尋幾何閱讀之道，建高效課堂
——從一道幾何習題說起

尋幾何閱讀之道，建高效課堂
——從一道幾何習題說起

☉浙江省寧波市興寧中學徐積國

筆者在教學七年級“幾何的初步認識”這一章時，作業(yè)上出現(xiàn)了這樣一道題：

“如圖1，已知O在直線AB上，OE⊥OC，OD是∠COE內一條射線，則圖中互余的角共有_______對.”

筆者所教授兩個班答題情況統(tǒng)計如下表所示

答案班級6 4 2其他A班（4 8人）1 8人1 6人1 0人4人B班（4 9人）1 6人1 7人9人7人

圖1

這道題出錯普遍，筆者課后做了調查，答案為6的學生的主要錯誤在于他們認為∠AOE、∠DOE、∠COD、∠BOC都是45°；答案為4的學生的主要錯誤在于他們認為這樣的圖再熟悉不過了，認為OE、OC分別是∠AOD、∠DOB的平分線.這引起了筆者的反思.如果學生能認真閱讀題目、審清題意，解決這樣的問題應該不難.一方面學生本身對閱讀缺乏必要的閱讀習慣與耐心，另一方面學生缺乏必要的閱讀方法與技巧.因此，教師在課堂教學中，應該有意識地滲透重視數(shù)學閱讀的理念，引導學生學習數(shù)學閱讀方法與技巧去解決問題，從而提高課堂效率.以下是筆者在幾何教學中指導學生數(shù)學閱讀的策略.

一、閱讀之道，有加有減

數(shù)學閱讀可以借鑒語文課的一些閱讀技巧，如“提主干”“縮句”“長句改短句”等，這樣可以幫助學生理解，抓住要領.

1.添加文本，結構清晰

數(shù)學課本上經(jīng)常出現(xiàn)一些精簡的概念或定理，學生有時覺得理解困難.如果適當?shù)靥砑幽承┯迷~，長句分成短句，形成一個完整的句式，學生往往比較容易理解，閱讀思路就變得順暢.

例1命題“到線段兩端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”轉換成“如果有一個點到一條線段兩端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上”.如果長句分成短句，條件、結論清晰，易于理解.再由已知畫出圖形（如圖2），之后將文字語言中的條件與結論用符號語言表示，就更加清晰了.

圖2

2.刪減枝葉，理清要點

一些幾何問題中包含有問題的背景知識，或為了嚴謹性文字描述較多，在讀題時可以根據(jù)情況刪除這些內容，以便快速抓住有效信息.

例2勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了兩枚以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構成，它可以驗證勾股定理.在圖3所示的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4.作△PQR使得∠R= 90°，點H在邊QR上，點D、E在邊PR上，點G、F在邊PQ上，那么△PQR的周長等于______.

閱讀策略：刪除背景知識①，在對照圖形得到“共線”的情況下刪除②.

①勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了兩枚以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖，是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構成，它可以驗證勾股定理.在圖3所示的勾股圖中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4.作△PQR使得∠R=90°，②點H在邊QR上，點D、E在邊PR上，點G、F在邊PQ上，那么△PQR的周長等于______.

圖3

二、解剖圖形，清晰明了

圖形文本與文字文本、符號文本等豐富了數(shù)學文本內容.直觀、便于觀察、富有想象是圖形文本的特點，是視覺語言，所以破譯圖形文本也是很有必要的“.破譯”圖形文本，可根據(jù)要求從以下幾個方面著手.

1.“標示”符號，觀察便捷

2.分解圖形，化繁為簡

數(shù)學新課標指出：“能從復雜的圖形中抽離簡單的基本圖形”，往往要先從分析簡單圖形的性質出發(fā)，再綜合幾個簡單圖形相應的結論.

例3如圖4，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE與CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，則∠A= ________.

不少學生初看此圖形，發(fā)現(xiàn)各種線錯綜復雜，求∠A不知從哪里入手.為了輔助學生撥開錯綜的線條，筆者指導學生按如下方式去閱讀.

（1）∠BDC=140°、∠BGC=110°為已知角，請同學們局部觀察∠BDC與∠BGC可以放在怎樣的圖形之中.學生容易想到凹四邊形BDCG（如圖5），得到結論∠BDC=∠1+∠2+∠BGC，從而得到∠1+∠2=30°.

（2）∠1+∠2=30°和什么條件有聯(lián)系？學生容易想到角平分線這一條件，從而得到∠ABG+∠ACG=30°與∠ABD+∠ACD=60°.

（3）請同學們思考∠A放在怎樣的圖形之中.學生自然地想到凹四邊形BDCA（如圖6）與凹四邊形BGCA.以圖6為例，∠ABD+∠ACD+∠A=∠BDC，立刻得到∠A= 80°.

圖4

圖5

圖6

3.“著色”強調，排除干擾

幾何圖形常見處理方式就是分割、補形、折疊，通過對圖形的這些直觀處理，一般能輔助解題，使解題過程簡捷、明快.在對圖形的分割、補形、折疊中提高閱讀幾何圖形的能力.對一些復雜的圖形，可以用不同陰影部分突出要研究的部分圖形，排除其他圖形對視覺的干擾作用.

例4在學習勾股定理之后，出現(xiàn)了這樣一道題.如圖7，分別以Rt△ABC的三條邊為直徑作半圓，結論：“兩個月牙形的面積之和，等于△ABC的面積，即S1+S2=S3.”你能說明理由嗎？

圖7

圖8

閱讀策略：（1）S1、S2這樣的圖形有相應的面積公式嗎？（2）涉及圖形面積，我們有時要對圖形進行分割或補形，從而形成可利用面積公式表達的圖形.對于S1+S2，割形還是補形？補形對學生而言很好理解.（3）如圖8，設陰影部分的面積為S，再由勾股定理推出“S1+S2+S=S3+S”也就順理成章了.

三、翻譯數(shù)學語言，多視角進行閱讀

“數(shù)學教學也是數(shù)學語言的教學”.幾何閱讀時若能將三種語言“文字語言、符號語言、圖形語言”靈活地互相轉化，則意味著看問題多了一個視角，更方便去解決問題.要培養(yǎng)學生一定的幾何閱讀能力，需引導學生在“文字語言、符號語言、圖形語言的轉化上”有一定的策略.

1.文字、圖形語言反復轉化——雙向轉化，加深理解

文字語言能精確地表達含義，但有時較抽象，而圖形語言形象、直觀.若兩種語言之間互相轉化，則既有感性認識又不失理性認識，既可做到形象、直觀，又能精確、嚴謹.

例5判斷題：若PA=PB，則點P是線段AB的中點.

這是一道典型題，學生很容易出錯.產(chǎn)生這種錯誤的原因是學生沒有真正理解題目的意思，用自己經(jīng)驗中的圖形代替了題意中的圖形，從而產(chǎn)生了錯誤.從數(shù)學閱讀的角度入手，對學生進行有效指導十分必要.

閱讀策略：

（1）請同學們按照題意畫出圖形.很多同學畫出了這樣的圖（如圖9）

（2）請同學們精確描述圖9.

生：PA=PB.

師：數(shù)量關系描述的很準確，幾何中還有怎樣的關系？

生：位置關系.

師：有補充嗎？

生：點P在線段AB上，PA=PB.

師：那你們說這句話“若PA=PB，則P是AB的中點”對不對呢？能畫出怎樣的圖？

生：不對.

很多學生最后能畫出如圖9與圖10所示的兩種圖.

圖10

圖9

2.文字、符號、圖形交互——聚焦條件，形象、直觀

一些幾何問題條件較多，比較凌亂，將一部分條件有效地翻譯成符號語言，盡可能將文字條件與已翻譯的符號語言直觀地顯示在圖形中，這樣有利于降低難度.

例6如圖11，已知O在直線AD上，OE⊥OB，OC是∠BOE內一條射線，OD平分∠FOE，若∠DOE=2∠BOC，∠BOC比∠COE小20°，求：

（1）∠COD的度數(shù)；

（2）∠AOF的度數(shù).

圖12

圖11

閱讀策略：將文字語言描述的條件轉化成符號語言與圖形語言，使條件較多、有難度的幾何問題便于觀察.

（1）理清條件（文字語言）：如圖12，已知O在直線AD上，OE⊥OB，OC是∠BOE內一條射線，OD平分∠FOE，若∠DOE=2∠BOC，∠BOC比∠COE小20°.

（2）將劃線部分轉化成符號語言與圖形語言.

本題中涉及的數(shù)量關系較多，用列方程解決問題.不妨設∠BOC=x.

O在直線AD上?圖12中涂黑直線AD，有180°；

∠BOC比∠COE小20°?∠COE=x+20°；

∠DOE=2∠BOC?∠DOE=2x；

OD平分∠FOE?∠DOF=2x；

OE⊥OB?圖12中作直角標記.

（3）符號語言與圖形語言交互：將表示∠COE、∠DOE、∠DOF的代數(shù)式標記在圖12中.

（4）由圖12中的信息很容易列方程：x+x+20°=90°.

四、整體閱讀，事半功倍

“注意分散效應”給我們啟示：“多種視覺信息源之間會導致注意力分散，用一個整合的信息源來代替多種信息源”.有些幾何圖形經(jīng)常出現(xiàn)，對解決其他問題作用明顯，我們稱這類圖形為基本圖形.引導學生將看似分散的、無序的、凌亂的條件作為整體來閱讀，用基本圖形解決問題事半功倍.

例7如圖13，△ABC中，∠ABC的角平分線與△ABC的外角平分線交于點D，作DF∥BC分別交AC、AB于點E、F，找出圖中所有的等腰三角形.

圖13

圖14

在對題目的分析過程中，由條件聯(lián)想到有關基本圖形，構造出相應的基本圖形，利用其結論解決問題.（1）在八年級上冊等腰三角形教學中，角平分線+平行線一定有等腰三角形就是常見的基本圖形，如圖14，已知BO為∠ABC的角平分線，且OD∥BC，則△BOD為等腰三角形.（2）由已知條件容易想到模型，得到等腰△DBF與△CDE.

五、破解動態(tài)幾何問題——動中取靜，先分再合

動態(tài)幾何問題是平面幾何中較復雜的一類問題，其運動方式主要有點、線、面的平移、翻折、旋轉三大類，經(jīng)常把數(shù)與幾何、函數(shù)與幾何、函數(shù)與面積等綜合起來.運動變化引起了圖形的形狀、大小、位置等的變化，在靜態(tài)狀態(tài)下，很難分析圖形的變化情況.筆者引導學生閱讀動態(tài)幾何的策略如下所示.

（1）用多媒體工具直觀演示.

（2）動中取靜.

所謂動中取靜，指的是在運動的過程中，某一時刻圖形是靜止的，而這一時刻圖形的性質特征與局部一段時間內的關系是不變的.如何取靜？抓住特殊圖形特征或圖形形狀的改變等適當畫圖，使其直觀呈現(xiàn)出來，畫圖時還需注意做到有序性，以免遺漏一些情況.

（3）將每個靜的情況逐一擊破，最后再綜合起來

例8如圖15（1），點A、B在直線MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半徑均為1厘米.⊙A以每秒2厘米的速度自左向右運動，與此同時，⊙B的半徑也不斷增大，其半徑r（厘米）與時間t（秒）之間的關系式為r＝1+t（t≥0）.

（1）試寫出點A、B之間的距離d（厘米）與時間t（秒）之間的函數(shù)表達式；

（2）問：點A出發(fā)后多少秒兩圓相切？

閱讀指導：第一步：借助幾何畫板直觀呈現(xiàn)出其運動狀態(tài)；

第二步：按照上述取靜的規(guī)則畫出草圖：圖15（2）-圖15（9）.

第三步：由畫的圖得出解答過程.

為了幫助學生更好地閱讀動態(tài)幾何問題，筆者就經(jīng)常利用幾何畫板動態(tài)演示，滲透閱讀策略，讓學生觀察，發(fā)展到最后學生自己動手畫.

六、反思

筆者一直在思索如何構建高效課堂，讓學生遠離“題海戰(zhàn)術”，較輕松地、有效率地學習，同時讓學生既獲得數(shù)學知識，又收獲一些數(shù)學方法.如何達成這樣的目標？沒有永恒的方法.關鍵在于老師對細節(jié)的完美追求，能夠持續(xù)地反思改進，善于處理學生學習不理想的細節(jié)、老師教學的細節(jié).本文正是基于學生在幾何閱讀方面能力欠缺這一細節(jié)啟發(fā)下完成的.

幾何閱讀能力的形成是一項長期的循序漸進的過程，它需要我們平時注意培養(yǎng)數(shù)學閱讀習慣，需要教師在教學中大膽探索、積極嘗試，勤于思考，加強閱讀方法指導.幾何閱讀能力培養(yǎng)應以幾何問題為載體，滲透在平時的課堂教學中.通過幾何閱讀能力培養(yǎng)促使學生形成主動學習、自主探究的習慣，從而提升課堂效率.

1.徐小建.把握4種語言，準確理解題意［J］.中國數(shù)學教育，2011（7）.

2.中華人民共和國教育部.全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿》［M］.北京：北京師范大學出版社，2001.

3.范良火，主編.義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學［M］.杭州：浙江教育出版社，2005.

4.趙山龍.做一個“善于舉例”的數(shù)學教師——來自一線教師的認識、實踐與思考［J］.中學數(shù)學（下），2012（5）.Z