圓錐曲線中的探索性問題

存在性問題與證明問題是近幾年高考試題對(duì)解析幾何考查的一種熱點(diǎn)題型，以判斷滿足條件的點(diǎn)、直線、參數(shù)是否存在，證明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 數(shù)量關(guān)系（等量或不等量）為主要呈現(xiàn)方式，多以解答題的形式考查.

（1）圓錐曲線中的取值范圍問題.

（2）圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題.

（3）圓錐曲線中的存在性問題和有關(guān)證明題.

解決解析幾何中的探索性問題，主要是根據(jù)題目所給的條件，結(jié)合相關(guān)的圖形進(jìn)行分析、化簡(jiǎn). 探索性問題對(duì)思維能力和計(jì)算能力的要求較高，平時(shí)應(yīng)多注重這兩方面能力的訓(xùn)練.

例1 如圖6，已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都是e. 直線l⊥MN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D.

圖6

（1）設(shè)e= ，求BC與AD的比值；

（2）當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BO∥AN？說明理由.

破解思路 解決解析幾何中的存在性問題的一般步驟為：第一步，假設(shè)結(jié)論成立；第二步，以存在為條件，進(jìn)行推理求解；第三步，明確、規(guī)范結(jié)論，若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即肯定假設(shè)；若推出矛盾，即否定假設(shè)；第四步，回顧、檢驗(yàn)本題，若忽略了Δ>0這一隱含條件，結(jié)果會(huì)造成兩解.

答案詳解 （1）因?yàn)镃1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè)C1： + =1，C2： + =1（a>b>0）. 設(shè)直線l：x=t（t

（2）當(dāng)t=0時(shí)，l不符合題意；當(dāng)t≠0時(shí)，BO∥AN，當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即 = ，解得t=- =- ·a. 因?yàn)閠

所以當(dāng)0

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E： + =1（a>b>0）的右準(zhǔn)線為直線l，動(dòng)直線y=kx+m（k<0，m>0）交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，射線OM分別交橢圓及直線l于P，Q兩點(diǎn)，如圖7. 若A，B兩點(diǎn)分別是橢圓E的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為 （其中e為橢圓的離心率），且OQ= OM.

圖7

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如果OP是OM，OQ的等比中項(xiàng)，那么 是否為常數(shù)？若是，求出該常數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由.

破解思路 求解定值問題的“三個(gè)”步驟：①由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；②證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)（某些變量）無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值.

答案詳解 （1）當(dāng)A，B兩點(diǎn)分別是橢圓E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)時(shí)，則A（a，0），B（0，b），M ， .

因?yàn)镼 ， ，所以由O，M，Q三點(diǎn)共線，得 = ，化簡(jiǎn)，得b=1. 因?yàn)镺Q= OM，所以 = ，化簡(jiǎn)，得2a= c. 由a2=b2+c2，b=1，2a= c，解得a2=5，c2=4.所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為 +y2=1.

（2）把y=kx+m（k<0，m>0），代入 +y2=1，得（5k2+1）x2+10mkx+5m2-5=0. 當(dāng)？駐>0，即5k2-m2+1>0時(shí)，xM= - ，yM= ，從而可得點(diǎn)M- ， .

所以直線OM的方程是y=- x. 由y=- x， +y2=1，得x2P= . 因?yàn)镺P是OM，OQ的等比中項(xiàng)，所以O(shè)P2=OM·OQ，從而x2P=xMxQ=- . 由 =- ，得m=-2k，從而 =-2，滿足？駐>0. 所以 為常數(shù)-2.

1. 如圖8，已知橢圓C： + =1（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)（0， ），離心率為 ，經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，F(xiàn)，B在直線x=4上的射影依次為D，K，E.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且 =λ ， =μ ，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探究λ+μ是否為定值. 若是，求出λ+μ的值；若不是，說明理由.

（3）連結(jié)AE，BD，試探索當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于一定點(diǎn). 若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由.

圖8

2. 如圖9，已知橢圓C1： + =1，拋物線C2：y2=4x，過橢圓C1右頂點(diǎn)的直線l交拋物線C2于A，B兩點(diǎn)，射線OA，OB分別交橢圓于D，E兩點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn).

圖9

（1）求證：點(diǎn)O在以DE為直徑的圓的內(nèi)部；

（2）記△ODE，△OAB的面積分別為S1，S2，問是否存在直線l，使S2=3S1，若存在，求出l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.