(t值)大于某顯著水平值(一般是5%)，則不通過檢驗(yàn)，即存在單位根，說明原始時(shí)間序列不平穩(wěn)；②對(duì)原始時(shí)間序列進(jìn)行一階差分后再檢驗(yàn)，即第二項(xiàng)選1st difference，若仍然未通過檢驗(yàn)，則需要進(jìn)行二次差分變換；③二次差分序列的檢驗(yàn)，即第二項(xiàng)選擇2nd difference，如果ADF檢驗(yàn)值(t值)小于某顯著水平值(一般是5%)，則通過檢驗(yàn)，即不存在單位根，一般到此時(shí)間序列就平穩(wěn)了。

1.3 建模步驟

ARMA模型要求時(shí)間序列必須平穩(wěn)，在確定的時(shí)間內(nèi)數(shù)據(jù)受到的影響必須大致相同。若所給序列是非平穩(wěn)的，BOXJIN提出了具有廣泛影響的建模思路，可分為以下幾步：

1)對(duì)原序列數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)，如果為非平穩(wěn)序列，可以通過差分法或?qū)?shù)變換使序列滿足平穩(wěn)條件。

2)求出觀察時(shí)間序列的樣本自相關(guān)系數(shù)AC和樣本偏自相關(guān)系數(shù)PAC等統(tǒng)計(jì)量，根據(jù)AIC(赤池準(zhǔn)則)和SC(施瓦茨準(zhǔn)則)確定ARMA模型的階數(shù)p和q。

3)利用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并進(jìn)行參數(shù)顯著性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ捅旧淼暮侠硇浴?/p>

4)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行?，即殘差的白噪音檢驗(yàn)，如果擬合模型沒有通過檢驗(yàn)，轉(zhuǎn)向步驟2)，重新選擇模型再擬合；如果通過檢驗(yàn)，可以確定模型。

5)利用擬合模型，選擇預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)序列的未來走勢(shì)。

2 對(duì)上證指數(shù)月收盤價(jià)的實(shí)證分析和預(yù)測(cè)

基于以上的建模步驟和理論介紹，選取實(shí)證研究數(shù)據(jù)。由于2008年上市公司數(shù)量的增加，上證指數(shù)收盤明顯變化，選取2009年1月至2013年12月的月上證指數(shù)收盤價(jià)格為研究樣本，對(duì)各月收盤時(shí)上證指數(shù)的變化進(jìn)行分析。

2.1 平穩(wěn)化處理

圖1 上證指數(shù)原始序列的單位根檢驗(yàn)

由圖1的單位根檢驗(yàn)可知，上證指數(shù)月收盤價(jià)原始序列Y的ADF檢驗(yàn)t統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)值為-2.328，均大于1%、5%、10%置信水平下的t檢驗(yàn)值，且其Prob.值為0.167 5,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于0.05，序列Y顯著接受存在一個(gè)單位根的假設(shè)，所以原始序列不平穩(wěn)，需要對(duì)原始序列進(jìn)行二次差分，使其平穩(wěn)化。先對(duì)Y一階差分得：di=yi+1-yi，再一階差分得：zi=di+1-di=yi+2-2yi+1+yi。于是由不平穩(wěn)序列Y經(jīng)過變換得到了平穩(wěn)的序列Z。

2.2 序列的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)

從圖2可看出，序列Z在0.05的顯著性水平下顯著拒絕存在單位根的原假設(shè)，所以認(rèn)為Z是平穩(wěn)的，可以對(duì)其建立ARMA模型。由圖3可知，平穩(wěn)時(shí)間序列Z的自相關(guān)系數(shù)呈現(xiàn)出拖尾特征，逐漸減小，偏自相關(guān)系數(shù)的前面三階不在5%的置信區(qū)間內(nèi)，所以平穩(wěn)時(shí)間序列Z為AR(3)模型。

圖2 Z的單位根檢驗(yàn)

圖3 平穩(wěn)時(shí)間序列Z的相關(guān)分析

由圖4的回歸結(jié)果可知序列Z的AR(3)模型為

(1)

圖4 Z的AR(3)模型的估計(jì)結(jié)果

圖5 AR(3)模型的殘差相關(guān)

圖6 AR(3)模型的擬合

2.3 殘差檢驗(yàn)

通過圖5可知，回歸方程的殘差序列基本上是一個(gè)0均值的平穩(wěn)序列，從圖5的回歸方程殘差序列的相關(guān)系數(shù)可以看出不存在序列相關(guān)，且模型的各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)量也很好。從圖6的擬合也可以看出，模型擬合效果非常好。

將zi=di+1-di=yi+2-2yi+1+yi代入式(1)，有

yt=1.177yt-1-0.062yt-2+0.215yt-3+

0.048yt-4-0.378yt-5+εt.

同時(shí)還預(yù)測(cè)出2014年1月、2月、3月和2013年12月份的上證指數(shù)收盤價(jià)情況，見表1。

表1 2013年12月和2014年1月～3月

3結(jié)束語(yǔ)

本文利用Box-Jenkins思想，對(duì)上證指數(shù)的月度收盤價(jià)這一時(shí)間序列進(jìn)行建模和分析，了解了金融市場(chǎng)指數(shù)變化的基本特點(diǎn)。

通過對(duì)上證指數(shù)的時(shí)間序列分析，以2009年1月至2013年12月的月上證指數(shù)收盤價(jià)為研究數(shù)據(jù)樣本，對(duì)各月收盤時(shí)上證指數(shù)的變化進(jìn)行實(shí)證分析，得出相鄰幾個(gè)月收盤價(jià)之間的關(guān)系模型：yt=1.177yt-1-0.062yt-2+0.215yt-3+0.048yt-4-0.378yt-5+εt。

ARMA模型很好地處理了非平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問題，在時(shí)間序列預(yù)測(cè)上表現(xiàn)良好。借助EVIEWS 6.0軟件，將模型用于股票指數(shù)等時(shí)間序列的研究和預(yù)測(cè)，為趨勢(shì)預(yù)測(cè)和指導(dǎo)提供幫助和支撐。當(dāng)然，因?yàn)橹笖?shù)變化的復(fù)雜性，模擬和預(yù)測(cè)還需要進(jìn)一步的研究。

[1] 馮盼,曹顯兵.基于ARMA模型的股價(jià)分析與預(yù)測(cè)的實(shí)證研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐和認(rèn)識(shí),2011,(40)22:85-89.

[2] 徐靜.ARMA模型及其應(yīng)用[J].立信會(huì)計(jì)高等?？茖W(xué)院學(xué)報(bào),2001,(15)3:21-23.

[3] 孫敬水.中級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].上海:上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2008.

[4] 高鐵梅.計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析方法與建模[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005.

[5] 叢正,許佳萍.基于ARMA模型的遼寧省農(nóng)村金融缺口測(cè)算研究[J].山東農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2013(4).

[6] 叢正.農(nóng)貸、房?jī)r(jià)與家庭人均收入——基于遼寧1980-2011數(shù)據(jù)的實(shí)證分析[J].山東農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2014(3).

[7] 何曉光，朱永軍.中國(guó)A股市場(chǎng)收益波動(dòng)的非對(duì)稱性研究[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2007(1).

[8] 王鵬，呂永健.基于消息模型的股票市場(chǎng)波動(dòng)與相關(guān)消息因素的關(guān)系研究[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2013(6).

[9] 郭璐,韓立巖,李東輝.交叉上市的信息傳遞及整合性:股改前后的變化——來自滬市A、B股的證據(jù)[J].管理世界，2009(1).

[責(zé)任編輯：郝麗英]

Empirical analysis of monthly data of the Shanghai composite index based on ARMA mdel

CONG Zheng1，YUAN Ji-yu2

(1.College of Finance； Dongbei University of Finance and Economics， Dalian 116025，China； 2. College of Economics and Management， Heilongjiang Institute of Technology， Harbin 150050，China)

The Shanghai index is compiled by the Shanghai Stock Exchange，reflecting the overall trend of stock market in Shanghai，providing investors with a new investment scale.According to the American statistician Box Gep and British statistician Jenkins G M，who put up with the BOX-Jenkins method that is the time series analysis method，combining the Shanghai composite index of month closing price as the research sample from January 2009 to February 2013，not smooth of raw data through transformation to form new stationary time series，and set up ARMA model to quantitative analysis.Finally it obtains the adjacent relationship model between the closing price of 6 months.

Shanghai index；monthly data；ARMA model

2014-10-26

沈陽(yáng)市科技局軟科學(xué)研究專項(xiàng)(F14-230-5-16)

叢 正(1973-)，男，博士研究生，研究方向：資本市場(chǎng).

F8

A

1671-4679(2015)02-0052-03