數(shù)學(xué)開放題的五個層次

【摘要】數(shù)學(xué)開放題可分為五種不同的層次：第一個層次為“一題多解”；第二個層次為“一題多變”；第三個層次為以跨學(xué)科的概念為主題的數(shù)學(xué)任務(wù)；第四個層次為以工業(yè)設(shè)計為主題、基于學(xué)生小組活動的數(shù)學(xué)任務(wù)；第五個層次為以現(xiàn)實主題和角色扮演的方法布置的復(fù)雜的數(shù)學(xué)探索問題。它們適合小學(xué)生在日常課堂中、課外興趣小組以及夏令營中使用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教育；開放題；五個層次

【中圖分類號】G622.3 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）05-0019-02

【作者簡介】1.安嵩，美國德克薩斯大學(xué)教育學(xué)院（美國德克薩斯州，79902）助理教授，數(shù)學(xué)教育哲學(xué)博士，博士生導(dǎo)師，《數(shù)學(xué)教育學(xué)報（美國）》總編助理；2.Danile Tillman，美國德克薩斯大學(xué)教育學(xué)院（美國德克薩斯州，79902）助理教授，教育科技哲學(xué)博士，博士生導(dǎo)師。

是否需要向美國等西方國家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)教育的方法，是近二十年教育研究者、教師和家長們熱烈爭論的話題之一。其中關(guān)于開放式的教學(xué)模式是否適用于中國課堂的討論尤為激烈：一方面的觀點認為，美國創(chuàng)新性人才層出不窮是源于美國提供給了學(xué)生足夠的開放空間，讓學(xué)生無拘無束地發(fā)揮想象力；另一方面的觀點認為，美國基礎(chǔ)教育薄弱，相比于在應(yīng)試體制下成長的中國學(xué)生而言，美國學(xué)生的數(shù)學(xué)能力明顯不足。

目前，讓教師學(xué)會擺脫對學(xué)生布置那種已經(jīng)有唯一標(biāo)準(zhǔn)答案的和需要使用常規(guī)方法來解決的數(shù)學(xué)問題，是美國數(shù)學(xué)課程研究者的重點研究課題之一。雖然教育研究者們反復(fù)強調(diào)，數(shù)學(xué)課需要大量引入基于生活的、能夠吸引學(xué)生積極投入數(shù)學(xué)思考的問題，但是能夠廣泛地在各個學(xué)校里普遍推廣的課程還極其有限。一個優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師要具備自己設(shè)計和改編每一道題目的能力。

本文將簡要介紹我們對開放題的研究成果：數(shù)學(xué)開放題可分為五種不同的層次，它們適合小學(xué)生在日常課堂中、課外興趣小組以及夏令營中使用，并取得了一定的成果。

第一個層次：“一題多解”

“一題多解”是第一個層次的數(shù)學(xué)開放題。要解決此層次的數(shù)學(xué)問題，需要學(xué)生在使用非常規(guī)思維的情況下，使用高層次的思維來獲取并且驗證答案。

比如：“請列舉出三個數(shù)，讓三個數(shù)之和等于54”，針對這樣的開放題，需要學(xué)生運用逆向思維的方式和代數(shù)的思維方法，在大腦中進行多次猜想和運算，利用三個“未知數(shù)”之間的關(guān)系去得到一組答案。解決此題，學(xué)生不僅可以使用加、減法，還可以使用乘、除法，甚至可以列舉方程。在比對不同解題方法和不同答案的同時，可以加深學(xué)生對“變量”的理解，為以后學(xué)習(xí)代數(shù)打下堅實的思維基礎(chǔ)。

第二個層次：“一題多變”

“一題多變”是第二個層次的數(shù)學(xué)開放題。要解決此層次的數(shù)學(xué)問題，需要學(xué)生聯(lián)系多個數(shù)學(xué)學(xué)科概念（包括算術(shù)、幾何、統(tǒng)計、概率和代數(shù)等）。

比如：“請在世界杯決賽階段找出30項與數(shù)學(xué)有關(guān)的數(shù)據(jù)，并根據(jù)你的數(shù)據(jù)排列出你心目中的世界杯最佳陣容”，解決此題目，學(xué)生需要通過觀看世界杯的比賽，閱讀每場比賽的數(shù)據(jù)，并時刻留意與數(shù)學(xué)相關(guān)的細節(jié)，從而得到屬于自己的答案。解決此類問題時，不僅需要學(xué)生同時考慮若干數(shù)學(xué)概念（包括時間、空間），還需要他們利用其間的聯(lián)系去組織數(shù)學(xué)內(nèi)容從而得出結(jié)論。

第三個層次：以跨學(xué)科的概念為主題的數(shù)學(xué)任務(wù)

以跨學(xué)科的概念為主題的數(shù)學(xué)任務(wù)是數(shù)學(xué)開放題的第三個層次。要解決此層次的問題，需要學(xué)生在不同學(xué)科之間尋找聯(lián)系，在探索數(shù)學(xué)學(xué)科之外的某一個主題（如物理、化學(xué)、生物、音樂、美術(shù)等）時，利用數(shù)學(xué)知識獲取結(jié)果。

比如：“請觀察水在植物生長中的作用，并且用實驗來驗證你的發(fā)現(xiàn)”，解決此題，需要學(xué)生利用自己所學(xué)的生物學(xué)知識，來選取某一個植物進行實驗。在實驗中利用數(shù)學(xué)測量的方法獲取數(shù)據(jù)，用數(shù)學(xué)方法分析數(shù)據(jù)，最后用數(shù)學(xué)方法來展示數(shù)據(jù)并報告最終的結(jié)論。此層次的數(shù)學(xué)任務(wù)可以提高學(xué)生對數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系的認識，有利于學(xué)生樹立起正確的數(shù)學(xué)價值觀。

第四個層次：以工業(yè)設(shè)計為主題、基于學(xué)生小組活動的數(shù)學(xué)任務(wù)

以工業(yè)設(shè)計為主題、基于學(xué)生小組活動的數(shù)學(xué)任務(wù)是第四層次的數(shù)學(xué)開放題。解決此層次的問題，學(xué)生可以做到寓學(xué)于樂，在探索數(shù)學(xué)的同時又能創(chuàng)造出可以使用的某種產(chǎn)品。

比如：“請用電腦設(shè)計出一款新型的廚房用具（比如湯勺），并用3D打印機打印出自己的產(chǎn)品，請計算如何利用最少的材料制作出有最大容積的湯勺”，要解決此題，學(xué)生不僅要在這項工業(yè)設(shè)計中利用各種幾何知識（包括未學(xué)的），考慮自己設(shè)計的產(chǎn)品在生活中的實用性，還需要自己設(shè)計計算方法來測量它的容積及其所需要的材料的體積。學(xué)生在進行工業(yè)設(shè)計和制造的過程中可以有機會了解數(shù)學(xué)所起的作用，通過與班里其他同學(xué)的產(chǎn)品進行比較，學(xué)生可以知道什么樣的設(shè)計最好，還可以知道為什么那樣的設(shè)計比較好。

第五個層次：以現(xiàn)實主題和角色扮演的方法布置的復(fù)雜的數(shù)學(xué)探索問題

以現(xiàn)實主題和角色扮演的方法布置的復(fù)雜的數(shù)學(xué)探索問題是開放題的最高層次。解決此層次的問題，學(xué)生需要在共同協(xié)商的情況下，通過收集數(shù)據(jù)、數(shù)學(xué)計算、圖形表達來找到一個最佳的而不是唯一的問題解決方案。

比如：教師可以讓學(xué)生分組選取并扮演不同的社會角色（如工程師、環(huán)保工作者、醫(yī)生、政治家、商人等），來商討“如何在確保經(jīng)濟發(fā)展的情況下有效地治理首都圈的霧霾問題”。此題目中有諸多變量，且其中的關(guān)系并非此消彼長的簡單線性關(guān)系，扮演不同角色的學(xué)生要通過圖書館、互聯(lián)網(wǎng)、檔案室等收集與自己職業(yè)相關(guān)的數(shù)據(jù)、文件和資料，并且要在制訂自己的預(yù)案時兼顧其他職業(yè)角色的需求，以統(tǒng)計數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)模型為依據(jù)，提出一個各方可以共贏的方案。此層次的開放題可以讓學(xué)生在探索數(shù)學(xué)、利用數(shù)學(xué)的同時，為社會實際存在的重大問題找到可能的解決方案，有利于學(xué)生樹立正確的職業(yè)選擇和人生理想。

在中小學(xué)階段，我們的教育目的并不是把學(xué)生都培養(yǎng)成數(shù)學(xué)家，而是要培養(yǎng)學(xué)生掌握通用的“數(shù)學(xué)語言”和縝密的思維能力，并為他們以后接受高等教育的?？疲ㄌ貏e是理工科類的專業(yè)）學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

我們眼中的開放，是一種貫穿學(xué)校學(xué)科的開放和連接學(xué)校與生活的開放。成功的開放性數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該基于一些與實際生活緊密相關(guān)的活動，比如讓學(xué)生通過開展工程設(shè)計、軟件設(shè)計、城市規(guī)劃等活動來探索數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。課外的以及非正式的教育，也是學(xué)生積累學(xué)科和綜合知識的另一個重要的渠道，博物館、天文臺、動物園、植物園、體育館、火車站、超市等都可以成為學(xué)生進行自主探索的場所。只有接受、包容和理解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中遇到的困難，順應(yīng)學(xué)生的成長需求，才能真正做到數(shù)學(xué)教育的開放。

高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教育是需要在數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)過程以及實際生活間貫通的。數(shù)學(xué)教師和課程設(shè)計者需要解放自己的思想，開放自己的思維，把一些“看似與數(shù)學(xué)無關(guān)”的課題（比如城市交通規(guī)劃、環(huán)境保護、科技創(chuàng)新、國家政治等）作為數(shù)學(xué)探索的主題。

我們堅信：讓學(xué)生在解題過程中培養(yǎng)和發(fā)展創(chuàng)造力，遠比得到一個正確的答案重要得多。當(dāng)學(xué)生可以自覺地把數(shù)學(xué)作為一種有效地處理生活中的各種問題的“工具”時，我們才能有信心讓我們的學(xué)生以后在航天工程、生物科技、人工智能、軟件開發(fā)、建筑設(shè)計及其他任何需要數(shù)學(xué)的領(lǐng)域成為棟梁之才?！?/p>