數(shù)學(xué)中探索性問題的類型及其教學(xué)策略

謝秀容

（鼎湖中學(xué)，廣東 肇慶　526070）

近年來，各省市、自治區(qū)的中考數(shù)學(xué)試題出現(xiàn)了大量探索性類型題目，其所占分值大，難度一般較高，學(xué)生對(duì)解決這類問題常常感到很困惑，其總體得分率較低。探索性問題沒有明顯的結(jié)論，要求學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、歸納、分析、類比、比較等獲得數(shù)學(xué)猜想，并進(jìn)一步尋求證據(jù)，給出證明或舉出反例，從而得到結(jié)論。本文中，筆者就探索性問題的類型和解決方法進(jìn)行一些探討。

一、探索性問題的類型

（一）尋找規(guī)律型問題

尋找規(guī)律型探索性題一般是給出幾個(gè)有一定規(guī)律的代數(shù)式，讓考生根據(jù)其特點(diǎn)歸納可能出現(xiàn)的規(guī)律，最后得出自己的結(jié)論。在教學(xué)過程中，教師不要僅關(guān)注學(xué)生是否找到了規(guī)律，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生是否進(jìn)行了思考。如果學(xué)生一時(shí)未能獨(dú)立發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生開展相互合作交流，進(jìn)一步進(jìn)行探索；教師也可以對(duì)學(xué)生提供一些幫助，讓學(xué)生充分感受探索事物數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律的過程，努力培養(yǎng)、提高學(xué)生的探索和推理能力。

例1 觀察下列等式

9－1=8；16－4=12；25－9=16；36－16=20；……

這些等式反映自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n(n≥1)表示自然數(shù)，用關(guān)于n的等式表示這個(gè)規(guī)律為__________。

探索：教師可先向?qū)W生提示，自然數(shù)n與公式的序數(shù)是緊密聯(lián)系的，存在一定規(guī)律，找出這個(gè)規(guī)律是解決這類題型的關(guān)鍵。用n表示第一個(gè)式中的自然數(shù)就是1，以此類推，然后探索考究每個(gè)等式中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間與n存在何種關(guān)系式。綜觀以上4個(gè)等式存在的規(guī)律，上面4個(gè)等式中的第一項(xiàng)分別等于(n+2)2,第2項(xiàng)分別等于n2,而4個(gè)等式中的右邊各項(xiàng)都是4的倍數(shù)，8=4×2，12=4×3，16=4×4，20=4×5，由此可知等式右邊存在規(guī)律為4(n+1),所以用n的等式可將這個(gè)規(guī)律表示如下：(n+2)2-n2=4(n+1)。

（二）存在型問題

存在型探索性問題一般是給出足夠的題設(shè)或配備相關(guān)的圖形后，出題者根據(jù)已知的題設(shè)提出一些結(jié)論，要求考生考究、探索是否存在這樣的結(jié)論。

例2如圖1，矩形ABCD在x軸上，BC的長是4，A的坐標(biāo)是（-1，0），B的坐標(biāo)是（2，0），求A、C的直線與Y軸交于點(diǎn)E。

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)。

（2）在X軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P。

圖1 示意圖

使OP:PB=CB:OE，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

分析：第(1)問易求，知道了點(diǎn)A、B的坐標(biāo)及BC的長，用待定系數(shù)法可求出過點(diǎn)A、C的直線方程，這個(gè)方程為y=4x/3+4/3。因?yàn)辄c(diǎn)E在Y軸上，可知它的橫坐標(biāo)為0，所以它的縱坐標(biāo)為4/3，即點(diǎn)E﹙0，4/3﹚；至于第﹙2﹚問，由題設(shè)可知四邊形OBCE是直角梯形，CB:OE即是直角梯形的下底比上底，由第﹙1﹚問題設(shè)可知CB=4,OE=4/3,OB=2,所以CB:OE=4:4/3,化簡這個(gè)比例式得CB:OE=3:1?，F(xiàn)要在X軸的正半軸上找一點(diǎn)P，使OP:PB=3:1,可知點(diǎn)P是必然存在的。當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上時(shí)，由OB=2,OP:PB=3:1,易求出OP=3/2；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，由OP:PB=3:1,解得OP=3，所以在X軸的正半軸上存在點(diǎn)P﹙3/2，0﹚或P(3，0)，使得OP:PB=CB:OE。

（三）判斷型問題

判斷型探索性題基本上是由給出的題設(shè)條件，要求學(xué)生判斷一些結(jié)論是否正確，并加以推理論證。

例3 如圖2，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AC、BD是對(duì)角線，將△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，試判定四邊形AEBC的形狀，并證明你的結(jié)論。

圖2 示意圖

探索：由本題的題設(shè)可知四邊形ABCD是等腰梯形，△ABE是由△ABD沿AB翻折所得，要充分應(yīng)用等腰梯形的性質(zhì)、對(duì)稱的性質(zhì)以及全等三角形等知識(shí)。

探索推理過程：

因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，所以∠DAB=∠ABC,AD=BC,

又因?yàn)椤鰽BE是由△ABD沿AB翻折所得，

所以△ABE?△ABD，AD=AE，∠DAB=∠EAB，

所以∠EAB=∠ABC,從而得AE∥BC,AE=BC。

綜上探索可知四邊形AEBC是平行四邊形。

（四）條件探索型問題

條件探索型問題是僅給出給定的結(jié)論，要求探求此結(jié)論成立應(yīng)具備的充分條件。

例4如圖3，己知AB、CD相交于點(diǎn)O,AB=CD,試添加一個(gè)條件使得△AOD?△COB,你添加的條件是_________（只需寫一個(gè)）。

圖3 示意圖

分析：本題要得到結(jié)論△AOD?△COB。己知∠AOD=∠COB，結(jié)合己知條件考慮用“邊角邊”證明全等。如AO=CO和DO=BO中有一個(gè)結(jié)論成立，則另一個(gè)結(jié)論也成立。

答案：添加AO=CO或DO=BO。

（五）結(jié)論探索型問題

結(jié)論探索型問題是指題中沒有給出明確結(jié)論的問題。

例5如圖4，AB=CD,BC=CD,AC和BD相交于E。由這些條件可以得出若干結(jié)論，請(qǐng)你寫出其中3個(gè)正確結(jié)論。（不要再添加字母和輔助線，不要求證明）結(jié)論1：________；結(jié)論2：_______；結(jié)論3：______。

圖4 示意圖

分析：由AB=AD，可得∠ABE=∠ADE;由BC=CD可得∠CDE=∠CBE；由AB=AD,AC=AC，可得△ADC?△ABC,從而∠ADC=∠ABC；由等腰三角形三線合一性質(zhì)可知AC⊥BD,BE=DE

解 結(jié)論 1：AC⊥BD；結(jié)論 2：BE=DE；結(jié)論 3：∠ADC= ∠ABC。

點(diǎn)評(píng)：解決這類問題的一般思路是，從分析題意人手，充分捕捉題設(shè)信息，通過由因?qū)Ч㈨樝蛲评砘蚵?lián)想類比猜想等，獲得所求結(jié)論。一般情況下，結(jié)論是開放的。

二、探索性問題的教學(xué)策略

初中學(xué)生往往覺得探索題神秘、抽象，新的課程標(biāo)準(zhǔn)加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生探索、推理能力的培養(yǎng)，因而教師研究、總結(jié)培養(yǎng)學(xué)生探索能力問題是很有必要的。

（一）積極激發(fā)學(xué)生的探索興趣

興趣可激發(fā)一定的情感，喚起某種動(dòng)機(jī)，培養(yǎng)人的意志，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。在設(shè)計(jì)導(dǎo)入時(shí)，教師可根據(jù)學(xué)生的年齡特征和學(xué)習(xí)心理狀態(tài)進(jìn)行精心策劃，以激發(fā)學(xué)生的求知欲望和探究的內(nèi)在動(dòng)機(jī)。

（二）啟發(fā)探索思維

在教學(xué)過程中，教師要注重傳授給學(xué)生一些思維方法，如辨證法、類比思考法、對(duì)立思考法、轉(zhuǎn)換思考法，等等。鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新思維，自由思考、標(biāo)新立異，指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用形式邏輯與辨證邏輯進(jìn)行推理探索。

（三）培養(yǎng)探索能力

能力的發(fā)展絕不同于知識(shí)與技能的獲得，探索能力的形成是一個(gè)緩慢的過程，有其自身的特點(diǎn)和規(guī)律，因而教學(xué)活動(dòng)必須給學(xué)生提供探索交流的空間，組織、引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，這樣就能拓寬和發(fā)展學(xué)生的推理、探索能力空間，有效地發(fā)展學(xué)生的探索能力。

（四）培養(yǎng)意志品質(zhì)

掌握解答探索性類型題并非容易之事，有的學(xué)生往往因缺乏意志和毅力半途而廢、無功而返，有的學(xué)生則事半功倍。在教學(xué)過程中，教師要著力培養(yǎng)、鍛煉學(xué)生的意志與毅力,良好的意志品質(zhì)對(duì)其智能的發(fā)展具有強(qiáng)化和推動(dòng)作用。

總之，教師在教學(xué)過程中要認(rèn)真貫徹新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，大力培養(yǎng)學(xué)生的推理、探索能力。通過讓學(xué)生經(jīng)歷和探索事物數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律的過程，達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)水平的目的，從而使學(xué)生更好地領(lǐng)悟探索的本質(zhì)。