一類通項為分式的數(shù)列不等式的放縮技巧

鄒桂蘭，唐友建

（肇慶中學(xué)，廣東 肇慶　526060）

數(shù)列不等式綜合是近年來國家及各省市高考中的一類熱點問題。數(shù)列是一類特殊的離散型函數(shù)，數(shù)列不等式與連續(xù)型函數(shù)不等式的解題技巧和方法有一定的共性（比如利用單調(diào)性求最大值等[1]），但數(shù)列問題多利用其自身固有的特點來解決，二者解決問題的技巧與方法也大不相同。因而對學(xué)生解數(shù)列不等式問題的考查，不僅能反映出學(xué)生的邏輯思維能力，也能反映出學(xué)生的思維是否靈活多變。放縮法是解決數(shù)列不等式問題行之有效的主要方法，本文中，筆者主要針對通項為分式形式的數(shù)列不等式證明，提供一些解題方法。

一、通項分母為n次冪型

（1）求a2的值；

（3）證明:對一切正整數(shù)n,有

分析：（1）與（2）略.

（3）當(dāng)n=1時當(dāng)n=2時

當(dāng)n≥3時

此時，

綜上,對一切正整數(shù)n,有

例2已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對一切正整數(shù)n，點Pn(n,Sn)都在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖像上。

（1）求a1,a2；

（2）求數(shù)列{an}的通項公式；

分析：（1）略；（2）an=2n+1 ；

點評：本題是在對數(shù)列通項的分母為n的三次式的求和不等式進行證明時，通過對三次項進行因式分解，裂項成相鄰二次項的形式進行求和，最后放縮得到證明結(jié)果。常用的裂項技巧有

二、通項分母為指數(shù)冪型

例3 在數(shù)列{an}中，a1=1,a2=3,an+2=3an+1-kan(k≠0)，對任意n∈N*成立，令bn=an+1-an,且{bn}是等比數(shù)列。

（1）求實數(shù)k的值；

（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）設(shè)的前n項和為Tn，求證

分析：(1)利用題中的定義及數(shù)列{bn}的前三項成等比數(shù)列，可以求出k=2，然后就k的值進行檢驗；

（2）累加法求得an=2n-1；

解：（1）和（2）略。

故當(dāng)n≥3時，

方法3因為2n-1＞2n-2=2(2n-1-1)，

故當(dāng)n≥3時，

點評：本題先將求和通項放縮成等比數(shù)列求和，或者轉(zhuǎn)化為裂項求和的形式[2]。如還不能得到結(jié)果，可能是前幾項放縮太大的緣故，故常從后幾項開始放縮，以減少誤差。

三、通項分母為n次冪與指數(shù)冪綜合型

例4 已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足anan+1(n∈N*)，且a3+2是a2和a4的等差中項。

（1）求數(shù)列{an}的通項公式。

（2）代入an即可得，再進行求和即可得。

解（1）an=2n；

（2）由（1）得an=2n，代入得

故

又通過觀察知，{Sn}為單調(diào)遞增數(shù)列，故所以，

點評：本題是通項為指數(shù)冪和n次冪結(jié)合的求和問題。通過觀察，將問題轉(zhuǎn)變成先裂項求和,然后進行放縮或者延后放縮[3]。本題的關(guān)鍵點是將裂項為

數(shù)列與不等式作為初等數(shù)學(xué)的重要知識，它們在相互的交融后組成一些新穎、靈活多變的題目，其中蘊含著許多數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法。數(shù)列不等式的題目靈活多變，證明過程技巧性強，不同類型的題目所用的證法可能各不相同。本文主要介紹一類通項為分式的數(shù)列求和不等式的放縮技巧，目的是將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的裂項求和或者等比數(shù)列求和形式，為使放縮更準(zhǔn)確，有時需要對數(shù)列進行延后放縮。

參考文獻：

[1]孫加明,許紹海.證明數(shù)列不等式的若干方法[J].內(nèi)江科技，2007(6):30-31.

[2]王以清.數(shù)列不等式的幾種類型和放縮方法[J].數(shù)學(xué)通訊，2008(1):24-25.

[3]錢從新.放縮法證明數(shù)列不等式的基本策略[J].數(shù)學(xué)通訊，2008(21):26-27.