挖掘函數(shù)中的隱含條件，揭示函數(shù)中的深邃美

吳成強(qiáng)　李學(xué)武

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主線，貫穿整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中.函數(shù)的三要素是定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，函數(shù)的性質(zhì)有單調(diào)性、奇偶性、周期性等，而這些要素和性質(zhì)有時(shí)比較隱含，如果僅從表面形式上看，則比較復(fù)雜，一時(shí)難以弄清思路，甚至感到問題難以解決.但如果我們能抽絲剝繭，挖掘其隱含條件，透過(guò)表象而抓住問題的本質(zhì)，則往往會(huì)使問題解決感到很簡(jiǎn)便，讓人眼睛一亮，茅塞頓開，有一種“不識(shí)廬山真面目，只緣深在此山中”的感覺.

1定義域的隱含

有些函數(shù)，表面上看較為復(fù)雜，但如果我們求出其定義域或抓住其定義域中的某些隱含屬性，就能將函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求出某些量，使問題簡(jiǎn)化，解決起來(lái)很簡(jiǎn)單.

例1判斷函數(shù)f（x）=4-x2|x+2|-2的奇偶性.

解函數(shù)的定義域?yàn)?2≤x≤2且x≠0，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)閤+2≥0，所以|x+2|=x+2，所以f（x）=4-x2x+2-2=4-x2x，易知f（x）是奇函數(shù).

點(diǎn)撥不少學(xué)生由于僅僅從表象上看，得出函數(shù)f（x）是非奇非偶函數(shù)這一錯(cuò)誤結(jié)論.這一道題的關(guān)鍵點(diǎn)是挖掘函數(shù)定義域這一隱含條件，然后把絕對(duì)值去掉，將函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn).

例2已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，它的定義域是[a-1，2a]，求f（x）的值域.

解因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又定義域?yàn)閇a-1，2a]，所以a-1=-2a，所以a=13.由f（x）是偶函數(shù)得b=0，所以f（x）=13x2+1，定義域?yàn)閇-23，23]，易得值域?yàn)閇1，3127].

點(diǎn)撥本題隱含條件是“奇偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”，利用這一屬性可求出a的值.不少學(xué)生因忽視了奇、偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一屬性，沒有想到可以求出a的值，而是對(duì)a分情況討論，出現(xiàn)了錯(cuò)誤的解法.

2值域的隱含

有些函數(shù)或方程，其值域比較隱含，如果抓住了這一本質(zhì)，就找到了問題解決的突破口，給人一種茅塞頓開的感覺，讓人感到心曠神怡，美不勝收.

例3已知P是函數(shù)f（x）=-2cosx（x∈[0，π]）圖象上的一點(diǎn)，Q是函數(shù)g（x）=12x2+lnx圖象上的一點(diǎn)，在P點(diǎn)處的切線與在Q點(diǎn)處的切線平行，求直線PQ的斜率.

解f′（x）=2sinx（x∈[0，π]），g′（x）=x+1x（x>0），假設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則依題意f′（x1）=g′（x2），但f′（x1）=2sinx1≤2，g′（x2）=x2+1x2≥2，所以f′（x1）=g′（x2）=2，等號(hào)成立條件是x1=π2，x2=1.所以y1=0，y2=12，即P（π2，0），Q（1，12），所以kPQ=121-π2=12-π.

點(diǎn)撥本題的關(guān)鍵點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)等式兩邊的值域分別為f′（x1）≤2，g′（x2）≥2，所以f′（x1）=g′（x2）=2，這是問題解決的突破口，而這也恰恰成為相當(dāng)一部分學(xué)生盲點(diǎn)或者說(shuō)是不易發(fā)覺的點(diǎn).

例4已知函數(shù)f（x）滿足如下三個(gè)條件：①對(duì)任意x1，x2∈[0，1]，x1

解由②知f（0）=12f（0），所以f（0）=0，由③知f（0）+f（1）=1，所以f（1）=1，由②知f（15）=12f（1）=12，由③得f（12）+f（12）=1，所以f（12）=12.

所以f（15）=f（12）=12，由①知當(dāng)15≤x≤12時(shí)，f（x）=12，所以f（13）=12.

所以由②知f（115）=12f（13）=12×12=14，所以f（12）+f（15）+f（115）=12+12+14=54.

點(diǎn)撥本題的關(guān)鍵點(diǎn)是“兩邊夾”法則，由f（15）=f（12）=12及函數(shù)的單調(diào)性得15≤x≤12時(shí)f（x）=12，而這一點(diǎn)也是不少學(xué)生不容易想到的.

3函數(shù)性質(zhì)的隱含

有些函數(shù)，其單調(diào)性與奇偶性這些性質(zhì)往往比較隱含，如果不把這些隱含的性質(zhì)挖掘出來(lái)，僅僅根據(jù)解析式的表象，則問題解決比較困難，甚至于無(wú)法求解.而如果利用這些隱含的性質(zhì)，則使問題解決變得十分輕松，給人一種哥倫布發(fā)現(xiàn)新大陸的感覺，美妙無(wú)比，思維受到很大的啟發(fā).

例5已知f（x）=ln（x+1+x2），f（a）+f（b-1）=0，求a+b的值.

解易知f（-x）+f（x）=0，所以f（x）為奇函數(shù).又根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)易知f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，而奇函數(shù)不改變函數(shù)的單調(diào)性，所以f（x）在（-∞，0）上也為增函數(shù)，又f（x）是連續(xù)函數(shù)，所以f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù).由f（a）+f（b-1）=0得f（a）=-f（b-1）=f（1-b），所以a=1-b，所以a+b=1.

點(diǎn)撥本題的關(guān)鍵是挖掘函數(shù)的隱含性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性和奇偶性，利用性質(zhì)輕松解題，讓人眼睛一亮，給人以簡(jiǎn)潔美的享受.題目中沒有明確給出函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，而要靠自己去發(fā)掘，去發(fā)現(xiàn)，這也是不斷提升思維品質(zhì)的關(guān)鍵所在.

例6已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（-32+x）=f（32+x），當(dāng)x∈（0，32）時(shí)，f（x）=ln（x2-x+1），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

A.3B.5C.7D.9

解易知f（x+3）=f（x），所以周期T=3，根據(jù)題設(shè)，易畫出y=f（x）在[0，6]上的草圖如下：

在f（-32+x）=f（32+x）中，令x=0得f（-32）=f（32），又f（-32）=-f（32），所以-f（32）=f（32），所以f（32）=0，所以f（92）=f（3+32）=f（32）=0.

所以函數(shù)f（x）在[0，6]上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為9，選D.

點(diǎn)撥本題中隱含著奇函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生不容易發(fā)現(xiàn)f（32）=0，從而f（92）=0，從而導(dǎo)致得出零點(diǎn)個(gè)數(shù)為7的錯(cuò)誤答案.

4數(shù)列中的隱含

數(shù)列也是函數(shù)，而對(duì)于數(shù)列中的某些隱含條件，如果加以挖掘，則會(huì)使問題巧妙解決.

例7已知兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1=a（a>0），b1-a1=1，b2-a2=2，

b3-a3=3，若數(shù)列{an}唯一，求a的值.

解設(shè){an}的公比為q，則由已知b1=1+a，b2=2+aq，b3=3+aq2，又{bn}為等比數(shù)列，所以b22=b1b3，即（2+aq）2=（1+a）（3+aq2），整理得aq2-4aq+3a-1=0.（*）

由于Δ=16a2-4a（3a-1）=4a2+4a>0（因?yàn)閍>0），所以方程（*）有兩個(gè)不等的根，而等比數(shù)列{an}唯一，所以方程（*）必有一根q=0，將q=0代入方程（*）得3a-1=0，所以a=13.

點(diǎn)撥本題的隱含條件是等比數(shù)列的公比q≠0，而方程（*）有兩個(gè)不等的根，所以必有一根為q=0，這是解決問題的突破口.

本文僅僅研究了函數(shù)方面的隱含條件，其實(shí)數(shù)學(xué)中的隱含條件有很多，既有代數(shù)方面的，也有幾何方面的，如果解題中不能挖掘這些隱含條件，透過(guò)現(xiàn)象抓本質(zhì)，而僅僅停留在問題的表面上，則往往使問題解決變得非常復(fù)雜，甚至于出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果.在平時(shí)的解題中，就是要養(yǎng)成多思考、多總結(jié)、多歸納的良好習(xí)慣，要訓(xùn)練思維的深刻性，增強(qiáng)思維的評(píng)判性，要善于抓住問題背后隱含的條件或者本質(zhì)，克服思考問題的簡(jiǎn)單性和片面性.要通過(guò)解決一個(gè)問題，發(fā)現(xiàn)和聯(lián)想一片問題，達(dá)到“見樹木更見森林”的境界.

作者簡(jiǎn)介吳成強(qiáng)，男，1963年生，中學(xué)高級(jí)教師，安徽省特級(jí)教師，池州市首屆拔尖人才，池州市首批名師工作室主持人，池州市學(xué)科帶頭人，池州市優(yōu)秀教師，十佳教師，安徽省教壇新星，安徽省先進(jìn)工作者（省勞模），全國(guó)五一勞動(dòng)獎(jiǎng)?wù)芦@得者，蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)獲得者.在省級(jí)以上刊物發(fā)表學(xué)術(shù)論文50多篇，有兩篇論文被中國(guó)人民大學(xué)書報(bào)資料中心《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.