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    參 考 答 案

    2015-04-16 06:25:00
    關(guān)鍵詞:中點(diǎn)切線零點(diǎn)

    2015年高考數(shù)學(xué)模擬金卷(一)

    1. {x|1≤x≤2}

    2. 二

    3. 0.12

    4. 4

    5. =4+2 ,作出可行域, 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)(3,2)連線的斜率,當(dāng)x=1,y=0時,取最大值1,所以所求最大值為6

    6. a=

    7. 考慮到函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故f(x)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn),等價于f(1)>0,f(2)<0,可解得a∈(log32,1).

    8. 由條件可得 = ,即 = = ,由此可得cosA= . 又因?yàn)锳為三角形內(nèi)角,所以A= .

    9. 易知,x=0不是不等式 + <0的解,故可將不等式化為 + <0. 又因?yàn)椴坏仁?+ <0的解集為-1,- ∪ ,1,所以 ∈-1,- ∪ ,1,可解得x∈(-3,-1)∪(1,2).

    10. ①缺少l與m相交的條件,故不正確;由直線與平面平行的性質(zhì)定理可知②正確;③的條件下也可能得出l?奐β,故③不正確;由l⊥α,m∥l可知m⊥α,再由α∥β可知m⊥β,故④正確. 選②④.

    11. 因?yàn)?+ = + + + = + = - . 所以( + )·( + )=( - )·( + )= 2- 2=9-4=5.

    12. 由題意知f(x)在R上單調(diào)遞減. 又由f(x-t)+2<4可得-601a89f06a27bbbba1b59582424b0c29271826c7e67d17363bc4af328606469ad

    t

    13. 直線BF的方程為 - =1,聯(lián)立方程組 + =1, - =1,消y解得x= . 因?yàn)镻是BQ的中點(diǎn),所以有2 = ,化簡得3c2=a2,所以e= .

    14. 由已知可得OQ= = = = OP,所以m= = . 因?yàn)閏osθ= = = ,又θ∈[0,π],所以∠POQ= . 故y=m·sin(x+θ)= sinx+ ,其在y軸右邊的第一個最高點(diǎn)坐標(biāo)為 , .

    15. (1)f =sin2× + -cos2× + +2cos2 =sin -cos +1+cos = -0+1+ = +1.

    (2)f(x)=sin2x+ -cos2x+ +2cos2x=sin2xcos +cos2xsin -cos2xcos +sin2xsin +cos2x+1= sin2x+cos2x+1=2sin2x+ +1,所以當(dāng)sin2x+ =1時, f(x)max=2+1=3,此時,2x+ =2kπ+ ,即x=kπ+ (k∈Z).

    16. (1)連結(jié)DD1. 在三棱柱ABC-A1B1C1中,因?yàn)镈,D1分別是BC與B1C1的中點(diǎn),所以B1D1∥BD,且B1D1=BD. 所以,四邊形B1BDD1為平行四邊形,所以BB1∥DD1,且BB1=DD1. 又因?yàn)锳A1∥BB1,且AA1=BB1,所以AA1∥DD1,且AA1=DD1. 所以四邊形AA1D1D為平行四邊形. 所以A1D1∥AD. 又A1D1?埭平面AB1D,AD?奐平面AB1D,故A1D1∥平面AB1D.

    (2)在△ABC中,因?yàn)锳B=AC,D為BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC. 因?yàn)槠矫鍭BC?奐平面B1C1CB,交線為BC,AD?奐平面ABC,所以AD⊥平面B1C1CB,即AD是三棱錐A-B1BC的高. 在△ABC中,由AB=AC=BC=4,得AD=2 . 在△B1BC中,B1B=BC=4,∠B1BC=60°,所以△B1BC的面積S= ×42=4 . 所以三棱錐B1-ABC的體積即為三棱錐A-B1BC的體積V= ×4 ×2 =8.

    17. (1)當(dāng)x=0時,t=0;當(dāng)00,函數(shù)y=x+ 單調(diào)遞增,所以y∈[2,+∞). 綜上,t的取值范圍是0, .

    (2)當(dāng)a∈0, 時, f(x)=g(t)=t-a+2a+ =3a-t+ ,0≤t≤at+a+ ,a≤t≤ 因?yàn)間(0)=3a+ ,g =a+ ,g(0)-g =2a- . 故可得M(a)=g ,0≤a≤ ,g(0),

    18. (1)由題意,設(shè)橢圓C: + =1,則有2a=4 ,a=2 . 因?yàn)辄c(diǎn)(2 ,1)在橢圓 + =1上,所以 + =1,解得b= ,所以所求橢圓的方程為 + =1.

    (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(y1<0,y2>0),點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(3,0). 由 =3 ,得3-x1=3(x2-3),-y1=-3y2,即x1=-3x2+12,y1=-3y2.①

    又A,B在橢圓C上,所以可得 + , + =1,解得x2= ,y2= .所以B , ,代入方程組①得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,- ). 設(shè)過O,A,B三點(diǎn)的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0. 將O(0,0),A(2,- ),B , 分別代入該方程,可解得D=- ,E=- ,F(xiàn)=0. 故過O,A,B三點(diǎn)的圓的方程為x2+y2- x- y=0.

    19. (1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列,a1=1,a2=a(a>0),所以an=1+(n-1)(a-1). 又b3=12,所以a3a4=12,即(2a-1)(3a-2)=12,解得a=2或a=- . 因?yàn)閍>0,所以a=2,從而an=n.

    (2)因?yàn)閧an}是等比數(shù)列,a1=1,a2=a(a>0),所以an=an-1,則bn=anan+1=a , =a2. 所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為a,公比為a2的等比數(shù)列,當(dāng)a=1時,Sn=n;當(dāng)a≠1時,Sn= = .

    (3)數(shù)列{an}不能為等比數(shù)列. 因?yàn)閎n=anan+1,所以 = = ,則 =a-1,所以a =a-1. 假設(shè)數(shù)列{an}能為等比數(shù)列,由a1=1,a2=a得a3=a2,所以a2=a-1,即a2-a+1=0,因?yàn)棣?1-4=-3,所以此方程無解,所以數(shù)列{an}一定不能為等比數(shù)列.

    20. f ′(x)=ax-(2a+1)+ (x>0).

    (1)f ′(1)=f ′(3),解得a= .

    (2)f ′(x)= (x>0).

    ①當(dāng)02,在區(qū)間(0,2)和 ,+∞上, f ′(x)>0;在區(qū)間2, 上, f ′(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和 ,+∞,單調(diào)遞減區(qū)間是2, .

    ②當(dāng)a= 時, f ′(x)= ≥0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).

    ③當(dāng)a> 時,則0< <2,在區(qū)間0, 和(2,+∞)上, f ′(x)>0;在區(qū)間 ,2上, f ′(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是0, 和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是 ,2.

    (3)由已知,在(0,2]上有f(x)max

    ①當(dāng)0ln2-1,ln2-1<0,故0

    ②當(dāng)a> 時,f(x)在0, 上單調(diào)遞增,在 ,2上單調(diào)遞減,故f(x)max=f =-2- -2lna. 由a> 可知lna>ln >ln =-1,2lna>-2,-2lna<2,所以-2-2lna<0,f(x)max<0,綜上所述,a>0.

    21. A. (1)連結(jié)OP,因?yàn)锳C⊥l,BD⊥l,所以AC∥BD. 又OA=OB,PC=PD,所以O(shè)P∥BD,從而OP⊥l. 因?yàn)镻在⊙O上,所以l是⊙O的切線.

    (2)連結(jié)AP,因?yàn)閘是⊙O的切線,所以∠BPD=∠BAP. 又∠BPD+∠PBD=90°,∠BAP+∠PBA=90°,所以∠PBA=∠PBD,即PB平分∠ABD.

    B. A-1= 2 1,因?yàn)锳X=B,所以X=A-1B= 2 14 -1-3 1= -1 5 -1.

    C. 將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,得x2+y2=1與x2+y2-x+ y=0,解方程組x2+y2=1,x2+y2-x+ y=0得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),- ,- . 所以線段AB的長為 = ,即AB= .

    D. 因?yàn)閍,b,c為正實(shí)數(shù),所以a3+b3+c3≥3 =3abc>0. 又3abc+ ≥2 =2 ,所以a3+b3+c3+ ≥2 .

    22. 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a). 因?yàn)镸是PC中點(diǎn),所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為 , , ,所以 = , , , =(-1,1,0), =(-1,0,a).

    (1)因?yàn)锳M⊥平面PBD,所以- + =0,所以a=1,即PA=1.

    (2)由 = , , ,可求得平面AMD的一個法向量n=(-1,0,1). 又cos〈n, 〉= = = . 所以所成角的正弦值為 .

    23. (1)p1=1-(1-pn)(1-pn)=pn(2-pn),p2=[1-(1-p)(1-p)]n=pn(2-p)n.

    (2)(用二項(xiàng)式定理證明)p2-p1=pn{[1+(1-p)]n-2+[1-(1-p)]n}=pn{[1+C1n(1-p)+C2n(1-p)2+C3n(1-p)3+…+Cnn(1-p)n]-2+[1-C1n(1-p)+C2n(1-p)2-C3n(1-p)3+…+(-1)nCnn(1-p)n]}=pn[2C2n(1-p)2+2C4n(1-p)4+…]>0,所以p2>p1,這表明系統(tǒng)乙比系統(tǒng)甲可靠.

    說明:作差后化歸為用數(shù)學(xué)歸納法證明:(2-p)n>2-pn也可.

    2015年高考數(shù)學(xué)模擬金卷(二)

    1. A

    2. B

    3. (理)A (文)D

    4. D

    5. a =bn+1,原式=b1+b2+…+b10+10,選A.

    6. a=-2為充要條件,選A.

    7. D

    8. 利用相似三角形的性質(zhì)有 · =c(a+c),即a2=c(a+c),選B.

    9. C

    10. S=-1+2-3+4-…-9+10=5,選C.

    11. 由題意,以AD為對角線的平行四邊形為菱形,交AB于E,交AC于F, AC=λAB,所以AC=9λ.此時的關(guān)鍵在于求出λ,需構(gòu)造關(guān)于λ的方程. BD2=BE2+DE2-2BE·DEcos60°=27λ2-27λ+9,同理CD2=27λ2,利用角平分線性質(zhì)有 = = ,由此可解得λ= 或λ= (舍),選C.

    12. ①錯,由已知條件, f(x)完全有可能比1小,故值域不能確定;

    ②對;

    ③錯,當(dāng)t=5時,亦滿足題意;

    ④錯,理由同①. 選D.

    13. (理)46 (文)1

    14. (理)由已知得 (tanα+tanβ)=3(1-tanαtanβ),即 = =tan(α+β),又α,β為銳角,所以α+β= .

    (文)π

    15. 由ab+a-b-10=0可得b= -1,a+b= +a-1≥6,所以m=6;滿足不等式3x2+2y2≤6的點(diǎn)在橢圓 + =1上及其內(nèi)部,整點(diǎn)共有9個.

    16. (1)an=3n-1

    (2)bn=2n,M=C +C +C ·2+C ·22+…+C ·219=C + (C +C ·2+C ·22+…+C ·220-1)=1+ (320-1)=1+ [(10-1)10-1],而(10-1)10=C ·1010-C ·109+…-C ·101+1,故M的個位數(shù)是1

    17. (1)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,依題意,有2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,得a3=8,所以a2+a4=20,所以a1q+a1q3=20,a3=a1q2=8,解之得q=2,a1=2或q= ,a1=32.又{an}單調(diào)遞增,所以q=2,a1=2,所以an=2n

    (2)bn=-n·2n,所以-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1,兩式相減得Sn=2+22+23+…+2n-n×2n+1= -n×2n+1=2n+1-n×2n+1-2

    18. (1)因?yàn)锳B=BE=2,∠ABC=60°,所以∠AEB=60°.因?yàn)镃E=CD=2,所以∠CED=30°,所以∠AED=90°,所以AE⊥ED. 因?yàn)锳A1⊥底面ABCD,所以AA1⊥ED,所以ED⊥平面A1AEF,所以平面A1ED⊥平面A1AEF

    (2)(理)因?yàn)镋D⊥平面A1AEF,所以A1E⊥ED,AE⊥ED,所以∠A1EA為二面角A1-ED-A的平面角,即∠A1EA=α,sinα= = ,cosα= . 過A作A1E的垂線,垂足為H,連結(jié)HD. 因?yàn)镋D⊥平面A1AEF,所以ED⊥AH,所以AH⊥平面A1ED,所以∠ADH為直線AD與平面A1ED所成的角β,即∠ADH=β,易得AH= ,sinβ= =cosα,所以α+β=90°,sin(α+β)=1.

    (文)DE=AD·cos30°=2 ,V =V = × ×2×4×2 = .

    19. (1)125

    (2)設(shè)500名學(xué)生的平均成績?yōu)?,則 =( ×0.0065+ ×0.0140+ ×0.0170+ ×0.0050+ ×0.0043+ ×0.0032)×20=78.48(分)

    (3)(理)設(shè)參賽者甲每道題答對的概率為P(A),則(1-P(A))2= ,所以P(A)= ,參賽者甲答題個數(shù)ξ的可能值為3,4,5,則P(ξ=3)= + = ,P(ξ=4)=C · · +C · · = ,P(ξ=5)=C · · = ,E= .

    (文)設(shè)參賽者甲每道題答對的概率為P(A),則(1-P(A))2= ,所以P(A)= ,答題個數(shù)為3時,P= + = .

    20. (1)設(shè)拋物線方程為y2=2px,因?yàn)镕2(1,0)為焦點(diǎn),所以p=2,所以y2=4x. 設(shè)橢圓方程為 + =1,代入 , ,解得a2=9,所以橢圓方程為 + =1.

    (2)①設(shè)直線方程為x=my+1,數(shù)形結(jié)合可知 >k =2 ,所以得m∈0, ,由對稱性知m∈- ,0∪0, . 聯(lián)立直線與拋物線方程得y2-4my-4=0,y +y =4m,y y =-4. 設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),S = ·2y -y = =4 ,又知m2∈0, ,所以S ∈4, .

    ②(只理科做)設(shè)B(x3,y3),E(x4,y4),聯(lián)立直線方程與橢圓方程得(8m2+9)·y2+16my-64=0,所以y3+y4=- ,y3y4= - ,y -y = = ,所以 · = · = · =3.

    21. (理)(1)f(x)=x(x2+ax+b)=0僅有兩個根,所以x2+ax+b=0有唯一根,即x1=- 且a2-4b=0,而x1,x2是f ′(x)=0的兩根,f ′(x)=3x2+2ax+b,所以x1+x2= - ,所以x2=- . 當(dāng)x∈-∞,- 時, f ′(x)>0;當(dāng)x∈- ,- 時, f ′(x)<0;當(dāng)x∈- ,+∞時, f ′(x)>0,所以f- = -4,解得a=6,b=9. 所以f(x)=x3+6x2+9x, f(x)在-∞,- ,- ,+∞上單調(diào)遞增,在- ,- 上單調(diào)遞減.

    (2)設(shè)切點(diǎn)為(x ,y ),所以切線為y-y =f ′(x )(x-x )=(3x +12x +9)·(x-x ). 又過點(diǎn)(xn,yn),所以代入切線方程整理得(xn+2x )(xn-x )+6(xn-x )=0. 因?yàn)閤n≠x ,所以xn+2x +6=0,所以x =- xn-3,所以x +2=- (xn+2),所以{xn+2}是等比數(shù)列,公比為 - ,首項(xiàng)為1,所以xn=- -2.

    (文)(1)由已知可得f ′(-3)=0且f(-3)=0,解得a=6,b=9, f(x)在(-∞,-3),(-1,+∞)上單調(diào)遞增,在[-3,-1]上單調(diào)遞減

    (2)設(shè)切點(diǎn)為(x ,y ),所以切線為y-y =f ′(x )(x-x )=(3x +12x +9)·(x-x ). 又過點(diǎn)(xn,yn),所以代入切線方程整理得(xn+2x )(xn-x )+6(xn-x )=0.

    因?yàn)閤n≠x ,所以xn+2x +6=0.

    22. (1)連結(jié)BP,因?yàn)锳B=AC,所以∠ABC=∠ACB. 又∠ACB=∠APB,所以∠ABC=∠APB,所以△ABP∽△ABD,所以 = ,即AB2=AP·AD. 又AB=AC,所以AC2=AP·AD.

    (2)∠ABC=60°且AB=AC,所以△ABC是等邊三角形,所以∠BAC=60°. 因?yàn)镻為 的中點(diǎn),所以∠ABP=∠PAC=30°,所以∠BAP=90°,所以BP是⊙O的直徑,所以BP=2,AP= BP=1. 在Rt△PAB中,AB2=BP2-AP2=3,所以AD= =3.

    23. (1)x=1+ t,y=1+t(t為參數(shù)).

    (2)直線l:x=1+ t,y=1+ t(t為參數(shù))代入x2+y2=9得t2+( +1)t-7=0,t1t =7,故點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離之積為7.

    24. 2x-3y-2a+3b=2(x-a)-3(y-b)≤2(x-a)+3(y-b)=2(x-a)+3(y-b)<2· +3· =c.

    2015年高考數(shù)學(xué)模擬金卷(三)

    1. B

    2. A

    3. B

    4. D

    5. B

    6. (理)每次投籃命中的概率p≈ = ,則三次投籃命中兩次為C ×p2×(1-p)≈0.25,選B.

    (文)D

    7. 令t= ,根據(jù)幾何意義,t的值即為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率,顯然點(diǎn)(3,1)、點(diǎn)(1,2)是其中的兩個臨界值,故 ≤t≤2,u= =t+ ,其在 ,1上單調(diào)遞減、在[1,2]上單調(diào)遞增,選C.

    8. 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,由題意,知 =1, = , =2,所以 =0,- , =(-1,- ), =(3,0). 因?yàn)?=λ +μ ,所以0,- =λ(-1,- )+μ(3,0),選A.

    9. (理)因?yàn)楹瘮?shù)h(x)=f(x)-g(x)在區(qū)間[-5,5]內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)為方程h(x)=f(x)-g(x)=0根的個數(shù),即函數(shù)f(x)和g(x)的圖象交點(diǎn)個數(shù),所以畫出圖象可知有8個交點(diǎn),選C.

    (文)設(shè)點(diǎn)P(x0,y0),則有 -y =1(x0≥ ), · =x0(x0+2)+y =x0(x0+2)+ -1= +2x0-1,選B.

    10. (理)因?yàn)镻1F2⊥F1F2,F(xiàn)2的坐標(biāo)為(3,0),所以由(P1F2+4)2=P1F22+F1F22,解得P1F2= .

    由雙曲線定義知:PnF1-PnF2=2a=4,又Pn+1F2=PnF1,所以Pn+1F2=PnF2+4,可見數(shù)列{PnF2}是以P1F2= 為首項(xiàng),以4為公差的等差數(shù)列,所以PnF2= +4(n-1)=4n- . 因?yàn)?- =1,(xn-3)2+y =4n- ,xn≥2,n≥1,聯(lián)立解得xn= ,即數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式為xn= . 選C.

    (文)同理科第9題.

    11. P= = .

    12. a1+a10=6,a5·a6=a1·a10≤ =9.

    13. (理)a=2,常數(shù)項(xiàng)是C (2 )3·- =-160.

    (文)由已知可得 = = (cosθ-sinθ)= - ,所以sinθ-cosθ= . 答案為-2.

    14. 由條件 =c,根據(jù)對稱性,兩曲線交點(diǎn)連線垂直于x軸,對雙曲線,這兩個交點(diǎn)連線的長度是 ;

    對拋物線,這兩個交點(diǎn)連線的長度是2p,即4c,故 =4c,解得e=1+ .

    15. (理)由已知得f(1,3)= + + + + =1+1+1+0+0=3. 因?yàn)閿?shù)列{an}是將集合A={m m∈N?鄢,k∈P}中的元素按從小到大的順序排成而成,所以我們可設(shè)計如下表格:

    從上表可知,每一行從左到右數(shù)字逐漸增大,每一列從上到下數(shù)字逐漸增大,且 < < < < <2 <2 <2 <3 <2 <…,所以 a9=3 . 所以f(1,3)

    (文)設(shè)三角形三邊長為a,b,c,則a+b+c=20且a,b,c∈N?鄢,當(dāng)a-b+b-c+c-a最?。ù藭ra-b≤1,b-c≤1,c-a≤1)時,其面積最大,列出所有情況不難發(fā)現(xiàn)邊長分別為6,2+5,3+4符合,計算其面積為6 cm2.

    16. (1)f(x)=2sin2x+ +3. f(x)的最小正周期為π,單調(diào)遞增區(qū)間為kπ- ,kπ+ ,k∈Z.

    (2)f(A)=4 得2sin2A+ +3=4,即sin2A+ = .

    因?yàn)?

    17. (理)(1)設(shè)乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為n,則有 = ,解得n=35. 即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件.

    (2)易見只有編號為2,5的兩組產(chǎn)品為優(yōu)等品,所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品率為 ,因?yàn)?5× =14,故乙廠生產(chǎn)大約14件優(yōu)等品.

    (3)ξ的取值為0,1,2. P(ξ=0)= = ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = . 所以ξ的分布列為:

    故ξ的均值為E(ξ)=0× +1× +2× = .

    (文)(1)因?yàn)閤= xn=75,所以x6=6x- xn=6×75-70-76-72-70-72=90.

    因?yàn)閟2= (xn-x)2= ×(52+ 12+32+52+32+152)=49,所以s=7.

    (2)從5位同學(xué)中隨機(jī)選取2位同學(xué),共有如下10種不同的取法:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},選出的2位同學(xué)中,恰有1位同學(xué)的成績位于(68,75)的取法共有如下4種取法:{1,2},{2,3},{2,4},{2,5},故所得概率為 .

    18. (理)(1)由圖形可知該幾何體的底面ABCD是菱形,且有一個角為60°,邊長為2,錐體高度為PO=1的四棱錐.

    (2)設(shè)AC,BD的交點(diǎn)為O,連結(jié)OE,則OE為△DPB的中位線,OE∥PB,OE?奐平面EAC,PB?埭平面EAC,所以PB∥平面EAC.

    (3)連結(jié)OP,則OP⊥平面ABCD.以O(shè)為原點(diǎn),直線OB,OC,OP分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(-1,0,0),A(0,- ,0),P(0,0,1), =(0,- ,-1), =(1,0,-1). 因?yàn)?=λ,所以PF=λ·FA,PF=λ·(PA-PF),PF= ·PA, = · ,所以可得 =0,- ,- , = - =-1,- , .

    易知PA⊥BD,故只需令PA⊥BF,即 · =0,就能使PA⊥平面BDF,再根據(jù)(-1)·0+- ·(- )+ ·(-1)=0,得λ= .

    此時, =(0,- ,-1)為平面BDF的法向量,又E- ,0, ,C(0, ,0),所以 = , ,- . 設(shè)直線EC與平面BDF所成的角為θ,則sinθ=cos〈 , 〉= = . 所以當(dāng)λ= 時,PA⊥平面BDF,此時直線EC與平面BDF所成角的正弦值為 .

    (文)(1)下面先證AB⊥GH. 連結(jié)CG,當(dāng)λ= 時,即AG= AB. 因?yàn)椤鰽BC為等腰三角形,所以CG⊥AB. 又AD∥CF,且AD⊥平面ABC,所以HC⊥平面ABC,所以HC⊥AB. CG∩HC=C,所以AB⊥面CGH,GH?哿面CGH,所以AB⊥GH. 再證GH∥平面DEF. 取DE的中點(diǎn)為M,連結(jié)GM,MF. 因?yàn)镚為AB的中點(diǎn),所以GM∥AD,又AD∥CF,所以GM∥CF. 因?yàn)镃F=2a,MG=AD=a,H為CF的中點(diǎn). 所以GM∥HF且GM=HF,即四邊形GHFM為平行四邊形. 所以GH∥MF. 又MF?奐平面DEF,GH?埭平面DEF. 所以GH∥平面DEF.

    (2)對于0<λ<1的任意λ,總有GH∥平面DEF. 證明如下:連結(jié)AH,BH,因?yàn)锳D∥CF且AD=FH=a,所以AHFD是平行四邊形,所以AH∥DF. 又DF?哿平面DEF,AH?埭平面DEF,所以AH∥平面DEF. 同理可證:BH∥平面DEF. 又AH∩BH=H,所以平面DEF∥平面ABH. 因?yàn)楫?dāng)0<λ<1時,HG?奐面ABH,所以HG∥平面DEF.

    19. (理)(1)由對稱性可得知:△BFD是等腰直角三角形,所以斜邊BD=2p,點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離d=FA=FB= p,S△ABD=4 ?圳 ×BD×d=4 ?圳p=2. 且圓F的方程為x2+(y-1)2=8.

    (2)由對稱性設(shè)Ax0, (x0>0),則F0, ,點(diǎn)A,B關(guān)于點(diǎn)F對稱得:B-x0,p- ?圯p- =- ?圳x =3p2,所以可得:A p, ,直線m:y= x+ ?圳x- y+ =0;x2=2py?圳y= ?圯y′= = ?圯x= p?圯切點(diǎn)P , ,直線n:y- = x- ?圳x- y- p=0,坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比值為 : =3.

    (文)(1)當(dāng)1≤x<4時,合格的元件數(shù)為x- ,利潤T=2x- - =2x- ;當(dāng)x≥4時,合格的元件數(shù)為x-x+ - =- + ,利潤T=2- + -x+ - =-x- + . 綜上,該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤T=2x- ,1≤x<4,-x- + ,x≥4.

    (2)當(dāng)1≤x<4時,T=2x- ,對稱軸x=2,此時利潤的最大值Tmax=T(2)=2. 當(dāng)x≥4時,T′=-1+ = = <0,所以T=-x- + 在[4,+∞)上是減函數(shù),此時利潤的最大值Tmax=T(4)=0. 綜上所述,當(dāng)x=2時,T取最大值2, 即當(dāng)日產(chǎn)量定為2(萬件)時,工廠可獲得最大利潤2萬元.

    20. (理)(1)當(dāng)a=1時,則f(x)=2lnx-x2,所以f ′(x)= -2x. 所以f ′(1)=0. 又f(1)=-1,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線方程為y+1=0.

    (2)f(x)=2a2lnx-x2,所以f ′(x)= -2x= = .

    因?yàn)閤>0,a>0,當(dāng)00,當(dāng)x>a時, f ′(x)<0. 所以f(x)在(0,a)上是增函數(shù),在[a,+∞)上是減函數(shù). 所以f(x)max=f(a)=a2(2lna-1).

    討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)情況如下:

    ①當(dāng)a2(2lna-1)<0,即0

    ②當(dāng)a2(2lna-1)=0,即a= 時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)有唯一零點(diǎn)a,而1

    ③當(dāng)a2(2lna-1)>0,即a> 時,由于f(1)=-1<0,f(a)=a2(2lna-1)>0,f(e2)=2a2lne2-e4=4a2-e4=(2a-e2)(2a+e2). 當(dāng)2a-e2<0時,即 時,f(e2)≥0,而且f( )=2a2· -e=a2-e>0,f(1)=-1<0,由單調(diào)性可知,無論a≥e2還是a

    (文)同理科第19題.

    21. (理)(1)因?yàn)?a3=8a1+a5,所以6q2=8+q4,解得q2=4或q2=2(舍),則q=2. 又a1=2,所以a n=2n.

    (2)由2n2-(t+bn)n+ bn=0,得bn= ,所以b1=2t-4,b2=16-4t,b3=12-2t,則由b1+b3=2b2,得t=3. 而當(dāng)t=3時,bn=2n,由bn+1-bn=2(常數(shù))知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.

    (3)因?yàn)閏1=c2=c3=2,易知m=1不合題意,m=2適合題意,當(dāng)m≥3時,若cm+1為后添入的數(shù)2,則一定不滿足T m=2cm+1,從而cm+1必是數(shù)列{an}中的某一項(xiàng)a k+1,則(2+22+22+…+2k)+2(b1+b2+b3+…+bk)=2×2 ,即 2×(2k-1)+2× =2×2k+1,即2k+1-2k2-2k+2=0,也就是2k=k2+k-1. 易證k=1,2,3,4不是該方程的解,而當(dāng)n≥5時,2n>n2+n-1成立,證明如下:

    ①當(dāng)n=5時,25=32,n2+n-1=29,左邊>右邊成立;

    ②假設(shè)n=k(k≥5)時,2k>k2+k-1成立,當(dāng)n=k+1時,2k+1>2k2+2k-2=(k+1)2+(k+1)-1+k2-k-3≥(k+1)2+(k+1)-1+5k-k-3=(k+1)2+(k+1)-1+k+3(k-1)>(k+1)2+(k+1)-1.

    這就是說,當(dāng)n=k+1時,結(jié)論成立.

    由①②可知,2n>n2+n-1(n≥5)恒成立,故2k=k2+k-1無正整數(shù)解.

    綜上可知,滿足題意的正整數(shù)僅有m=2.

    (文)(1)由已知得0 11 0·-21=0×(-2)+1×11×(-2)+0×1=1-2,所以點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(1,-2).

    (2)因?yàn)? 11 0·Snn=nSn,所以A′(n,Sn). 因?yàn)辄c(diǎn)A′(n,Sn)在函數(shù)f(x)=x2+x的圖象上,所以Sn=n2+n. 當(dāng)n=1時,a1=S1=2;當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n,a1=2滿足上面的公式,所以an=2n(n∈N?鄢).

    (3)由已知,bn=1- 1- …1- . 設(shè)F(n)=1- 1- …1- . 從而可得 =1- · = · = < =1,所以F(n)>F(n+1),所以F(n)單調(diào)遞減,所以當(dāng)n=1時,F(xiàn)(n)取得最大值 .

    要使得不等式bn ,所以a的取值范圍是 ,+∞.

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