賞析高考定積分試題

定積分試題出現(xiàn)在很多省份的高考試卷中，在考查三基的基礎(chǔ)上，在知識的交匯點上命題，以能力為立意，涌現(xiàn)出了許多創(chuàng)新題，值得我們關(guān)注與學(xué)習，下面從近幾年的高考真題中采擷數(shù)例，予以深度解析，旨在探究題型規(guī)律，揭示解題方法.

1考查定積分的幾何意義

例1（2014年山東理科第6題）直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為（）.

A.22B.42C.2D.4

分析封閉圖形的面積就是定積分的幾何意義.

圖1解先畫出圖形如圖1，封閉圖形就是陰影部分，聯(lián)立y=4x，

y=x3，且在第一象限，得O（0，0），A（2，8），所以所求面積S=∫20（4x-x3）dx=（2x2-14x4）20=4，故選D.

評注封閉圖形的面積S=∫ba[f（x）-g（x）]dx，這里x的范圍從a到b，對應(yīng)定積分的下限和上限，被積函數(shù)必須是上面的函數(shù)f（x）減去下面的函數(shù)g（x），所得定積分就是封閉圖形的面積.

2函數(shù)的奇偶性在定積分中的應(yīng)用

例2（2014年湖北理科第6題）若函數(shù)f（x），g（x）滿足∫1-1f（x）·g（x）dx=0，則稱f（x），g（x）為區(qū)間[-1，1]上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：

①f（x）=sin12x，g（x）=cos12x；②f（x）=x+1，g（x）=x-1；③f（x）=x，g（x）=x2.

其中為區(qū)間[-1，1]上的正交函數(shù)的組數(shù)是（）.

A.0B.1C.2D.3

分析根據(jù)題意，要使f（x），g（x）為區(qū)間[-1，1]上的一組正交函數(shù)，則就使得∫1-1f（x）·g（x）dx=0，即在x∈[-1，1]上，f（x）·g（x）為奇函數(shù)即可.因為任何一個奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的定積分為0.

解①組f（x）·g（x）=12sinx為奇函數(shù)，故①組為正交函數(shù).②組f（x）·g（x）=x2-1為偶函數(shù)，故②組不是正交函數(shù).③組f（x）·g（x）=x3為奇函數(shù)，故③組為正交函數(shù)，故選C.

說明任何一個奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的定積分為0，例如奇函數(shù)y=f（x）在關(guān)于原點對稱的區(qū)間[-a，a]的圖像如圖2所示，因為奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，所以封閉圖形的面積S1=S2，但是S1=∫a0f（x）dx，

S2=-∫0-af（x）dx，所以∫a-af（x）dx=∫0-af（x）dx+∫a0f（x）dx=-S2+S1=0.

3換元思想在定積分中的應(yīng)用

例3（2014年江西理科第8題）若f（x）=x2+2∫10f（x）dx，則∫10f（x）dx=（）.

A.-1B.-13C.13D.1

分析任何一個函數(shù)的定積分都是一個常數(shù)，所以∫10f（x）dx也表示一個常數(shù).

解設(shè)∫10f（x）dx=m，則由已知得f（x）=x2+2m，所以∫10（x2+2m）dx=m，（13x3+2mx）10=m，13+2m=m，m=-13，所以∫10f（x）dx=-13，故選B.

評注本題的關(guān)鍵是利用定積分的實質(zhì)來代換定積分，否則就感到難以下手.

4定積分與三角函數(shù)交匯

評注求定積分關(guān)鍵是要找到原函數(shù)，利用微積分基本定理解出定積分；其次利用三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)可求出其對稱軸.

5定積分與幾何概型整合

圖3例5（2014年福建理科第14題）如圖3，在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為.

分析很明顯是利用定積分求面積的幾何概型.從近幾年的高考題可以看出，定積分與幾何概型結(jié)合是高頻考點，是常態(tài)化的整合.

解因為y=ex與y=lnx（x>0）互為反函數(shù)，所以它們的圖像關(guān)于直線y=x對稱，圖中的正方形也關(guān)于直線y=x對稱，所以兩塊陰影部分的面積相同.

所以S陰影=2∫10（e-ex）dx=2（ex-ex）10=2，所以落到陰影部分的概率為p=2e2.

例6（2010年全國新課程卷理科第13題）設(shè)y=f（x）為區(qū)間[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f（x）≤1，可以用隨機模擬方法近似計算積分∫10f（x）dx，先產(chǎn)生兩組（每組N個）區(qū)間[0，1]上的均勻隨機數(shù)x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N個點（xi，yi）（i=1，2，…，N），再數(shù)出其中滿足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的點數(shù)N1，那么由隨機模擬方案可得積分∫10f（x）dx的近似值為.

分析能畫圖的題目，就要想方設(shè)法畫圖，因為圖形可以幫助我們構(gòu)建解題的思路.又因為y=f（x）為區(qū)間[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f（x）≤1，所以你可以畫滿足題意的任一函數(shù)都可以，不會影響結(jié)果.

則N1N≈∫10f（x）dx1×1得∫10f（x）dx≈N1N，故積分∫10f（x）dx的近似值為N1N.

評注學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的思想解題，是學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)的一個標志；此題考查了幾何概型，定積分及其幾何意義，綜合性較強，很好地考查了學(xué)生對知識的理解深度和靈活應(yīng)用的程度；題目新穎，匠心獨運.

6用定積分求體積

例7（2013上海理科第13題）在xOy平面上，將兩個半圓?。▁-1）2+y2=1（x≥1）和（x-3）2+y2=1（x≥3）、兩條直線y=1和y=-1圍成的封閉圖形記為D，如圖5中陰影部分.記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為Ω，過（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面面積為4π1-y2+8π，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出Ω的體積值為.

分析大家知道加速度的積分是速度，速度的積分是位移.所以類比得出面積的積分是體積.

解V=∫1-1（4π1-y2+8π）dy=

4π∫1-11-y2dy+16π.

畫圖形如圖6，由幾何意義知∫1-11-y2dy=π2，所以V=2π2+16π.

評注大膽合理的類比遷移，令人耳目一新的創(chuàng)新好題.

7用定積分思想證明一類不等式

例8（2014年陜西卷理科第21題）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（1）略；（2）略；

（3）設(shè)n∈N+，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-f（n）的大小，并加以證明.

解析（3）由題設(shè)知：g（1）+g（2）+…+g（n）=12+23+…+nn+1，n-f（n）=n-ln（n+1）

比較結(jié)果為：12+23+…+nn+1>n-ln（n+1），用定積分證明如下：

圖7如圖7，∫n0xx+1dx是由曲線y=xx+1，x=n及x軸所圍成的曲邊梯形的面積，而12+23+…+nn+1是圖中所示各矩形的面積和，所以12+23+…+nn+1>∫n0xx+1dx=∫n0（1-1x+1）dx=n-ln（n+1）.

例9（2012年天津理科第20題）已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a>0.

（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若對任意x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實數(shù)k的最小值；

（Ⅲ）證明：∑ni=122i-1-ln（2n+1）<2（n∈N*）.

解（Ⅰ）a=1，過程略；（Ⅱ）實數(shù)的最小值為12，過程略；

要證

∑ni=122i-1-ln（2n+1）<2，即證2+∑ni=222i-1-ln（2n+1）<2，即證∑ni=222i-1

評注證明形如∑ni=n0f（i）>c（或g（n）（或

從以上各例可以看出，定積分為傳統(tǒng)知識輸入了新鮮血液，豐富了數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)，促進了思維方式的多元化，隨著定積分在高考中的進一步滲透，必將會增強知識的綜合度，為提高數(shù)學(xué)的思維能力創(chuàng)造了廣闊的空間，為發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力提供了有效的途徑.

作者簡介王新宏，男，1974年生，甘肅高臺人，中學(xué)高級教師，主要從事高考數(shù)學(xué)的研究.