指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中最重要的兩個(gè)基本初等函數(shù)，是各地高考數(shù)學(xué)試卷中考查函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)、圖象變換的重要載體；它也一直是高考的熱點(diǎn)問題之一，試題難度一般不大，通常在選擇題、填空題中單獨(dú)考查，或作為試題的載體在解答題中出現(xiàn).

熟練掌握指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決相關(guān)問題的前提和基礎(chǔ)，對相關(guān)的基本概念的掌握出現(xiàn)細(xì)小的偏差也會造成致命的錯(cuò)誤，因此本考點(diǎn)的復(fù)習(xí)重點(diǎn)是理清指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì). 比較困難的問題是有關(guān)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，因此同學(xué)們在復(fù)習(xí)本考點(diǎn)時(shí)，要特別注意如何利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)研究與之相關(guān)的簡單復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì).

（1）由于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)與其底數(shù)有直接的聯(lián)系，所以在具體的解題過程中要明確底數(shù)的大小，注意運(yùn)用分類討論的思想來解決問題. 由于本考點(diǎn)所涉及的試題通常是選擇題和填空題，若能畫出問題所涉及的相關(guān)函數(shù)的圖象，則往往能事半功倍，所以在具體的解題過程中要熟悉圖象的對稱變換、平移變換、伸縮變換，通過這些變換畫出相關(guān)函數(shù)的圖象解決問題，即注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想. 對于以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為模型的新情景、新問題，往往可通過等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法來解決.

例1 已知函數(shù)f（x）=loga（x+1） ，-10，a≠1），若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），則x1+x2與2的大小關(guān)系是（ ）

A. 恒大于2 B. 恒小于2

C. 恒等于2 D. 與a相關(guān)

破解思路1 若令f（x1）=f（x2）=t，則x1，x2均可用a和t表示出來，所以x1+x2也可用a和t表示出來，則x1+x2與2的大小關(guān)系就“昭然若揭”了.

答案詳解1 不妨設(shè)x10，a≠1時(shí)， 00恒成立，所以x1+x2>2.

破解思路2 注意到選擇題的特點(diǎn)，用數(shù)形結(jié)合的方法往往能回避繁雜的推算過程，直達(dá)解題目標(biāo)，因此也可以考慮使用這種方法解決之.

答案詳解2 ①當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象如圖6所示，若把圖象在直線x=1的右側(cè)部分向下平移a-1個(gè)單位，則整個(gè)圖象恰好關(guān)于直線x=1對稱，此時(shí)x1+x2=2，所以平移前必有x1+x2>2成立.

圖6

圖7

②當(dāng)02成立.

由①②可知x1+x2>2恒成立.

例2 設(shè)定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對于任意的x∈（0，+∞）都有f[f（x）-log2x]=6，若x0是方程f（x）-f′（x）=4的一個(gè)解，且x0∈（a，a+1）（a∈N？鄢），求a的值.

破解思路 本題的目標(biāo)是求所給方程的解的取值范圍，但所給的方程左邊的解析式?jīng)]有直接給出，所以首先要解決的問題是求出函數(shù)f（x）的解析式，從而揭開其“神秘的面紗”，再利用函數(shù)的性質(zhì)估算其根的取值范圍.

答案詳解 令f（x）-log2x=m，則f（x）=log2x+m且f（m）=6，所以m+log2m=f（m）=6.

由于函數(shù)g（x）=x+log2x是（0，+∞）上的增函數(shù)，且g（4）=4+log24=6，所以m=4.

所以f（x）=log2x+4， f ′（x）= ， f（x）-f′（x）=4？圳log2x- =0？圳h（x）= -lnx=0.

又因?yàn)閔（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，且h（1）=1>0，h（2）= -ln2<0，所以有x0∈（1，2），從而有a=1.

1. 函數(shù)y= 的定義域?yàn)椋?）

A. ，1

B. ，+∞

C. （1，+∞）

D. ，1∪（1，+∞）

2. 已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增. 若f（log2a）+flog a≤2f（1），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.

3. 已知函數(shù)

f（x）=（1-3a）x+10a，x≤6，ax-7，x>6，若數(shù)列{an}滿足an=f（n）（n∈N？鄢），且數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A. ，1 B. ，

C. ， D. ，1