線性規(guī)劃模型在股市投資中的應(yīng)用

李麗麗

(菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 菏澤 274000)

線性規(guī)劃模型在股市投資中的應(yīng)用

李麗麗

(菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山東 菏澤 274000)

通過對(duì)線性規(guī)劃模型和股市投資方法的分析,構(gòu)建出在其上的基本數(shù)學(xué)模型,并對(duì)2014年第一季度5支股票平均收益率與風(fēng)險(xiǎn)損失率進(jìn)行分析,構(gòu)建出存款與證券投資相結(jié)合的無風(fēng)險(xiǎn)股市投資多目標(biāo)線性規(guī)劃模型,從而給出了在不同參變量取值下的投資組合,對(duì)投資者合理投資具有現(xiàn)實(shí)意義。

線性規(guī)劃模型；經(jīng)濟(jì)管理；股市投資；多目標(biāo)線性規(guī)劃

我們正處于經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的時(shí)代,也是處于能夠快速創(chuàng)造財(cái)富和積累財(cái)富的時(shí)代,人們手頭上的可操作資金越來越多,同時(shí)越來越多的人想利用這些可操作資金通過股市理財(cái)來創(chuàng)造更多的收益。眾所周知,理財(cái)是有風(fēng)險(xiǎn)的,對(duì)于一個(gè)投資者,應(yīng)如何應(yīng)用線性規(guī)劃模型合理分配理財(cái)資金才能使風(fēng)險(xiǎn)最小且收益最大。通過對(duì)股市上幾支股票進(jìn)行評(píng)估,對(duì)投資者合理投資具有指導(dǎo)和現(xiàn)實(shí)意義。

隨著2008年經(jīng)濟(jì)危機(jī)席卷全球,中國股票市場隨之產(chǎn)生較大波動(dòng),曾經(jīng)的一夜暴富演變成現(xiàn)今的資金被套,直接影響到了投資者后來的投資收益,股民們瞬間焦躁不安。為使投資者在一時(shí)間段內(nèi)不會(huì)因資產(chǎn)被全部凍結(jié)而導(dǎo)致總體理財(cái)收益驟減的現(xiàn)狀,本文將引入存款與證券投資相結(jié)合的無風(fēng)險(xiǎn)股市投資模型。

1 線性規(guī)劃模型及其基本理論

1.1 線性規(guī)劃模型的背景

中國是人力、物力豐富的國家,正從經(jīng)濟(jì)大國朝經(jīng)濟(jì)強(qiáng)國邁進(jìn)。經(jīng)濟(jì)管理中的線性規(guī)劃能夠?qū)ξ覈?jīng)濟(jì)的發(fā)展具有理論指導(dǎo)作用和現(xiàn)實(shí)意義。從起初的初等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)中的簡單應(yīng)用到后來高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)分析中的廣泛應(yīng)用,形成了不同的經(jīng)濟(jì)管理模型。從蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家康托洛維奇在1939年首次提出線性規(guī)劃問題到美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)炱章乖?951年首次把線性規(guī)劃應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域,從理論上給線性規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。從上世紀(jì)50年代開始,隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,對(duì)于線性規(guī)劃模型的求解更加簡單,隨之線性規(guī)劃模型在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用更加廣泛,發(fā)展較快[1-3]。

1.2 線性規(guī)劃模型的定義及其建立模型的方法

1.2.1 線性規(guī)劃模型的定義

定義1 線性規(guī)劃問題的常見形式為

目標(biāo)函數(shù):

約束條件:

其中:xj(j=1,2,…,n)為決策變量;aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)為工藝系數(shù);bi(i=1,2,…,m)為資源系數(shù);cj(j=1,2,…,n)為價(jià)值系數(shù),其構(gòu)成一個(gè)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型。

定義2 線性規(guī)劃問題的一般形式為

其中:行向量c=(c1,c2,…,cn)稱為目標(biāo)函數(shù)系數(shù)向量,列向量x=(x1,x2,…,xn)T稱為決策變量,b=(b1,b2,…,bm)T稱為右邊向量,矩陣

稱為約束系數(shù)矩陣。

于是線性規(guī)劃也可表示為

(LP)mincx,

定義3 線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為

同定義2中各向量的定義方法,可知線性規(guī)劃也可表示為

(LP)mincx,

s.t. Ax=b

事實(shí)上,以上定義線性規(guī)劃問題的3種形式都是等價(jià)的,也就是說,對(duì)于任一種形式的線性規(guī)劃可以變?yōu)榱硪环N形式,并且有相同的解。

定義4 一般在線性規(guī)劃問題中,D={x|Ax=b,x≥0}稱為線性規(guī)劃(LP)的可行域。若x∈D,則稱x為(LP)的可行解；若x*∈D且對(duì)任意x∈D有cx*≤cx,則稱x*為(LP)的最優(yōu)解,cx*為最優(yōu)值。

1.2.2 建立線性規(guī)劃模型的方法

1)找出其中所含的決策變量(關(guān)鍵在于分析達(dá)到目的的影響因素)。

2)確定目標(biāo)函數(shù)(所謂的目標(biāo)函數(shù)是指所要達(dá)到的目的與第一步所找出的決策變量之間的函數(shù)關(guān)系)。

3)寫出約束條件(關(guān)鍵在于尋找決策變量所受的限制條件)。

2 股市投資方法

股市運(yùn)行到每個(gè)階段都有其主導(dǎo)的投資方法，投資者需要了解不同階段起主導(dǎo)作用的操作規(guī)則[4]。每個(gè)階段都有該階段相適應(yīng)的投資規(guī)則，只有找到最適合投資方法，才能取得理想的收益。對(duì)大盤的準(zhǔn)確判斷，是投資者能否做出正確操作個(gè)股的關(guān)鍵。股市里要“看對(duì)”兩個(gè)方面：一是要看對(duì)大盤，二是要看對(duì)個(gè)股。認(rèn)清大盤在不同階段的特征，判斷大盤處于哪個(gè)階段，預(yù)測接下來的走勢，并采取相應(yīng)的投資方法。同時(shí)應(yīng)該跟隨市場的變化，變換投資方式。

另外可以用技術(shù)分析法選擇股票的投資方法，建立數(shù)學(xué)模型，借助模型分析投資比例和收益大小的關(guān)系，參考模型得到的數(shù)據(jù)選擇股票投資的方法。本文利用線性規(guī)劃模型對(duì)股市投資進(jìn)行建模和分析。

3 理性投資:多目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃在股市投資中的應(yīng)用

3.1 模型建立

模型建立之前首先做一些符號(hào)說明:xl為區(qū)間下限，xu為區(qū)間上限,那么稱[xl，xu]為一個(gè)區(qū)間數(shù);這里規(guī)定常數(shù)C用區(qū)間數(shù)[c,c]表示。

目標(biāo)函數(shù):

約束條件:

此類模型的求解通常是通過引進(jìn)兩個(gè)參變量α與β進(jìn)行求解,其中α為風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù)，β(0≤β≤1,β越趨于1,則投資者的投資收益越好)為目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化水平參數(shù)。故上述多目標(biāo)區(qū)間線性規(guī)劃模型可以轉(zhuǎn)化為帶參量的單一目標(biāo)線性規(guī)劃模型。

3.2 實(shí)例分析

某一投資者想對(duì)人民網(wǎng)、東方網(wǎng)力、東方通信、歐比特、浙江醫(yī)藥等股票進(jìn)行投資,投資者在投資前想對(duì)其進(jìn)行評(píng)估。已知2014年第一季度中國銀行活期存款利率為2.85%,各股票的證券編號(hào)以及2014年第一季度的風(fēng)險(xiǎn)損失率和平均收益率由各官方網(wǎng)站查出,如表1所示。

表1 分析實(shí)例的平均收益率和風(fēng)險(xiǎn)損失率

試尋找出合理的投資組合方式使收益最大且風(fēng)險(xiǎn)最小。

模型建立與求解:

設(shè)xit表示在時(shí)間段t內(nèi)投資編號(hào)為i證券資金占總資金的比例,再根據(jù)上表所給出的數(shù)據(jù),由此可以建立存款與證券投資相結(jié)合的無風(fēng)險(xiǎn)股市投資多目標(biāo)區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃模型。

模型1 目標(biāo)函數(shù):

maxP(xt)=[0.0285,0.0285]x0t+

[0.328,0.330]x1t+[0.115,0.116]x2t+

[0.152,0.154]x3t+[0.456,0.458]x4t+

[0.266,0.268]x5t;

minQ(xt)=[0.0335,0.0337]x1t+

[0.0109,0.0111]x2t+[0.0148,0.0150]x3t+

[0.0460,0.0462]x4t+[0.0260,0.00262]x5t.

約束條件:

即求一組變量xij(i=0,1,2,3,4,5)的值,使目標(biāo)函數(shù)maxP(xt)在上述約束條件下取值最大且minQ(xt)在上述約束條件下取值最小。

模型2 此類模型的求解通常是通過引進(jìn)兩個(gè)參變量α與β進(jìn)行求解,其中α為風(fēng)險(xiǎn)偏好系數(shù),β(0≤β≤1,β越趨于1,則投資者的投資收益越好)為目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化水平參數(shù)。故將上述多目標(biāo)區(qū)間線性規(guī)劃模型進(jìn)行優(yōu)化，構(gòu)建出等同于上述模型的帶參量的單一目標(biāo)線性規(guī)劃模型。

目標(biāo)函數(shù):

maxz=

約束條件:

此模型可以通過MATLAB[7-8]數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行求解,則求出的有效投資比例如表2所示。

表2 在不同參數(shù)下的投資比例與最優(yōu)值

從以上數(shù)據(jù)可以看出：當(dāng)α=0時(shí)，無論β取何值，都是將錢存入銀行收益最大且風(fēng)險(xiǎn)最小；當(dāng)α≠0時(shí)，無論β取何值，都是將錢投資歐比特收益最大且風(fēng)險(xiǎn)最小，同時(shí)也可以得出,無論α取何值，隨著β的增大,收益是不減的。

4結(jié)束語

本文通過收益最大化和風(fēng)險(xiǎn)最小化兩個(gè)方面建立目標(biāo)函數(shù),從而構(gòu)建出多目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃模型。通過引入?yún)⒆兞喀僚cβ,將多目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為常見的單目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃模型。通過對(duì)參變量α與β的估值,可以得出在不同情形下對(duì)這幾支股票和銀行存款之間的合理組合,對(duì)理財(cái)投資者具有極其重要的理論指導(dǎo)意義,使投資更有效。

[1] 中國人民大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.線性規(guī)劃經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(四)[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,1982：1-8.

[2] 刁在筠,劉桂真,宿潔,等.運(yùn)籌學(xué)[M].3版.北京:高等教育出版社,2007：5-15.

[3] 束金龍,聞人凱.線性規(guī)劃理論與模型應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2010：1-10.

[4] 林育鵬.現(xiàn)階段中國股票投資方法試析[J].中國證券期貨,2013(3):9-10.

[5] 路應(yīng)金,唐小我,周宗放.證券組合投資的區(qū)間數(shù)線性規(guī)劃方法[J].系統(tǒng)工程學(xué)報(bào),2004，19(1):33-37.

[6] ROMELFANGER H.Linear programming with fuzzy objective[J].Fuzzy Sets and Systems，1994.66:301-306.

[7] 董霖.MATLAB[M].北京:科學(xué)出版社,2008：74-76.

[8] 謝中華，李國棟，劉煥進(jìn)，等.MATLAB從零到進(jìn)階[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2012:308-314.

[責(zé)任編輯：劉文霞]

Application of linear programming model to the stock market investment

LI Li-li

(Department of Mathematics,Heze University，Heze 274000,China)

According to the analysis of the linear programming model and economic management，a basic mathematical model on it is constructed.Then，through the first quarter of 2014 the average yield and risk loss ratio analysis is made on five stocks，and a risk-free investment multi-objective linear programming model in the stock market is proposed combined with deposits and investment securities. The portfolio under different parametric values has practical significance for investors to initiate a reasonable investment.Key words：linear programming model;economic management;stock market investment;portfolio multi-objective linear programming

2014-11-10

李麗麗(1987-),女,助教，碩士，研究方向：網(wǎng)格計(jì)算與分布式操作系統(tǒng).

F222

A

1671-4679(2015)02-0055-04