從“形”的角度感知“數(shù)”的大小
——“有理數(shù)大小比較”的教學(xué)及感悟

☉江蘇省如皋市東陳鎮(zhèn)東陳初級(jí)中學(xué) 徐海燕

從“形”的角度感知“數(shù)”的大小
——“有理數(shù)大小比較”的教學(xué)及感悟

☉江蘇省如皋市東陳鎮(zhèn)東陳初級(jí)中學(xué) 徐海燕

數(shù)軸是初中階段的第一次數(shù)形結(jié)合，它是學(xué)生研究有理數(shù)、實(shí)數(shù)的表示、大小比較及運(yùn)算的重要工具.在七年級(jí)上學(xué)期的“有理數(shù)大小比較”教學(xué)中，筆者借助數(shù)軸從“形”的角度捕獲數(shù)的信息，讓學(xué)生直觀感知有理數(shù)之間的大小關(guān)系，數(shù)軸的教學(xué)價(jià)值得以充分發(fā)揮.現(xiàn)呈現(xiàn)這一教學(xué)歷程，并談一些個(gè)人的感悟，希望能給您帶來啟示.

一、“1.2.4絕對(duì)值”（有理數(shù)的大小比較）教學(xué)片斷

圖1

師：請(qǐng)同學(xué)們說說數(shù)軸上顯示的這些數(shù)的大小關(guān)系.

生1：6最大，0最小.

師：你能用“＜”將這幾個(gè)數(shù)連在一起嗎？

生2：0＜1＜2＜3＜4＜5＜6.

師：很好！這里給出的數(shù)是些什么數(shù)？

生3：正數(shù)和0.

師：對(duì)！能說說正數(shù)和0有著怎樣的大小關(guān)系嗎？

生4：正數(shù)大于0.（教師板書）

師：能說出一個(gè)比6大的數(shù)嗎？

生5：7.

師：還有嗎？

生6：8.

生7：9.

……

師：這樣的數(shù)有多少個(gè)呢？

生8：無數(shù)個(gè)！

師：表示這些數(shù)的點(diǎn)在數(shù)軸的什么位置上呢？

生9：應(yīng)該在表示數(shù)6的點(diǎn)的右邊.

師：是嗎？

生10：是的.越往右，正數(shù)越來越大，過了表示6的點(diǎn)，這些點(diǎn)表示的數(shù)都比6大.

師：哪些數(shù)比6大得多一些呢？

生11：過了表示數(shù)6的點(diǎn)，越往右，比6大得就越多.

師：真不錯(cuò)！能說一個(gè)比6小的數(shù)嗎？

生12：5.

師：除了這里標(biāo)出來的，還有其他的嗎？

生13：5.1.

生14：4.5.

生15：3.5.

生16：0.0001.

師：表示這些數(shù)的點(diǎn)又在數(shù)軸的什么位置上呢？

生17：在表示數(shù)6的點(diǎn)的左邊.

師：表示數(shù)6的點(diǎn)的左邊除了我們剛剛列出的這些數(shù)，還有其他數(shù)嗎？

生18：還有負(fù)數(shù)！

師：說幾個(gè).

生19：-1.

生20：-2.

生21：-100.

生22：-10000.

（投影：將圖1中的數(shù)軸向左延伸，如圖2）

圖2

師：這樣的數(shù)還有多少個(gè)？

生23：無數(shù)個(gè)！

師：在比6小的數(shù)中，你能不能找出最小的數(shù)呢？

生24：-100000.

生25：不對(duì)，-100000000.

生26：我覺得，他們倆說得都不對(duì)，應(yīng)該還有更小的數(shù)！

師：在哪兒呢？

生27：在-100000000的左邊還有很多數(shù)，這些數(shù)應(yīng)該都比-100000000小.

師：是嗎？

生28（有點(diǎn)兒猶豫）：應(yīng)該是的吧！

師：能給出理由嗎？

生29：從圖1中，我發(fā)現(xiàn)，越往右，數(shù)軸上的數(shù)越大，從圖2中，我發(fā)現(xiàn)，越往左，數(shù)軸上的數(shù)越小.所以在-100000000的左邊還有數(shù)，比如-100000001，它應(yīng)該比-100000000小.

師：從數(shù)軸上看，比6小的數(shù)中，有沒有最小的數(shù)呢？

生（齊答）：沒有！

師：結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)了“正數(shù)和正數(shù)、正數(shù)和0”的大小關(guān)系，你能說說正數(shù)和負(fù)數(shù)、負(fù)數(shù)和0還有兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小關(guān)系嗎？

生30：正數(shù)大于負(fù)數(shù).（教師板書）

師：為什么？

生31：正數(shù)和負(fù)數(shù)之間隔著個(gè)“0”，正數(shù)在0的右邊，而負(fù)數(shù)在“0”的左邊，所以正數(shù)大于負(fù)數(shù)！

師：好的！那么0和負(fù)數(shù)呢？

生32：0大于負(fù)數(shù).（教師板書）

師：負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)呢？

（部分學(xué)生竊竊私語，教師掃視全班，稍作停頓后，示意一生作答）

生33：看誰在左邊，左邊的那個(gè)數(shù)小一些.

師：有道理！數(shù)學(xué)上有這樣的規(guī)定.

（投影：在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左往右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)）

師：一個(gè)負(fù)數(shù)越往左，說明它離原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，也就是……（教師停頓下來，請(qǐng)一生作答）

生34：它的絕對(duì)值越大.

師：說得真好！絕對(duì)值是大了，可這個(gè)數(shù)實(shí)際上怎樣了呢？

生（齊答）：小了！

師：請(qǐng)用一句話來概括一下你們的發(fā)現(xiàn)！

生35：兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小.（教師板書）

師：太棒了！這樣一來，我們就得出有理數(shù)大小比較的方法了！接下來，就請(qǐng)大家應(yīng)用這里歸納出的方法，比較下面這幾對(duì)有理數(shù)的大小！

二、片斷分析

負(fù)數(shù)引入后，數(shù)域得到了拓展，與之配套的數(shù)的表示、大小比較和運(yùn)算等，均需進(jìn)行相應(yīng)地調(diào)整.數(shù)軸是在人們約定俗成下生成的知識(shí)，它的出現(xiàn)能讓學(xué)生體會(huì)數(shù)和形是有著密切聯(lián)系的，有利于學(xué)生將數(shù)的問題與形的問題進(jìn)行互相轉(zhuǎn)化，另辟蹊徑，找尋化解問題的新路徑.案例中，教者緊扣學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，從一根不標(biāo)注負(fù)數(shù)的數(shù)軸入手，讓學(xué)生比較“數(shù)軸上顯示的這些數(shù)的大小”.負(fù)數(shù)的缺失，喚醒的是學(xué)生比較正數(shù)與正數(shù)、正數(shù)與0的大小的經(jīng)驗(yàn)，讓這些存在于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)找出了新的載體——數(shù)軸.通過數(shù)的大小關(guān)系向點(diǎn)的左右位置的轉(zhuǎn)化，找尋“比6大的數(shù)中最大的數(shù)”，雖然求而不得，但向?qū)W生傳遞了借助數(shù)軸可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的信號(hào)，同時(shí)，還讓學(xué)生充分感知到“數(shù)軸上，越往右的點(diǎn)表示的數(shù)越大”；找尋“比6小的數(shù)”，學(xué)生除了在現(xiàn)有數(shù)軸（圖1）上捕捉，在教師的引導(dǎo)下，它們還將數(shù)軸及時(shí)延伸，讓負(fù)數(shù)走上了前臺(tái)，找尋“此中最小的數(shù)”，讓“數(shù)軸上，越往左，數(shù)會(huì)越小”成為學(xué)生的共識(shí).此時(shí)，“一個(gè)負(fù)數(shù)越往左，說明它離原點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)”，讓剛剛學(xué)到的絕對(duì)值的知識(shí)巧妙地出現(xiàn)在教師的導(dǎo)語中.數(shù)的大小在形上的充分展示，為比較兩個(gè)負(fù)數(shù)的大小掃清了障礙，徹底成就了“有理數(shù)大小比較方法”的生成.在這則片斷中，教師立足于學(xué)生的舊知，讓學(xué)生從舊的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，在熟悉的知識(shí)應(yīng)用中將認(rèn)知難點(diǎn)逐一擊破，培養(yǎng)了學(xué)生的技能，推動(dòng)著學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的整體提升！

三、教學(xué)體會(huì)

1.依形知數(shù)，巧妙滲入數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圖形能給人以直觀的感知.在認(rèn)知活動(dòng)中，為數(shù)學(xué)探究配上相應(yīng)的圖形將有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)他們的數(shù)學(xué)思考.現(xiàn)行教材中，很多單純的數(shù)的知識(shí)都有著相應(yīng)的圖形背景，學(xué)生可以在閱讀分析及解題應(yīng)用中形成認(rèn)知“興奮點(diǎn)”，有效喚醒“沉睡”著的“四基”.其中，圖形與數(shù)字的有效結(jié)合，讓不同的數(shù)學(xué)思想合理滲透到學(xué)生的認(rèn)知?dú)v程之中，非常有利于學(xué)生的體驗(yàn)和感悟.分析上述案例，在學(xué)生“依形認(rèn)數(shù)”的過程中，不同知識(shí)形式的轉(zhuǎn)化讓形象思維與抽象思維反復(fù)交替出現(xiàn)，轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、極限思想及分類討論思想均巧妙地滲透在教學(xué)進(jìn)程之中：數(shù)值與數(shù)軸上的點(diǎn)的互相轉(zhuǎn)化，抽象的數(shù)與形象的數(shù)軸巧妙地粘連在一起，“數(shù)的問題”最終以“形的名義”加以解決，數(shù)形結(jié)合在師生的探究與交流中幾乎無處不在；找“比6大的數(shù)中最大的數(shù)”和“比6小的數(shù)中最小的數(shù)”，雖然學(xué)生沒有也不可能找到這樣的數(shù)，但是數(shù)軸輔助認(rèn)知的功效在此被發(fā)揮得淋漓盡致，“無限往左、無限往右”在強(qiáng)化數(shù)軸認(rèn)知的同時(shí)，還讓極限思想巧妙融入教學(xué)之中；此外、教學(xué)進(jìn)程中還滲入了分類討論思想，教師首先從一個(gè)沒有標(biāo)注負(fù)數(shù)的數(shù)軸入手，引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)正數(shù)大小比較開始，沿著數(shù)軸逐步過渡到“正數(shù)和0，正數(shù)和負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0，負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)”等的大小比較，隨著負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)大小比較方法的呈現(xiàn)，本課所有用來進(jìn)行比較的類別已經(jīng)全部呈現(xiàn)，這樣的過程經(jīng)歷對(duì)剛?cè)氤踔械膶W(xué)生來說是十分難得的.

2.以舊帶新，促進(jìn)新知和諧生長

據(jù)維果斯基的最近發(fā)展區(qū)理論，我們的教學(xué)應(yīng)立足于學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在舊知中找尋并建構(gòu)出新知的“生長點(diǎn)”和新舊知識(shí)的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，為新知識(shí)的融合入網(wǎng)與二度應(yīng)用夯實(shí)基礎(chǔ).應(yīng)該說，有理數(shù)大小比較，學(xué)生不僅有知識(shí)基礎(chǔ)，還有充分的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ).前兩個(gè)學(xué)段，他們已經(jīng)深入研究了兩個(gè)正數(shù)及正數(shù)與0的大小比較的方法.對(duì)兩個(gè)同類別的數(shù)，如兩個(gè)整數(shù)、兩個(gè)分?jǐn)?shù)、兩個(gè)小數(shù)等，都已經(jīng)分類探究并獲得了統(tǒng)一的方法，研究與應(yīng)用都十分深入而透徹；對(duì)兩個(gè)不同類別的數(shù)，他們也已經(jīng)學(xué)會(huì)了合理轉(zhuǎn)化，通過外形的化歸將其轉(zhuǎn)化為同類別的數(shù)再加以比較.學(xué)生獲得的這些數(shù)學(xué)知識(shí)和隱形的探究經(jīng)驗(yàn)，具有極大的延展性，是學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)知新數(shù)域內(nèi)的大小比較方法的基礎(chǔ).因此，我們的教學(xué)就應(yīng)該從這些知識(shí)出發(fā)，從已有方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用出發(fā)，適度調(diào)整已有方法，并將其適用范圍進(jìn)一步拓寬，以推動(dòng)新知的生成.很明顯，案例中的教學(xué)歷程正是沿著這一思路設(shè)計(jì)與開展的.教者首先用“特殊的數(shù)軸”引入新課，讓學(xué)生應(yīng)用這一沒有負(fù)數(shù)標(biāo)注的數(shù)軸確定標(biāo)注出的數(shù)的大小，并找尋“比6大的數(shù)”和“比6大的數(shù)中最大的數(shù)”，以此引入“在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左往右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)”，從形上為新知的生成掃清了障礙.事實(shí)上，教者能以數(shù)軸來引領(lǐng)學(xué)生展開學(xué)習(xí)，本身就是對(duì)舊知的一種準(zhǔn)確定位，數(shù)軸是學(xué)生進(jìn)入初中后接觸到的第一個(gè)具有工具性質(zhì)的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓有理數(shù)的大小比較建立在這一工具之上，是再合適不過的了！

3.漸進(jìn)引導(dǎo)，規(guī)范個(gè)體認(rèn)知?dú)v程

數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律一樣，都是循序漸進(jìn)和螺旋上升的.數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)在這一規(guī)律的指引下進(jìn)行，既要保證知識(shí)教學(xué)的到位，還應(yīng)滿足學(xué)生發(fā)展的需求.有理數(shù)大小比較，是學(xué)生小學(xué)階段數(shù)的大小比較認(rèn)知的自然延續(xù).在前兩個(gè)學(xué)段，學(xué)生已經(jīng)建立起來兩個(gè)數(shù)大小比較的完整知識(shí)體系.進(jìn)入初中，負(fù)數(shù)引入后，數(shù)域被拓展，形成了“有理數(shù)”數(shù)域.自然而然地，在數(shù)域拓寬后，由數(shù)域變化帶來的一系列知識(shí)擴(kuò)充是一定要進(jìn)行的.然而，學(xué)生獲取有理數(shù)大小比較的方法，幾乎是在他們進(jìn)入初中后就立即展開的，其閱讀分析和合作探究的水平均不足以讓他們從教材中直接獲取知識(shí).因此，教師為學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)設(shè)置多個(gè)臺(tái)階.教師先呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的“不標(biāo)注正數(shù)的數(shù)軸”，開啟了正數(shù)大小比較方法的應(yīng)用歷程；基于正數(shù)大小比較之上的追問，將數(shù)軸向右延伸，鞏固了數(shù)軸是直線的認(rèn)知，同時(shí)也讓學(xué)生感知了“數(shù)軸上右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大”；追問“比6小的數(shù)”，為的是引入在0左邊客觀存在的負(fù)數(shù)，學(xué)生的思維被巧妙地向前推進(jìn)了一大步；最終，對(duì)負(fù)數(shù)大小比較方法的歸納，更是將遵循了數(shù)學(xué)認(rèn)知的基本規(guī)律，按照數(shù)字、圖形、文本的順序逐級(jí)呈現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)逐步由形象走向抽象.教師的這種漸進(jìn)式引導(dǎo)，給這些學(xué)習(xí)習(xí)慣處于“銜接期”的學(xué)生指明了學(xué)習(xí)的方向，通過規(guī)范了的認(rèn)知?dú)v程的經(jīng)歷，不僅讓他們獲取了新的知識(shí)，還有效鍛煉了他們的數(shù)學(xué)思維，學(xué)習(xí)的方法和學(xué)習(xí)的能力在此過程中同樣得到了大幅度提升.Z