E-凸函數(shù)的若干性質(zhì)

杜君花，梁紅梅

(齊齊哈爾大學(xué)理學(xué)院，齊齊哈爾161006)

1 定義

廣義凸性是數(shù)學(xué)規(guī)劃領(lǐng)域的一個(gè)重要研究方向.1999 年，Youness E·A[1]對(duì)凸集和凸函數(shù)進(jìn)行了推廣，提出了E－凸集，E－凸函數(shù)等重要概念，提出了E－凸規(guī)劃問題，并建立了相應(yīng)的重要性質(zhì)和結(jié)果.遺憾的是，Yang X·M[2]和 Jian Jinbao[3]先后以例子說明 Youness E·A[1]的論文中大部分主要結(jié)論是錯(cuò)誤的.2006年，覃義，簡(jiǎn)金寶[4]對(duì)文獻(xiàn)[1]中幾個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論進(jìn)行了修正.2007年，寧剛[5]給出了E－凸函數(shù)的若干特征，本文受上述文獻(xiàn)的啟發(fā)，繼續(xù)研究了E－凸函數(shù)的若干新性質(zhì).

定義1[1]設(shè)集合M?Rn，稱M是E－凸集或M是E－凸的，當(dāng)且僅當(dāng)存在映射，E:Rn→Rn，對(duì)?x，y∈M，?λ∈[0，1]，滿足(1－λ)E(x)+λE(y)∈M.

定義 2[1]設(shè)集合 M?Rn，函數(shù) f:Rn→R，稱 f是集合M上的E凸函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)存在映射E:Rn→Rn，滿足集合M是E－凸的，且對(duì)任意的λ∈[0，1]，有

f(λE(x)+(1－λ)E(y))≤λf(E(x))+(1－λ)f(E(y))，?x，y∈M .

2 主要結(jié)論

定理1設(shè)集合M?Rn，映射E:Rn→Rn，函數(shù)f:Rn→R，和 g:R→R，且 g(t)=f(x+td)，(其中 d∈Rn)，則f是E－凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)g是E－凸函數(shù).

證明 必要性.對(duì)任意的d∈Rn，任取t1，t2∈R和 λ∈[0－，1]，由于 f是 E － 凸函數(shù)，有

g(λE(t1)+(1 － λ)E(t2))=f(x+(λE(t1)+(1－λ)E(t2))d)=f(λ(x+E(t1)d)+(1－λ)(x+E(t2)d)≤λf(x+E(t1)d)+(1－λ)f(x+E(t2)d)=λg(E(t1))+(1－λ)g(E(t2))

因此，由定義2知g是E－凸函數(shù).

充分性.任取 x1，x2∈Rn和 λ∈[0，1]，則有

f(λE(x1)+(1－λ)E(x2))=f(E(x1)+[λ·0+(1－λ)·1](E(x2)－E(x1))) (1)令 E(x1)=x，λ·0+(1 － λ)·1=t，E(x2)－E(x1)=d，在式(1)中注意到g是E－凸函數(shù)，可得

f(λE(x1)+(1－λ)E(x2))=g(λ·0+(1－λ)·1)≤λg(0)+(1－λ)g(1)=λf(E(x1))+(1－λ)f(E(x2))

從而f是E－凸函數(shù).證畢.

定理2設(shè)集合M?Rn，映射 E:Rn→Rn，函數(shù)h:Rn→R是E－凸函數(shù)，g:R→R是非減的E－凸函數(shù)，f(x)=g(h(x))，則f:Rn→R是E－凸函數(shù).

證明 對(duì)任意的 x，y∈Rn，和 λ∈[0，1]，由于 h(x)是E－凸的，g(x)是非減的，從而

f(λE(x)+(1－λ)E(λ))=g(h(λE(x)+(1－λ)E(y)))

≤g(λh(E(x))+(1－λ)h(E(y))) (2)

又因g是E－凸函數(shù)，故有

g(λh(E(x))+(1－λ)h(E(y)))≤λg(h(E(x)))+(1－λ)g(h(E(y)))=λf(E(x))+(1－λ)f(E(y))

將上式代入式(2)得到

f(λE(x)+(1－λ)E(y))≤λf(E(x))+(1－λ)f(E(λ))

故f是E－凸函數(shù).證畢.

推論 設(shè)集合 M?Rn，映射 E:Rn→Rn，函數(shù) f:Rn→R是集合 M 上的 E － 凸函數(shù)，xi∈M，i=1，2，…，m，則

[1]YOUNESS E A.E－convex sets，E －convex functions，and E－convex programming[J].Journal of Optimization Theory and Application，1999，102(2):440－446.

[2]YANG X M.Technical note on E －convex sets，E －convex functions，and E － convex programming[J].Journal of Optimization Theory and Application，2001，109(3):699－704.

[3]JIAN J B.Incorrect results for E －convex functions and E －convex programming[J].Journal of Mathematical Research＆ Exposition，2003，23(3):461－463.

[4]覃 義，簡(jiǎn)金寶.關(guān)于E－凸函數(shù)及E－凸規(guī)劃幾個(gè)錯(cuò)誤結(jié)論的修正[J].數(shù)學(xué)雜志，2006，26(2):177－178.

[5]寧 剛.E－凸函數(shù)的若干特征[J].運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào)，2007，(1):121－126.