一類不可約Z-矩陣的預(yù)條件AOR迭代法

趙 桐，韓海山

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古自治區(qū) 通遼028000)

一類不可約Z-矩陣的預(yù)條件AOR迭代法

趙 桐，韓海山

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古自治區(qū) 通遼028000)

對于系數(shù)矩陣為不可約的Z-矩陣的大型線性方程組，給出了一類新的預(yù)條件AOR迭代法，并證明其在給定的條件下是收斂的，數(shù)值例子證明解的有效性.

預(yù)條件；Z-矩陣；AOR迭代法；收斂性

在數(shù)學(xué)，物理，流體力學(xué)和經(jīng)濟(jì)中的許多問題最終都可以歸結(jié)為求解大型稀疏矩陣的線性代數(shù)方程組.常用的方法有直接法和迭代法.由于迭代法能夠充分的利用矩陣的稀疏性，從而節(jié)省存儲單元，因而它是解大型稀疏線性方組比較實(shí)用的方法之一.考慮大型稀疏線性系統(tǒng)：

Ax=b

(1)

(其中A是一個(gè)n×n非奇異矩陣，x和b是維列向量).通過預(yù)處理方法加速迭代法的收斂性，就是對方程組兩邊同時(shí)左乘非奇異矩陣P(P為方陣)，使原方程變?yōu)?/p>

PAx=Pb

(2)

不失一般性，設(shè)A=I-L-U，其中:I,L和U分別為矩陣A的對角，嚴(yán)格下三角和嚴(yán)格上三角矩陣.

1)經(jīng)典Gauss-Seidel法的迭代矩陣[1]為：

T=(I-L)-1U

(3)

2)經(jīng)典SOR法的迭代矩陣[1]為：

Lγ=(I-γL)-1[(1-γ)I+γU]

(4)

其中γ為松弛因子，且γ≠0.

3)經(jīng)典AOR法的迭代矩陣[1]為：

Lγ,ω=(I-γL)-1[(1-ω)I+(ω-γ)L+ωU]

(5)

其中：ω，γ為實(shí)參數(shù),且ω≠0.

2004年Niki H，Haradak, Morimoto M 提出預(yù)條件為P=I+R的Gauss-Seidel迭代法，其中

2006年D·Noutsos, M·Tzoumas提出一種新的預(yù)條件AOR迭代法，預(yù)處理矩陣為P=I+S，其中

本文提出一種新的預(yù)處理矩陣：P=I+S，其中：

其中A*=PA=(I+S)A=D*-L*-U*

這里D*=I+D1，L*=L+L1，U*=U+U1.D1，L1，U1分別是SA的對角矩陣，嚴(yán)格下三角，嚴(yán)格上三角矩陣.

A*的分裂

(6)

A*的迭代矩陣為：

T*=(D*-L*)-1U*

(7)

(8)

(9)

注：當(dāng)參數(shù)ω和γ為某一值時(shí)，可以得到逐次超松弛與Gauss-Seidel法.

1 預(yù)備知識

定義1[2]矩陣A=(aij)∈Rn×n

1)若aii≥0i=1,2…n；aij≤0i,j=1,2…n,i≠j， 則稱矩陣A為L-矩陣.

2)若aij≤0i≠ji,j=1,2…n則稱矩陣A為Z-矩陣.

定義2[3]A=(aij)∈Rn×n,B=(bij)∈Rn×n若對所有的i,j=1,2…n均有aij≥bij，則記為A≥B.若A≥0(aij≥0，i,j=1,2…n)，則A為非負(fù)矩陣.

引理1[3]若A≥0是不可約矩陣，則

1)A有一正特征值等于其譜半徑.

2)ρ(A)有對應(yīng)的特征向量x>0.

3)ρ(A)是A的單特征值.

引理2[4]若是非負(fù)矩陣，則

1) 若對非負(fù)向量x≥0，x≠0αx≤Ax成立，則α≤ρ(A)

2) 若x>0，Ax≤βx成立，則ρ(A)≤β，此外若A是不可約的并且對非負(fù)向量x， 0≠ax≤Ax≤βx則α≤ρ(A)≤β.

2 主要結(jié)論

證明：由A*的定義，得到

所以A*為Z-矩陣.

證明：根據(jù)定理1，A是不可約Z-矩陣.

根據(jù)引理1 存在正向量x=(x1,x2,…xn)T使得

Lγ,ω=λx

其中λ=ρ(Lγ,ω)

或等價(jià)于

[(1-ω)I+(ω-γ)L+ωU]x=λ(I-γL)x

令y=(D*-γL*)-1[(1-ω)S+(ω-γ)SL+ωSU+λγL1-λD1]x

則y>0

3 數(shù)值例子

如果矩陣A的表達(dá)式如下：

A=

則關(guān)于取不同參數(shù)γ,ωAOR迭代法的譜半徑如表1所示.

表1 AOR迭代法的譜半徑

γωρ(Lγω)ρ(L?γω)0．30．40．93320．91380．50．80．85110．80990．70．80．83100．78730．80．80．81840．77320．850．90．78770．73590．991．00．73370．6731

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A new preconditioned AOR iterative method for irreducibleZ-matrices

ZHAO Tong, HAN Hai-shan

(School of Mathematics, Inner Mongolia University for the Nationnalities, Tongliao 028000, China)

This paper presented a new preconditioned AOR-type iterative method for solving the linear system, where coefficient matrix was an irreducibleZ-matrix. And some theorems and corollaries were given to show that the new preconditioned AOR iterative method was convergence under the given condition. Numerical example verifies the validity.

preconditioning;Z-matrices; AOR iterative method; convergence

2013-06-19.

趙 桐(1981-)，女，碩士，研究方向：優(yōu)化理論及其應(yīng)用.

O29

A

1672-0946(2015)01-0105-03