談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中類比探究能力的培養(yǎng)

黃聯(lián)勇

（高要市金利鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)，廣東 高要　526105）

數(shù)學(xué)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和不斷提高學(xué)生思想方法的重要途徑。2011年版課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出數(shù)學(xué)教育應(yīng)該培育“基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。其中基本思想方法是新增加的部分，突出培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力，體現(xiàn)了改革方向。在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)和提高學(xué)生的類比探究能力是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的重要方法。著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“類比是一個(gè)偉大的引路人。”科學(xué)史上許多重大發(fā)現(xiàn)、發(fā)明無不與類比探究有關(guān)。在教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)以及認(rèn)知心理，注重引導(dǎo)學(xué)生通過觀察分析、探索研究，類比概念、定理等數(shù)學(xué)知識(shí)的相同或不同屬性，讓學(xué)生在合作交流中完成新知識(shí)的自我構(gòu)建，從而真正培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和邏輯推理能力。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念和定理是教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)，下面談?wù)剰倪@兩個(gè)方面如何培養(yǎng)學(xué)生的類比探究能力。

一、在概念教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的類比探究能力

數(shù)學(xué)概念是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)公理、定理的前提條件，也是解答數(shù)學(xué)問題的重要基礎(chǔ)。在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，可以通過尋找概念的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)進(jìn)行類比，用所學(xué)的概念類比新的概念，從而掌握新概念。

(一)概念定義形式類比

在初中數(shù)學(xué)中有大量的概念，這些概念從定義形式上看，有一部分是相似的，通過這些概念之間的類比，可使學(xué)生進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)。

如三角形、四邊形、多邊形概念分別表述為：

由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。

由在同一平面且不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。

由在同一平面且不在同一直線上的多條線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

從概念的定義上看，對(duì)一類圖形條件的限制形式上是一致的，不同之處，一是三角形定義中沒有“在同一平面”，二是組成圖形的線段數(shù)量，其它都是一致的。因此，在教學(xué)中可由三角形的概念類比四邊形，再由四邊形的類比多邊形。通過這樣的類比，學(xué)生能進(jìn)一步理解概念的本質(zhì)，又能提高學(xué)生類比探究的能力。

（二）概念形成過程的類比

“平方根”與“立方根”，在內(nèi)容與知識(shí)展開順序上是平行的，都是先從具體的計(jì)算出發(fā)，類比出平方根和立方根的兩個(gè)概念，再研究它們的特征。因此，在進(jìn)行立方根概念教學(xué)時(shí)，可先復(fù)習(xí)平方根的概念、表示方法，再充分“借用”平方根的概念產(chǎn)生過程進(jìn)行類比。新舊知識(shí)通過類比聯(lián)系，既有利于復(fù)習(xí)鞏固平方根，又有利于立方根概念的理解和掌握，也培養(yǎng)了學(xué)生類比探究的能力，步驟如下：

第一、復(fù)習(xí)引入

先提問，什么叫做平方根？

答：如果x2=a,那么x叫做a的平方根。A的平方根記作，其中a叫做被開方數(shù),2叫做根指數(shù)，可以省略不寫，所以

第二、提出問題

教師試問，學(xué)生能否據(jù)平方根的定義，得到什么叫做立方根？

第三、猜想結(jié)論

A回答，猜想1：如果x3=a,那么x叫做a的立方根。a的立方根記作所以

B回答，猜想2：如果x3=a,那么x叫做a的立方根，a的立方根記作，所以

第四、討論交流、驗(yàn)證猜想

教師分析：如果x2=a，那么x有兩個(gè)值，它們是互為相反數(shù)，但如果x3=a，那么x有兩個(gè)值嗎？舉反例說明，驗(yàn)證猜 想1、如果x3=8，那么嗎？因?yàn)?23＝8，但(-2)3=-8所以的值只有一個(gè)，因此猜想1是錯(cuò)誤的。從而也同時(shí)驗(yàn)證猜想2成立。

第五、歸納發(fā)現(xiàn)，總結(jié)規(guī)律

因?yàn)?3＝27，所以3是27的立方根，即又因?yàn)椋?3）3＝-27，所以-3是-27的立方根，即，從而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：如果x3=a，那么x叫做a的立方根，即并且一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)。

這樣通過新舊概念的類比聯(lián)系進(jìn)行教學(xué)，不僅降低知識(shí)的難度，而且學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和參與度得到提高。經(jīng)常開展這樣的教學(xué)活動(dòng)，不僅能培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，而且訓(xùn)練了學(xué)生的類比探究能力。

二、在定理教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的類比探究能力

數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)過程，是數(shù)學(xué)家智慧的集中體現(xiàn)，也是推理的經(jīng)典之作。因此，在進(jìn)行定理的教學(xué)過程中不只是教給學(xué)生結(jié)論，而且要重視發(fā)現(xiàn)的過程，強(qiáng)化學(xué)生的類比探究。

如全等三角形的判定方法與相似三角形的判定方法的比較：

類似點(diǎn)1.有三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。2.有兩邊對(duì)應(yīng)成比例及這兩邊的夾角相等的兩個(gè)三角形相似。3.有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。不同點(diǎn)聯(lián)系1.有三條邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SSS）2.有兩邊及這兩夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SAS）3.有兩角及這兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（ASA）三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等。當(dāng)兩個(gè)相似三角形的相似比K=1時(shí)，這兩個(gè)三角形就是全等三角形。三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定相等。

從上表可知全等三角形與相似三角形的判定方法類似。因此，學(xué)習(xí)相似三角形判定定理，可先復(fù)習(xí)全等三角形判定公理，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生猜想相似三角形判定方法，步驟如下：

步驟1：復(fù)習(xí)全等三角形的判定方法。

全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS.

步驟2：提出問題。

通過判定三角形全等的SSS方法，看看能不能通過三邊來判斷兩個(gè)三角形相似。

步驟3：直觀感知，大膽猜想。

投 影 ：在 △ABC和 △A′B′C′中 ，如 果 滿 足,那么從直觀看,它們相似嗎?（引發(fā)猜想），搜集學(xué)生的猜想：△ABC～△A′B′C′。

步驟4：小組合作探索，驗(yàn)證猜想，教師應(yīng)正確指導(dǎo)。

教師先將課前準(zhǔn)備好的紙張發(fā)給學(xué)生。

任意畫 △ABC，再畫 △A′B′C′，使它的各邊長(zhǎng)都是△ABC各邊長(zhǎng)的k倍。（k值由學(xué)生自己確定）。

指導(dǎo)學(xué)生把畫好的兩個(gè)三角形剪下來，比較對(duì)應(yīng)角是否相等，這兩個(gè)三角形是否相似。

和小組同學(xué)進(jìn)行交流，看看他們得到什么結(jié)論？

歸納所有同學(xué)的發(fā)現(xiàn)，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？

由一名學(xué)生回答，教師板書提示，如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。

分析證明，形成定理。讓學(xué)生根據(jù)命題畫出圖形，寫出已知和求證。

已知：如圖，△ABC和△A′B′C′中，,

求證：△ABC～△A′B′C′。

學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，通過小組討論交流，讓學(xué)生表述自己的想法，并整理出證明思路。由教師在黑板上演示出來。

(1)如圖，在A′B′上截取A′D=AB,過點(diǎn)D作DE∥B′C′，交A′C′于點(diǎn)E；

(2)用“平行線得相似”的定理可證明△A′DE～△A′B′C′。

(3)再用SSS可證△A′DE?△A′B′C′。

(4)根據(jù)（2）、（3），得：△ABC～ △A′B′C′。

同學(xué)們找到了猜想證明方法后，讓學(xué)生自己寫出證明過程。通過證明得知命題的正確性，從而這個(gè)命題就轉(zhuǎn)化為相似三角形的判定定理1。

由于學(xué)生對(duì)相似三角形與全等三角形聯(lián)系比較清楚，能比較順利地想出相似三角形的判定定理。這些結(jié)論是學(xué)生通過自己比較思考發(fā)現(xiàn)的，留給他們的印象比教師直接給予要深刻，從而培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)新思維能力。學(xué)生為了證明自己猜想的正確，會(huì)充分調(diào)動(dòng)自己的積極性，學(xué)習(xí)效果得到顯著的提高。

以上過程，既突出了類比的思想，又體現(xiàn)了演繹推理的嚴(yán)謹(jǐn)。通過類比結(jié)論的真假判定，既提高了學(xué)生的演繹推理能力，又培養(yǎng)了學(xué)生類比探究能力。