再現(xiàn)朒數(shù)和盈數(shù)

楊文興

(邯鄲職業(yè)技術學院，河北 邯鄲056005)

文章有三部分。

圓周率是圓的周長與其直徑的比值。祖沖之以內接圓和外切圓正多邊形的邊長代替圓的周長，并不斷加倍正多邊形的邊數(shù)以提高近似替代的精確度，從而對圓周率的估計也更精確。因為《綴術》的遺失具體細節(jié)已無法得知。今再計算圓周率，筆者也從內接和外切正多邊形開始。

部分1:一個問題:怎樣做一個內接正n 邊形，怎樣做一個外切正n 邊形?

等分圓心角，n 個圓心角的邊與圓周共有n 個交點。這n 個交點構成圓周的一組等分點，分圓周成n 個小弧段。連接此n 個小弧段的端點，得n 條線段。此n 條線段就構成圓的一個內接正n 邊形。如圖1 所示，為圓的內接正六邊形。

在n 個分點處作切線，與相鄰的切線相交。連接這兩個交點，得一條線段，共可得n 條這樣的線段。此n 條線段就構成圓的一個外切正n 邊形。如圖1 所示，為圓的外切正六邊形。

對于任意一個正多邊形，都可以做一個外接圓。使這個正多邊形成為這個圓的內接正多邊形。正多邊形的頂點都在圓周上。所以正多邊形的每條邊又都是外接圓的弦。因為這些邊的長度都相等，所以正多邊形的邊所對應的圓心角都相等。不同的正多邊形的邊所對應的圓心角可能不相等。但若兩個正多邊形的邊數(shù)相等，則這兩個正多邊形的邊所對應的圓心角相等。外切正n 邊形的邊所對應的圓心角與內接正n 邊形的邊所對應的圓心角相等。

部分2:兩個不等式，四個公式。計算內接正2 ×n 邊形的周長

要計算內接正2 ×n 邊形的周長，必須計算內接正2 ×n 邊形邊長。如果內接正n 邊形的邊長已知，怎樣計算內接正2 ×n 邊形邊長呢?

1:內接正2 ×n 邊形的邊長與內接正n 邊形的邊長的關系

如圖2 所示，半徑為1 的圓，點O 為圓心，周長為x。AB 為內接正n 邊形的一條邊，其長度為s0?！螦OB=α。

過圓心作邊AB 垂線，交AB 于點C，交圓周于點D。則可知弦半徑OD 平分邊AB;點D 平分AB 所對應的弧段。所以AD，BD 是內接正2 ×n 邊形的邊，其長度記為s1。

在直角ΔBOC 中:

在直角ΔBCD 中:

要計算內接正2k×n 邊形的周長需計算內接正2k×n 邊形的邊長sk。要計算sk需計算sk－1，一直下去，需計算s0。

這樣對任意的正整數(shù)n ＞2，內接正2k×n 邊形的周長隨著k 的增大越來越逼近于圓的周長。

為了便于計算s0，令n=6。

正六邊形的邊所對應的圓周角是60°，邊與其端點處的半徑構成等邊三角形。

∴AB=1，即s0=1。

因此可得:

……

根號太多了，為了方便引入一族新記號。令:

用歸納法:

當k=0 時，D0=1，s0=1

設k=l 時結論成立。

當k=l+1 時，

∴k=l+1 時結論成立。

∴該結論成立。

通過驗證熟悉一下這個公式。

從而也可得

sk－1=sk×Dk+1，(k ＞0)。

同理sk=sk+1×Dk+2，(k ＞0)。

記內接正2k×6 邊形周長為Ls(k)，則Ls(k)=2k×6 ×sk小于圓的周長。即不等式x ＞Ls(k)成立。

2:計算外切正2k×n 邊形的周長。

由前面的討論可知外切正2k×n 邊形與內接正2k×n 邊形所對應的圓心角相等。

圖3 所示，半徑為1 的圓，點O 為圓心，周長為x。EF 是外切正2k×n 邊形的一條邊，設其長度為mk。其所對應的圓心角也是α，∠EOF=α。D 為切點。計算EF 的長度。

可知切點D 必是邊EF 的中點。

連接端點E 與圓心O，F(xiàn) 與圓心O。與圓周分別交于A，B。連接A，B 得弦AB?？芍@條弦所對應的圓心角也是α。且可知AB 為內接正2k×n 邊形的一條邊。其長度已經(jīng)知道為sk，半徑OD 與邊AB垂直，交于點C。

OD 與AB，EF 垂直，且平分AB，EF。

ΔBOC 和ΔFOD 是直角三角形，且直角ΔBOC 和直角ΔFOD 為相似直角三角形。

來熟悉一下mk。

s0=1，

外切正2k×6 邊形的周長記為Lm(k)，Lm(k)=2k×6 ×mk，與圓的周長有不等式x ＜Lm(k)成立。

對任意的k≥0，有以下不等式成立:

Ls(k)＜x ＜Lm(k)。

部分3:計算圓周率，兩個近似值函數(shù)。

重復一下前面的結果。這個結果將作為新的出發(fā)點。

對任意的k≥0，有不等式6 ×2k×sk＜x ＜6 ×2k×mk，成立。

如何通過這個不等式計算圓周率，或估計圓周率是本文的重點。

為了計算Ls(k)和Lm(k)，我們得計算出sk，即及mk即sk，mk準確值是計算不出來的，計算機也不行。只能對sk，mk作近似計算，就是保留小數(shù)。然后再以這些近似值為依托對圓周率進行計算或估計。

以計算Ls(11)，Lm(11)，保留小數(shù)點后14 位數(shù)，為例。

先求出D1或其近似值。

為此筆者采用一個特殊的計算辦法，這個辦法的好處在于對結果可以做大小分析比較。具體如下:

對D1即進行近似計算，保留小數(shù)點后14 位，將小數(shù)點后第15 位及第15 位之后的數(shù)全部舍去。把D1的這個近似值記為可知成立。

再求D1另一個近似值。重復得到的過程。在得到之后，在的小數(shù)點后第十四位上加1。把D1的這個近似值記為可知成立。

在以后的計算中要經(jīng)常做這個操作，為簡化敘述不妨定義兩個函數(shù)C，A:

?x ＞0，

C(x)=［x×1014］÷1014，［］是取整函數(shù)。

A(x)=［x×1014+1］÷1014，［］是取整函數(shù)。

顯然A(x)，C(x)都是x 的近似值，

C(x)≤x ＜A(x)，

且A(x)－C(x)=10－14

再來計算D2的近似值。并不是直接調用那兩個近似函數(shù)。

這樣在計算D1，D2，……D11，D12的過程中我們得到了他們的兩組近似值

證明當然可以，但見表1 更方便:

表1 每個Dk 的兩個近似值

計算 S11:

再來計算m11。

所以圓周率介于3.14159260127232 與3.14159276408833 之間。

K=11 yx=14 時，C(pi)=3.14159260127232 A(pi)=3.14159276408833

K=11 yx=15 時，C(pi)=3.141592613302271 A(pi)=3.141592722665472

K=11 yx=16 時，C(pi)=3.1415926186401792 A(pi)=3.1415927213150207

K=11 yx=17 時，C(pi)=3.14159261864073213 A(pi)=3.14159272131403755

K=11 yx=18 時，C(pi)=3.141592618640787648 A(pi)=3.141592721314026004

當K=12 時，需計算D12*和D13#。

K=12 yx=14 時，Cpi=3.14159247986688 Api=3.14159274590209

K=12 yx=15 時，Cpi=3.141592623968255 Api=3.141592676327424

K=12 yx=16 時，Cpi=3.1415926453211140 Api=3.1415926709919745

K=12 yx=17 時，Cpi=3.14159264532111359 Api=3.14159267098976258

K=12 yx=18 時，Cpi=3.141592645321211740 Api=3.141592670989541424

由以上結果可以得出祖沖之的結論。即圓周率介于朒數(shù)3.1415926 與盈數(shù)3.1415927 之間。

筆者在計算時用的是計算機。那么離了計算機還能做嗎?筆者用了40 分鐘完成了對D1，即的近似計算，得到D1#。用了90 分鐘計算了保留小數(shù)都是到第15 位，也就是說，對第15 位小數(shù)做了如上所述的近似處理。其它的Dk#的計算量也不會比D2#大。所以祖沖之的朒數(shù)，盈數(shù)可以用紙和筆，通過計算得到。計算時，若保留的小數(shù)少于15 位，就得不到祖沖之的結果。

借助計算機，在更多情況下筆者計算了圓周率的上下界所對應的值。但都不能對圓周率的估計多精確一位，即到第8 位。應是方法所限。祖沖之也沒能給一個更精確地結果。也許我們的方法有共同之處。

用以上方法需進行28 次近似計算。在每次計算中保留小數(shù)多于15 位少于20 位;其中27 次開方運算、一次除法運算，再加2 次勿需近似處理的乘法運算就可得到祖沖之的那兩個數(shù)和結論，即圓周率介于朒數(shù)3.1415926 及盈數(shù)3.1415927 之間。

來研究一下上限和下限的差值:

一個視覺很好的式子。除了能預測上下限的差趨于零之外，筆者不知別的用處。

隋書記載“…又設開差冪，開差立，兼以正圓參之。指要精密。算實之最者也”。我也許是在亂解釋這段話。在上面式子中出現(xiàn)了，sk，是不是“開差冪”：是不是“開差立”;用代換mk3時是不是把邊長mk放到整個圓上考慮的。計算結果表明上下界的差越來越小，所以以此法估計的圓周率也就越來越精密。

在計算中兩個近似函數(shù)A(x)、C(x)被頻繁使用。這兩個函數(shù)與和我國古代數(shù)學中的盈肭兩字的含義是一致的。借一道數(shù)學應用題來說明。這個應用題來自《算法統(tǒng)宗》第三部分卷十盈肭章。是第一道練習題:

“盈肭第一題:問醵金購物。每人出銀五兩盈六兩，每人出銀三兩不足四兩，問人數(shù)，物價各若干?”

有十道這樣類似的題。可以看出盈肭問題實際上是“多點、少點的問題”

A(x)比x 多點，C(x)比x 少點。

稱3.1415926 為朒數(shù)，3.1415927 為盈數(shù)是偶然的嗎?還是祖沖之在計算過程中經(jīng)常用到盈肭概念呢?

筆者用祖沖之所具備的數(shù)學知識計算出了他的結果，說明祖沖之的結果應該是他計算出來的，而根本不用一點測量。計算的工作量也不大。

以上就是筆者得到朒數(shù)和盈數(shù)的方法和過程。限于本人水平，恐怕文章中會有錯誤。若發(fā)現(xiàn)，歡迎批評指正。

再謹借此機會向關心幫助此文的各方友人，學者表示感謝。

［1］華羅庚.從祖沖之的圓周率談起［M］.北京:科學出版社，2002

［2］王海坤，葛麗.祖沖之是怎樣計算圓周率的［J］.數(shù)學通訊，2013，(4)

［3］曲安京.祖沖之是怎樣得到圓周率π=355/113 的［J］.自然辯證法通訊，2002，(3)

［4］王青建.祖沖之的影響與現(xiàn)代數(shù)學史教育［J］.數(shù)學教育學報，2001，(2)