數(shù)列與其他知識(shí)交匯

數(shù)列與其他知識(shí)相交匯的考題有一定的難度，對(duì)能力有較高的要求，側(cè)重于理性思維的考查，試題設(shè)計(jì)通常以一般數(shù)列為主，著重考查推理論證能力與處理交匯性問(wèn)題的能力. 此類考題在近年高考成相對(duì)上升趨勢(shì)，常以解答題或壓軸題的形式呈現(xiàn)，有時(shí)也以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，難度為中檔或中偏高檔. 總分值約為4～12分.

（1）“交匯型”的數(shù)列題，即關(guān)注數(shù)列與函數(shù)、不等式、平面幾何、程序框圖、歸納推理等相交匯的考題.

（2）“應(yīng)用型”的數(shù)列題，即關(guān)注以實(shí)際生活中的應(yīng)用背景包裝的數(shù)列題.

（1）遇山開(kāi)路，逢水架橋→由于“交匯型” 的數(shù)列題既可以是同一數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的“小交匯”，也可以是以數(shù)列為主體，橫向聯(lián)系其他知識(shí)、跨度較大的“大交匯”，因此應(yīng)熟練掌握數(shù)列的自身的應(yīng)用技巧，也需掌握與其相交匯的函數(shù)、不等式、平面幾何、程序框圖、歸納推理等知識(shí)的應(yīng)用技巧.

（2）順藤摸瓜，因果輪回→有關(guān)“應(yīng)用型”的數(shù)列題破解關(guān)鍵：通過(guò)閱讀命題情景，提取有效的信息，在理解的基礎(chǔ)上，建立相應(yīng)的數(shù)列模型. 常見(jiàn)數(shù)列模型有：等差數(shù)列模型、等比數(shù)列模型，以及有關(guān)數(shù)列遞推關(guān)系式的模型.

（3）數(shù)列與平面幾何的綜合，往往從探究數(shù)列遞推關(guān)系開(kāi)始，探究歷程往往是“探尋遞推公式→演變成通項(xiàng)公式→①數(shù)列前n項(xiàng)和的研究；②通項(xiàng)公式的延續(xù)拓展”，所以其突破口是要探究點(diǎn)與點(diǎn)的關(guān)系，挖掘數(shù)列的遞推關(guān)系.

（4）數(shù)列是函數(shù)概念的繼續(xù)和延伸，將單調(diào)性、最值、周期、對(duì)稱性及分類思想應(yīng)用到數(shù)列中自然是情理之事. 數(shù)列與函數(shù)的綜合，主要體現(xiàn)在將數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，充分利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解答，這往往需要同學(xué)們養(yǎng)成良好的函數(shù)解題思維習(xí)慣，主動(dòng)構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)等工具解答.

例1 在計(jì)算機(jī)語(yǔ)言中，有一種函數(shù)y=INT（x）叫做取整函數(shù)（也叫高斯函數(shù)），它表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如INT（0.9）=0，INT（3.14）=3，已知 =0.285714，令an=INT ×10n，b1=a1，bn=an-10an-1（n>1且n∈N），則b2015=_______.

破解思路 利用新定義的“取整函數(shù)”，求出數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)；再利用bn=an-10an-1，求出數(shù)列{bn}的前幾項(xiàng)，觀察其規(guī)律，從而可求出b2015的值.

答案詳解 依題意得a1=2，a2=28，a3=285，a4=2857，a5=28571，a6=285714，a7=2857142，…，所以b1=a1=2. 因?yàn)閎n=an-10an-1，所以b2=8，b3=5，b4=7，b5=1，b6=4，b7=2，所以數(shù)列{bn}的周期為6；而2015=335×6+5，余數(shù)為5，所以b2015=b5=1.

例2 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1=t，點(diǎn)（Sn，an+1）在直線y=2x+1上，其中n∈N .

（1）若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值；

（2）設(shè)各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{cn}中，所有滿足ci·ci+1<0的整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列{cn}的“積異號(hào)數(shù)”，令cn= （n∈N ），在（1）的條件下，求數(shù)列{cn}的“積異號(hào)數(shù)”.

破解思路 （1）利用點(diǎn)（Sn，an+1）在直線y=2x+1上，得出Sn與an+1的關(guān)系式；應(yīng)用an=Sn-Sn-1（n≥2），作差消去Sn，得到數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系式；利用{an}是等比數(shù)列，即可求出參數(shù)t的值；

（2）在（1）的條件下，先求出等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；由cn= ，可求出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；通過(guò)求解數(shù)列{cn}的前幾項(xiàng)與判斷數(shù)列{cn}的單調(diào)性，即可求出數(shù)列{cn}的“積異號(hào)數(shù)”.

答案詳解 （1）由題意，當(dāng)n≥2時(shí)，有an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1，兩式相減，得an+1-an=2an，即an+1=3an（n≥2），所以，當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是等比數(shù)列，要使n≥1時(shí){an}是等比數(shù)列，則只需 = =3，從而得出t=1.

（2）由（1）得，等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=1，公比q=3，所以an=3n-1，所以cn= = =1- . 因?yàn)閏1=1- =-3，c2=1- = ，所以c1·c2=-1<0. 因?yàn)閏n+1-cn= - = >0，所以數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列. 由c2= >0，得當(dāng)n≥2時(shí)，cn>0，所以數(shù)列{cn}的“積異號(hào)數(shù)”為1.

例3 給定數(shù)列{an}，若滿足a1=a（a>0且a≠1），對(duì)于任意的n，m∈N ，有an+m=an·am，則稱該數(shù)列為指數(shù)數(shù)列.

（1）定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足f（x）f（y）=f（x+y），當(dāng)x>0時(shí)， f（x）>1，若數(shù)列{an}滿足a1=2， f（an+1）= （n∈N ），試證明數(shù)列{an}是指數(shù)數(shù)列.

（2）若數(shù)列{an}是指數(shù)數(shù)列，a1= （t∈N ），

①當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，求證：an>1- ；

②求證：數(shù)列{an}的任意三項(xiàng)都不構(gòu)成等差數(shù)列.

破解思路 該題模仿指數(shù)函數(shù)，定義了指數(shù)數(shù)列，這類試題的特點(diǎn)是給出了中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中沒(méi)有遇到過(guò)的新知識(shí)，它可以是新的概念、新的定義、新的定理或新的規(guī)則、新的情景. 解決這類題目首先要讀懂新概念，理解新情景，獲取有效信息，然后根據(jù)這個(gè)新知識(shí)作進(jìn)一步演算或推理，綜合運(yùn)用新的信息和數(shù)學(xué)知識(shí)，分析、解決新情景問(wèn)題. 第（1）問(wèn)的突破口是探究抽象函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性，從而脫去符號(hào)“f ”，得出數(shù)列{an}的遞推關(guān)系；第（2）問(wèn)的突破口是數(shù)學(xué)歸納法和反證法.

答案詳解 （1）因?yàn)閒（x）f（y）= f（x+y），故有f（0）f（1）=f（1）. 又當(dāng)x>0時(shí)， f（x）>1，故f（1）≠0，所以f（0）=1>0；當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，由f（x）f（-x）=f（0），得f（x）= >0. 所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)x， f（x）>0恒成立. 任取x1，x2∈R，且x10，因?yàn)閒（x2）-f（x1）=f[x1+（x2-x1）]- f（x1）=f（x1）[f（x2-x1）-1]>0，所以f（x2）>f（x1），故函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增. 因?yàn)閒（an+1）= ，所以有f（an+1-2an）=f（0），所以an+1-2an=0，即an+1=2an，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an=2n. 顯然對(duì)于任意的n，m∈N ，恒有an+m=an·am，而且a1=2，所以數(shù)列{an}是指數(shù)數(shù)列.

（2）因?yàn)閿?shù)列{an}是指數(shù)數(shù)列，故對(duì)于任意的n，m∈N ，有an+m=an·am，所以令m=1，則an+1=an·a1= an，所以{an}是公比為 ，首項(xiàng)為 的等比數(shù)列，故an= .

①證明（用數(shù)學(xué)歸納法證明）：

當(dāng)n=2時(shí)，不等式左邊= =1- >1- =右邊，不等式成立.

假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N ，k≥2）時(shí)，不等式成立，即a >1- .

因?yàn)閍k+1= = · =ak·1- ，所以可得ak+1>1- ·1- >1- ，所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

綜上所述，當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，不等式都成立.

②假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)au，av，aw構(gòu)成等差數(shù)列，不妨設(shè)au>av>aw，則u

當(dāng)t是偶數(shù)時(shí)，2·（t+4）w-v（t+3）v-u是偶數(shù)，（t+4）w-v是偶數(shù)，（t+3）v-u是奇數(shù)，所以2·（t+4）w-v（t+3）v-u≠（t+4）w-u+（t+3）w-u不成立；

當(dāng)t是奇數(shù)時(shí)，2·（t+4）w-v（t+3）v-u是偶數(shù)，（t+4）w-v是奇數(shù)，（t+3）v-u是偶數(shù)，所以2·（t+4）w-v（t+3）v-u=（t+4）w-u+（t+3）w-u不成立.

所以任意t∈N ，2·（t+4）w-v（t+3）v-u=（t+4）w-u+（t+3）w-u不成立，這與（ ）式矛盾，所以假設(shè)不成立，故數(shù)列{an}的任意三項(xiàng)都不構(gòu)成等差數(shù)列.

例4 某校高一有學(xué)生1000人，每周一次同時(shí)在兩個(gè)可容納600人的會(huì)議室，開(kāi)設(shè)“音樂(lè)欣賞”與“美術(shù)鑒賞”的校本課程. 要求每個(gè)學(xué)生都參加，求第一次聽(tīng)“音樂(lè)欣賞”課的人數(shù)為m（400

（1）若m=500，分別求出第二次、第三次選“音樂(lè)欣賞”課的人數(shù)a2，a3；

（2）（?。┳C明：數(shù)列{an-600}是等比數(shù)列，并用n表示an；

（ⅱ）若要求前十次參加“音樂(lè)欣賞”課的學(xué)生的總?cè)舜尾怀^(guò)5800，求m的取值范圍.

破解思路 （1）依題意得a =0.8an+0.3bn，可求得a2，a3的值.

（2）（?。├胊n+bn=1000與a =0.8an+0.3bn，求數(shù)列{an}的遞推公式，再利用等比數(shù)列的定義，即可得證；（ⅱ）先求數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10，再依S10≤5800，得關(guān)于m的不等式，從而求出m的取值范圍.

答案詳解 （1）由已知得an+bn=1000，又a1=500，所以b1=500，所以a2=0.8a1+0.3b1=550，所以b2=450，所以a3=0.8a2+0.3b2=440+135=575.

（2）（?。┯桑?）得a =0.8an+0.3bn，所以a =0.8an+0.3（1000-an）=0.5an+300，所以a -600= （an-600）. 因?yàn)閙∈（400，600），所以a1-600≠0，所以數(shù)列{an-600}是等比數(shù)列，所以an-600=（m-600）× ，得an=600+（m-600）× .

（ⅱ）前十次聽(tīng)“音樂(lè)欣賞”課的學(xué)生總?cè)舜渭礊閿?shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10，S10=6000+（m-600）×1+ +…+ =6000+（m-600）× . 由已知，S10≤5800，所以有600+（m-600）× ≤580，所以m≤499.9. 因?yàn)閙∈N ，所以m的取值范圍是400

1. 過(guò)雙曲線 - =1（a>0，b>0）的左焦點(diǎn)F作圓O：x2+y2=b2的一條切線，切點(diǎn)為A，雙曲線右頂點(diǎn)為B，若AF，OF，BF成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率為（ ）

A. B. C. 2 D. 3

2. 已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，其前n項(xiàng)和為Sn，若直線y= a1x+m與圓（x-2）2+y2=1的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線x+y-d=0對(duì)稱，則數(shù)列 的前2015項(xiàng)和為_(kāi)________.

3. 已知函數(shù)f （x）= + （其中n為常數(shù)，n∈N ），將函數(shù)f （x）的最大值記為an，由an構(gòu)成的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn.

（1）求Sn；

（2）若對(duì)任意的n∈N ，總存在x∈（0，+∞）使 +a=an，求a的取值范圍；

（3）比較 +f （en）與an的大小，并加以證明.