一類(lèi)帶干擾的離散風(fēng)險(xiǎn)模型①

陳奕含，楊 璐，張 拓，卜曉明，楊忻怡，王志福

(渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州121000)

0 引 言

保險(xiǎn)公司在實(shí)際生活中除了保險(xiǎn)業(yè)務(wù)外，相當(dāng)大一部分資金是由投資獲得的，所以考慮了投資因素的風(fēng)險(xiǎn)模型對(duì)保險(xiǎn)公司而言無(wú)疑是非常有意義的，對(duì)這一方面的研究也更有利于保險(xiǎn)公司對(duì)自身前景預(yù)測(cè)和發(fā)展的安排.同時(shí)利率的影響也是經(jīng)濟(jì)中不可忽視的，本文在經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的基礎(chǔ)上，考慮了投資收益也將利率因素的影響加以研究將其進(jìn)行了推廣得到了一個(gè)新的風(fēng)險(xiǎn)模型，同時(shí)得到和經(jīng)典模型十分相似的破產(chǎn)概率的表達(dá)式以及Lundberg 不等式.

1 模型引入

設(shè)保險(xiǎn)公司的盈余過(guò)程為

(1)u=U(0)為保險(xiǎn)公司的初始資本，c ＞0是保險(xiǎn)公司在單位時(shí)間內(nèi)收到的保費(fèi)，i 為常數(shù)，是利率;

(2)N(n)服從參數(shù)是(n，p)的二項(xiàng)序列，是理賠次數(shù)的過(guò)程，Xk，k=1，2，…表示每次的理賠額，是非負(fù)獨(dú)立分布，它的分布函數(shù)是F(x)，E(Zk)=μ ＜∞;

(3)N1(n)服從參數(shù)是(n，p1)的二項(xiàng)序列，Yj，j=1，2，…是隨機(jī)收益次數(shù)過(guò)程，表示每次的隨機(jī)收益額，獨(dú)立同分布，它的分布函數(shù)為G(y)，E(Yj)=γ ＜∞;

(4)假設(shè)N(n)，N1(n)，Zk，k=1，2，…，Yj，j=1，2，…，相互獨(dú)立.記T=inf{n，U(n)＜0}為破產(chǎn)時(shí)刻，則Ψ(u)=P(T ＜∞)為發(fā)生破產(chǎn)的概率，若存在任意的n ＞0，U(n)≥0，約定T=∞.保險(xiǎn)公司要保證自身的穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)，則在單位時(shí)間內(nèi)，投資收益和保險(xiǎn)費(fèi)應(yīng)該大于保險(xiǎn)的索賠額，于是c(1+i)+p1γ－pμ ＞0.

2 主要結(jié)果

引理1 n ≥0 時(shí){V(n)}具有平穩(wěn)的獨(dú)立增量

引理2 E［V(n)］=［c(1+i)+p1γ－pμ］n ＞0

引理3 存在r ＞0，使得E［e－rV(n)］＜∞由以上性質(zhì)知可得:

定理1 方程E［r－V(1)］=1 存在正解R，則R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明: 令g(r)=E［r－V(1)］－1，則可知g(r)是連續(xù)的函數(shù)，且得g(1)=0，g′(1)=－c(1+i)，則一定存在R ＞1 使得g(R)=0，即E［r－V(1)］=1.R 稱(chēng)為調(diào)節(jié)系數(shù).為了的到破產(chǎn)概率Ψ(u)的表達(dá)式，需知:

引理4 若R 為一常數(shù)，且E［R－V(1)］=1，則{R－U(n)，n ≥0}為一正鞅.

證明 令A(yù)n=σ{U(k)，k ≤n}是σ 代數(shù)，U(n+1)=U(n)－W(n+1)，其中W(n+1)=V(n+1)－V(n)與{U(0)，U(1)，…，U(n)}獨(dú)立，與V(1)同分布，對(duì)任意自然數(shù)n，R－U(n)＞0，根據(jù)引理2 得

故{R－U(n)，n ≥0}為一正鞅.

定理2 初始準(zhǔn)備金為的破產(chǎn)概率為

其中R 為調(diào)節(jié)系數(shù)，且Ψ(u)≤e－Ru(1+i)

證明: 根據(jù)引理1 可得{V(n)，n ≥0}具有平穩(wěn)獨(dú)立增量，且E(V(1))=c(1+i)+p1γ－pμ＜∞，所以，由強(qiáng)大數(shù)定律知∞，則，對(duì)任意n ≥0，因?yàn)槠飘a(chǎn)時(shí)刻T是停時(shí)，則T ∧n 也為停時(shí)，又有引理4，由停時(shí)定理得

在上式中令n →∞，再由單調(diào)收斂定理和Lebesgue 控制收斂定理知

則

即

其中Ψ(u)≤e－Ru(1+i)，稱(chēng)為L(zhǎng)undberg 不等式，e－Ru(1+i)稱(chēng)為Ψ(u)的Lundberg 上界.

推論1 Ψ(u)≤R－u

推論3 存在正常數(shù)X，使得Ψ(u)～Xe－Ru(1+i)，u →∞

即

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