數(shù)學(xué)建模思想在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

余后強(qiáng)　李玲

摘要：數(shù)學(xué)建模是將數(shù)學(xué)方法運(yùn)用到實際問題的一種實踐活動，是將數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界聯(lián)系的橋梁。該文結(jié)合近幾年講授數(shù)學(xué)建模課程的心得體會，闡述了在平時的高等數(shù)學(xué)授課中滲透進(jìn)數(shù)學(xué)建模思想的重要性和可行性，并通過具體案例，探討了數(shù)學(xué)建模與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)結(jié)合。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；高等數(shù)學(xué)；滲透；案例；實踐

中圖分類號：G64 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2015）04-0124-02

Abstract： Mathematical modeling is a mathematical methods applied to the practical problems， which is the bridge between mathematics theory and real world. This paper discusses how to permeate mathematical modeling thought to teaching and studying in higher mathematics based on taught feelings and experiences in mathematical modeling course in recent years， and through specific case， discussed the combination of mathematical modeling and higher mathematics teaching.

Key words： Mathematical modeling； higher mathematics； permeability； case； practice

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工、經(jīng)管等專業(yè)必不可少的一門基礎(chǔ)課程，對于學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)非常重要。從實際講授這門課程的情況來看，情況卻不容樂觀。剛開始學(xué)習(xí)時，由于與高中內(nèi)容有重復(fù)的部分，課程較簡單，學(xué)生學(xué)習(xí)起來動力很足，但經(jīng)過一段時間的學(xué)習(xí)，隨著課程概念的抽象、公式的復(fù)雜，學(xué)生慢慢失去了興趣，學(xué)習(xí)成績越來越不理想。要想改變這種狀況，就必須培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從教學(xué)思想和教學(xué)方法上進(jìn)行改革，不能簡單的就將公式定理教給他們，更要教會他們?nèi)绾芜\(yùn)用數(shù)學(xué)武器的知識去處理實際問題。而數(shù)學(xué)建模就是將數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界結(jié)合的有力工具。數(shù)學(xué)建模是在20世紀(jì)60、70年代進(jìn)入一些西方國家大學(xué)的，中國的幾所大學(xué)也在80年代初將數(shù)學(xué)建模引入課堂。經(jīng)過30多年的發(fā)展，絕大多數(shù)高等院校都開設(shè)了各種形式的數(shù)學(xué)建模課程和講座，為培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實際問題的能力開辟了一條有效的途徑。該文結(jié)合筆者多次講授數(shù)學(xué)建模和高等數(shù)學(xué)課程的一點(diǎn)心得，通過實例，探討如何將數(shù)學(xué)建模思想滲透到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中。

1 將數(shù)學(xué)建模思想與高等數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合的意義

數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅停留在知識的簡單傳授上，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。為此，中國科學(xué)院院士李大潛牽頭組織了教育部教改立項“將數(shù)學(xué)建模的思想和方法融入大學(xué)數(shù)學(xué)主干課程教學(xué)中的研究與實驗”，取得了一定的成果和經(jīng)驗。

什么是數(shù)學(xué)建模呢？當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個實際問題時，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對象信息、作出簡化假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號和語言作表述，這就是建立數(shù)學(xué)模型，然后用通過計算得到的結(jié)果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗。這個建立數(shù)學(xué)模型的全過程就稱為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模都是針對具體實際問題的，因此有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過在數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模，實踐證明，對于培養(yǎng)學(xué)生的觀察力、想象力、邏輯思維能力和分析解決問題的能力起到了很大的促進(jìn)作用。

2 在高等數(shù)學(xué)概念的引入與講解中融入數(shù)學(xué)建模案例

剛開始講授高等數(shù)學(xué)時，學(xué)生對概念的理解相對比較困難，比如“極限”的定義。由于整個高等數(shù)學(xué)幾乎都是以極限作為方法研究函數(shù)的，如果不能很好的理解極限，對于整個微積分的學(xué)習(xí)都不能真正的理解。為此，引入了建模中的割圓術(shù)案例。首先介紹了中國古代數(shù)學(xué)家劉徽提出割圓術(shù)的歷史過程，然后介紹了該方法的實現(xiàn)步驟，接著指出了它的本質(zhì)就是“用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積并以此求取圓周率”，最后總結(jié)了該方法就是采用極限的思想。通過這樣的案例，學(xué)生的興趣被提起來了，真正理解極限的本質(zhì)也容易多了。

在講導(dǎo)數(shù)時，學(xué)生普遍都很容易掌握導(dǎo)數(shù)的計算，但對于導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)定義就太好理解。為了說明這個概念，針對不同的專業(yè)舉不同的例子。比如，對于物理電氣專業(yè)的，就以變速直線運(yùn)動的瞬時速度、電流強(qiáng)度、線密度等說明導(dǎo)數(shù)的意義，對于經(jīng)濟(jì)專業(yè)的學(xué)生，就以邊際成本、邊際收入說明導(dǎo)數(shù)的意義。通過這樣的事例，學(xué)生理解了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)其實就是函數(shù)的變化率。

在講定積分時，學(xué)生對于定積分的計算都很有興趣，但對于定積分的本質(zhì)含義以及復(fù)雜的極限式子，能記住的就不多。為了幫助學(xué)生理解這個概念，我將定積分歸納為求不均勻量的總和問題，并針對不同專業(yè)學(xué)生舉了不同實例，然后將這些實例濃縮、歸納，得出求這類問題的方法都是“分割、近似、求和、取極限”四個步驟，之后再將每一步得到的式子加在一起，就自然得到了定積分的極限式。通過這樣的學(xué)習(xí)，學(xué)生以后再碰到求不均勻量的總量問題時，就能夠根據(jù)這個思想，自己寫出極限式子，再用積分表示出來。

在講定積分的應(yīng)用時，書上出現(xiàn)了很多漂亮的曲線圖，如三葉玫瑰線、心臟線、阿基米德螺線等，學(xué)生很好奇這些線是如何畫出來的，用傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系和描點(diǎn)法是否可以實現(xiàn)。對此介紹了數(shù)學(xué)軟件MATLAB，在課堂上演示了圖形的繪制并引導(dǎo)他們下去后親自動手操作，及早掌握MATLAB的基本功能和繪圖方法。通過這樣的結(jié)合，不但能夠加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)理論本身的理解，也為他們以后可能參加的建模實踐起到先導(dǎo)作用。

在學(xué)習(xí)常微分方程時，由于書本上的案例比較多，每個都講解的話耗時耗力，而且不是該專業(yè)的學(xué)生難以理解。為此，針對不同的專業(yè)分別列舉了不同的建模案例。如果是物理電氣專業(yè)的學(xué)生，就舉了動力學(xué)模型和物質(zhì)衰變模型。如果是經(jīng)濟(jì)專業(yè)學(xué)生，就舉了馬爾薩斯模型和新產(chǎn)品推廣模型。如果是資源管理專業(yè)學(xué)生，就舉了邏輯斯蒂增長模型。通過這樣有針對性的講解，上課時間大大節(jié)約，學(xué)生學(xué)習(xí)也饒有興趣。

通過上面將建模案例與抽象概念相結(jié)合，原本枯燥的概念講解變得生動活潑，學(xué)生的好奇心和新鮮感得到激發(fā)，學(xué)習(xí)興趣大大提高。

3 將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)重要的定理和公式中

由于高等數(shù)學(xué)內(nèi)容多，課時有限，很多重要定理和公式的證明都被省略。大多數(shù)學(xué)生難以理解，如果硬記結(jié)論的話，效果不好，印象不深刻。其實，數(shù)學(xué)定理和概念一樣，都是有實際背景和意義，經(jīng)過抽象后得到的一個比較概括的結(jié)論。結(jié)合數(shù)學(xué)建模思想，把定理和公式的條件看作模型的假設(shè)，然后根據(jù)預(yù)先設(shè)置的問題情形，引導(dǎo)學(xué)生一步一步發(fā)現(xiàn)結(jié)論，不但能使學(xué)生學(xué)到知識，而且能夠體驗到探索、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和意識。

在學(xué)習(xí)定積分時，微積分基本定理：若[f（x）]在[[a，b]]連續(xù)，則積分上限函數(shù)[I（x）=∫xaf（t）dt，t∈ [a，b]]可導(dǎo)，且[I/（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x）]。這個定理很重要，它是聯(lián)系微分學(xué)和積分學(xué)的橋梁，也為后面證明牛頓-萊布尼茨公式做準(zhǔn)備。很多學(xué)生對這個定理的證明難以理解，碰到要使用時也容易出錯。為此，在講授該定理之前，先舉了物體做變速直線運(yùn)動為例分析微分和積分的內(nèi)在聯(lián)系：設(shè)有一物體做變速直線運(yùn)動，從時刻[a]開始到時刻[t]，物體經(jīng)過路程為[s（t）]，在時刻[t]的速度為[v（t）]，下面討論兩個函數(shù)關(guān)系。一方面，由導(dǎo)數(shù)定義可知，[d（s（t））dt=v（t）]（1） 。另一方面，由定積分概念可知，∫[ta][v（x）dx=s（t）]（2） ，把（1） 代入（2） 得到[s（t）=∫tas/（x）dx]，因此對路程函數(shù)求導(dǎo)再積分仍然等于路程函數(shù)。把（2） 代入（1） 得到[ddt∫tav（x）dx=v（t）]，因此對速度函數(shù)積分再求導(dǎo)還是等于速度函數(shù)。從上面兩方面分析可知，微分與積分是一對互逆運(yùn)算。該結(jié)論對一般的函數(shù)仍成立，即為微積分基本定理。

4 合理安排課后練習(xí)，鼓勵學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模實踐活動

學(xué)生在課堂上學(xué)習(xí)時間是有限的，數(shù)學(xué)建模包含的知識又很豐富，如果能充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，利用課后時間完成一些比較有趣的建模題目，這樣既能加強(qiáng)課堂上學(xué)習(xí)的書本知識，也幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)方法運(yùn)用到實踐中。為此可鼓勵學(xué)生積極參加建模比賽，除了每年都有的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，還有一些區(qū)域性的比賽，學(xué)生都可參加。通過比賽，一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能，另一方面也可以培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊意識和溝通能力，在比賽中學(xué)生的動手能力和編程能力也得到顯著提高。很多學(xué)生反映：一次比賽，終身受益。

總之，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想，積極培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，這是一個長期探索和積累的過程。教師在教學(xué)中務(wù)必要把握好方向，針對不同的數(shù)學(xué)概念、公式、定理和不同專業(yè)的學(xué)生，制定不同的教學(xué)方法，既要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又不能加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，這樣才能相得益彰，互相促進(jìn)。

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