一般對稱群共軛類中幾個問題的初步研究

郭黎丹，胡曉莉

（江漢大學(xué)　數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，湖北　武漢　430056）

一般對稱群共軛類中幾個問題的初步研究

郭黎丹，胡曉莉*

（江漢大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，湖北武漢430056）

摘要：證明了一般對稱群的共軛類完全由n的著色劃分來確定的結(jié)論，并計算了一般對稱群中每個共軛類所含元素的個數(shù)。

關(guān)鍵詞：一般對稱群；共軛類；劃分；劃分函數(shù)

0　引言

對稱群在群論中占據(jù)極為重要的地位，它是表示理論的重要研究領(lǐng)域之一。由Cayley定理可知，每個有限群都同構(gòu)于某個對稱群的子群。因此，把對稱群及其他子群的結(jié)構(gòu)問題研究清楚，則所有有限群的結(jié)構(gòu)也隨之解決。另外，對稱群對物理和化學(xué)上的研究都發(fā)揮著重要的作用。其晶體學(xué)上的很多問題都是通過對稱群及其子群來研究的。隨著研究的進(jìn)一步深入，往往需要考慮更一般的對稱群，通常所用到的一般對稱群就是用一個有限群去半直積上對稱群。早在1995年，MACDONALD［1］給出了一般對稱群特征標(biāo)表的計算。

群的元素可以被分割成若干不相交的共軛類的并，因為同一個共軛類上的元素具有很多共同的屬性，并且從群的共軛類可以看出很多關(guān)于它們結(jié)構(gòu)上的重要特征。因此研究一般對稱群的共軛類具有非常重要的現(xiàn)實意義。我們已經(jīng)知道對稱群的共軛類完全由n的劃分來確定，而本文把這一結(jié)論推廣到了一般對稱群上，詳細(xì)地給出了一般對稱群的共軛類與n的著色劃分之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。

1　預(yù)備知識

定義11［2-3］從集合{1, 2,…, n }到集合{1, 2,…, n }的一個雙射被稱為一個n階置換。所有n階置換構(gòu)成的集合是一個群，被稱為n階對稱群，記為Sn。

定義2［2］由一些非負(fù)整數(shù)構(gòu)成的一個非遞增序列λ=（λ1,λ2,…,λl），若其中只含有限個零，則稱λ為一個劃分。若λ1+λ2+…+λl=n，則稱λ是n的一個劃分。有時候也表示成，其中mi為非負(fù)整數(shù)，表示劃分λ中有mi個部分等于i。l (λ)= l稱為λ的長度，|λ|=λ1+λ2+…+λl稱為劃分λ的權(quán)。

定義33［2］任意給定對稱群Sn中的兩個元素σ和τ，若存在Sn中的一個元素π，使得τ=πσπ-1，則稱σ與τ是共軛的。

共軛給出了對稱群Sn中元素的一個等價關(guān)系，從而給出了Sn中元素的一個分類。由共軛關(guān)系所確定的Sn的一個等價類叫做Sn的一個共軛類。

引理11［4］（Ⅰ）對稱群Sn中的兩個元素是共軛的當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的型，即對稱群的共軛類與n的劃分一一對應(yīng)。

2　一般對稱群的共軛類

設(shè)Γ為有限群，Γn=?！力！痢力棣５膎次直積。對稱群Sn在Γn上的作用定義為：

定義4［1］設(shè)Γ為有限群，則Γn與對稱群Sn的半直積被稱為一般對稱群，記為Γn=?！玈n，也稱為Γ 與Sn的圈積（wreath product）。

一般對稱群Γn的元素形式為( g,σ)，其中g(shù) =( g1, g2,…, gn)，gi∈Γ，σ∈Sn。任意給定( g,σ)，( h,τ)∈Γn，其乘法定義為( g,σ)·( h,τ)=( g?τ( h)，στ)。特別地，當(dāng)Γ=1時，Γn就是對稱群Sn。易知，|Γn|=|Γn|?|Sn|=|Γ|nn!。

設(shè)Γ*=( c1, c2,…, cr)為有限群Γ的所有不等價的共軛類構(gòu)成的集合。任意給定( g,σ)∈Γn( g = ( g1, g2,…, gn)，gi∈Γ，σ∈Sn)，把σ寫成不相交的循環(huán)置換的乘積形式：σ=σ1σ2…。設(shè)σi=則有落在Γ的哪個共軛類里完全由g與σi來決定，由此它被叫做( g,σ)對應(yīng)于循環(huán)置換σi的循環(huán)積。設(shè)c∈Γ*，令mk(c)表示σ中循環(huán)長度為k并且其循環(huán)積落在共軛類c中循環(huán)置換的個數(shù)，那么令則ρ( c)為被共軛類c著色了的劃分，從而是被Γ的共軛類集Γ*著色的一個著色劃分，并且權(quán)為n。由( g,σ)和Γ*確定的著色劃分被叫做元素( g,σ)的型。

例如：Γ=a|a6=1為一個6階循環(huán)群，則Γ*={ 1, a, a2, a3, a4, a5}，Γ6=Γ6～S6?？紤]( g,σ)∈Γ6，其中g(shù) =( a4, 1, a2, a5, a3, a)，σ=σ1σ2σ3=（531）（62）（4），那么有

從而，由( g,σ)和Γ*確定的著色劃分為ρ=( ( 2)c2, ( 31)c6)。

定理11一般對稱群Γn中的兩個元素是共軛的當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的型，即Γn的共軛類與被Γ*著色的n的著色劃分有著一一對應(yīng)關(guān)系。

定理22 Γn中型為的共軛類所含元素個數(shù)為

參考文獻(xiàn)（References）

［1］MACDONALD I G.Symmetric functions and hall polynomials［M］.New York：Oxford University Press，1995：169-171.

［2］SAGAN B E.The symmetric group［M］.2nd ed.New York：Springer，1998：1-3.

［3］HU X L，JING N H.Spin characters of generalized symmetric group［J］.Monatshefte für Mathematik，2014，173（4）：495-518.

［4］胡曉莉.圈積群的投射特征［D］.廣州：華南理工大學(xué)，2012.

（責(zé)任編輯：胡燕梅）

Discussion on Some Problems of Conjugacy Classes of Generalized Symmetric Group

GUO Lidan，HU Xiaoli*
（School of Mathematics and Computer Science，Jianghan University，Wuhan 430056，Hubei，China）

Abstract：It is proved that the conjugacy classes of generalized symmetric group are determined by the colored partitions of n，then calculates the cardinality of each conjugacy class.

Keywords：generalized symmetric group；conjugacy class；partition；colored partition function

*通訊作者：胡曉莉（1984—），女，講師，博士，研究方向：代數(shù)。E-mail：xiaolihumath@163.com

作者簡介：郭黎丹（1994—），女，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

基金項目：國家數(shù)學(xué)天元基金項目（11426116）

收稿日期：2015-04-21

DOI：10.16389/j.cnki.cn42-1737/n.2015.04.002

中圖分類號：O152.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1673-0143（2015）04-0297-03