關(guān)于等冪和一個不等式的注記

宋志敏　尹櫪

文[1]作者介紹了等冪和的一些背景與結(jié)果，特別介紹了緊密聯(lián)系數(shù)論的一些結(jié)果.文[2]利用貝努里不等式及數(shù)學(xué)歸納法證明了關(guān)于等冪和的一個猜想.即對于任意的λ∈N*，則有

nλ+1λ+1<1λ+2λ+…+nλ<（n+1）λ+1λ+1.

文[3]作者采用定積分估計的方法重新證明了上述不等式.本文通過等冪和的一個等式證明并改進了上述不等式的右邊，并且也給出了等冪和的一個下界.最后把主要結(jié)果推廣到更一般的情況.

引理1對任意的λ∈N*，成立

∑ni=1iλ=（n+1）λ+1λ+1-1λ+1+∑λ-1k=0Ckλ+1λ+1∑ni=1ik.

證明利用二項式定理易知（p+1）λ+1=C0λ+1p0+C1λ+1p1+C2λ+1p2+…+Cλ+1λ+1pλ+1.

令p=1，2，…，n，并依次相加，消去同類項可得

（n+1）λ+1=1+C0λ+1∑ni=11+C1λ+1∑ni=1i1+…+Cλλ+1∑ni=1iλ.所以Cλλ+1∑ni=1iλ=（n+1）λ+1-1+C0λ+1∑ni=11+C1λ+1∑ni=1i1+…+Cλ-1λ+1∑ni=1iλ-1.

整理化簡即證明了引理1.

引理2[4]（Cp不等式）對任意的ak，bk∈R，k=1，2，…，n，p>0，成立∑nk=1akp≤Cp∑nk=1akp，其中Cp=1，0

np-1，p≥1.

定理1對任意的λ∈N*，有n（n+1）λ2λ<1λ+2λ+…+nλ<（n+1）λ+1-1λ+1.

證明利用引理1，右邊不等式顯然成立.對于左邊不等式，利用引理2可得

∑nk=1iλ≥1nλ-1∑nk=1iλ=n（n+1）λ2λ.

注1顯然（n+1）λ+1-1λ+1<（n+1）λ+1λ+1，所以定理1中右邊不等式改進了文[1]中不等式的右邊.

注2定理1中左邊不等式與文[1]中不等式左邊不能相互包含.

下面考慮更廣泛的問題.即aλ1+aλ2+…+aλn的上下界.其中{an}為正項等差數(shù)列，首項設(shè)為a1，公差為d≠0.類似的，利用二項式定理可得

（ap+d）λ+1=C0λ+1dλ+1+C1λ+1a1pdλ+…+Cλ+1λ+1aλ+1p.

令p=1，2，…，n，并依次相加，消去同類項可得

（an+d）λ+1=ndλ+1+C1λ+1dλ∑ni=1a1i+…+Cλλ+1d∑ni=1aλi+aλ+11.

整理化簡可得

∑ni=1aλi=（a1+nd）λ+1（λ+1）d-aλ+11（λ+1）d-∑λ-1k=0Ckλ+1dλ+1-k（λ+1）d∑ni=1aki.

另一方面，利用引理2可得

∑nk=1aλi≥1nλ-1∑nk=1aiλ=（2na1+n（n-1）d）λ2λnλ-1.

綜合上面的分析可以得到如下定理：

定理2對任意的λ∈N*以及{an}為正項等差數(shù)列，首項設(shè)為a1，公差為d≠0，則有

（2na1+n（n-1）d）λ2λnλ-1

注3若定理2中a1=1，公差為d=1，則定理2中不等式即為定理1中不等式.

參考文獻

[1]陳景潤，王天澤.關(guān)于等冪和中的一些問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2013（5）.

[2]王伯龍.自然數(shù)等冪和的一個不等式[J].數(shù)學(xué)通訊，2013（7）.

[3]阮靈東.一個有趣不等式的另證與推廣[J].數(shù)學(xué)通訊，2014（1）.

[4]匡繼昌.常用不等式[M].濟南山東科學(xué)技術(shù)出版社，2010（第四版）.

作者簡介宋志敏，女，1979年7月生，山東濱州人，中學(xué)一級教師，濱州市學(xué)術(shù)培養(yǎng)人，獲得2013年濱州市教育先進個人稱號，獲得濱州市優(yōu)秀自然學(xué)術(shù)成果獎二等獎一項，三等獎一項.發(fā)表論文20余篇.