飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的控制
——噪聲方法

劉 紅，苗秀鳳

(1. 哈爾濱金融學(xué)院 基礎(chǔ)部，哈爾濱 150030；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，哈爾濱 150001)

飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的控制
——噪聲方法

劉 紅，苗秀鳳

(1. 哈爾濱金融學(xué)院 基礎(chǔ)部，哈爾濱 150030；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，哈爾濱 150001)

研究了空間飛行器姿態(tài)主動(dòng)控制系統(tǒng)的混沌控制， 在非線性系統(tǒng)中加入Gauss白噪聲以實(shí)現(xiàn)對(duì)該混沌系統(tǒng)的控制，對(duì)系統(tǒng)的混沌行為加以抑制，使系統(tǒng)穩(wěn)定化.采用最大Lyapunov指數(shù)法，通過(guò)Matlab數(shù)值仿真技術(shù)，對(duì)原系統(tǒng)以及隨機(jī)相位控制后的系統(tǒng)Lyapunov指數(shù)隨時(shí)間的變化趨勢(shì)進(jìn)行觀察，可以看到原系統(tǒng)為混沌狀態(tài)，而隨機(jī)相位控制后的系統(tǒng)混沌已被控制住.在計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的過(guò)程中采用了線性隨機(jī)系統(tǒng)的Khasminskii球面坐標(biāo)變換方法.此外，針對(duì)所研究的系統(tǒng)給出了相圖，時(shí)間歷程圖和Pioncar e′截面圖來(lái)驗(yàn)證所得到的結(jié)論，證實(shí)所用方法是有效的.

混沌控制；Gauss白噪聲；隨機(jī)相位；Lyapunov指數(shù)；Pioncar截面

H·Poincar e′對(duì)混沌的特征表述為“某些確定系統(tǒng)具有內(nèi)在隨機(jī)性”，他提出了很多非常重要的理論及概念，對(duì)后來(lái)動(dòng)力系統(tǒng)的理論發(fā)展都有著很深遠(yuǎn)的影響，比如奇異點(diǎn)、同宿和異宿等，以及穩(wěn)定性理論、分岔理論、奇異性理論和吸引子理論等非常具有創(chuàng)造性的理論.美國(guó)氣象學(xué)家E·N·Lorenz曾發(fā)表過(guò)一篇論文“決定性非周期流”，討論了天氣預(yù)報(bào)的時(shí)候遭遇的一些問(wèn)題，并在這些問(wèn)題的解決過(guò)程中給出了一個(gè)常微分方程組，所考慮的狀態(tài)空間是三維的，即著名的Lorenz方程[1]

(1)

它研究的是無(wú)限平板間的流體熱對(duì)流運(yùn)動(dòng)，這個(gè)方程是其簡(jiǎn)化模型，容易看出該方程是一個(gè)自治方程.變量x1,x2,x3是一組變量，其中x1的物理含義是正比于對(duì)流強(qiáng)度的一個(gè)變量；x2的物理含義是正比于上升流和下降流的溫差的一個(gè)變量；x3的物理含義是正比于溫度分布垂直方向非線性強(qiáng)度的一個(gè)變量.在這個(gè)方程組中有三個(gè)待定的參數(shù)，分別為a,b和c，它們的物理意義分別表示：a被稱為Prandt數(shù)；b表示的是與對(duì)流縱橫比有關(guān)的外形比，叫做Rayleigh數(shù)，表示引起湍流和對(duì)流的驅(qū)動(dòng)因素，方程 (1) 的主要控制參數(shù)為a=10，b=8/3，c=28時(shí)，方程 (1) 的解呈現(xiàn)出很混亂的情形，是一個(gè)非周期的解.Lorenz方程是混沌現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)的第一個(gè)重要例證.

混沌控制指的是人為的對(duì)混沌系統(tǒng)施加影響，使得系統(tǒng)向預(yù)想的狀態(tài)發(fā)展.即下面的這幾種情況：1) 在混沌運(yùn)動(dòng)對(duì)我們不利時(shí)，對(duì)其給予抑制；2) 在混沌對(duì)我們有利時(shí)，采取辦法生成混沌狀態(tài)并進(jìn)行有效的利用；3)如果系統(tǒng)已經(jīng)是混沌狀態(tài)，采取適當(dāng)?shù)目刂剖侄危玫轿覀冃枰妮敵?舉例說(shuō)明，眾所周知混沌軌道是一個(gè)非周期的，它在變量空間中混沌吸引子的維數(shù)比其他任何的周期吸引子都要大，那么就可以選擇在整個(gè)混沌吸引子的范圍內(nèi)來(lái)對(duì)其進(jìn)行控制.另外，我們知道混沌運(yùn)動(dòng)具有初值的敏感性，這樣一來(lái)較為鄰近的軌道之間的距離隨著時(shí)間的變化會(huì)迅速以指數(shù)形式發(fā)散，進(jìn)而導(dǎo)致混沌運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)期行為的不可預(yù)見(jiàn)性.

Li-Yorke定理：設(shè)f(x)是[a,b]上的連續(xù)自映射，若f(x)有3周期點(diǎn)，則對(duì)任意正整數(shù)n，f(x)有n周期點(diǎn)[2].

設(shè)連續(xù)自映射 f:T→T?R,T是集合R中的一個(gè)子區(qū)間.

假設(shè)存在一個(gè)不可數(shù)的集合D?T

使得

1) D中無(wú)周期點(diǎn)

2) 對(duì)?X1，X2∈D,當(dāng)X1≠X2時(shí)，有：

這里fn(·)表示函數(shù)f(x)的n重函數(shù)關(guān)系.

3) 對(duì)?X∈D和f(x)的任一周期點(diǎn)P有：

(2)

則我們說(shuō)f(x)在集合D上表現(xiàn)為混沌.

根據(jù)Li-Yorke對(duì)混沌理論的闡述，在1983年Day提出一個(gè)混沌系統(tǒng)要具有如下三個(gè)特點(diǎn)：

1) 在混沌系統(tǒng)中有階數(shù)任意的周期軌；

2)在該系統(tǒng)中存在著一個(gè)不可數(shù)的集合，在這個(gè)集合中只包含混沌軌道，而且在此集合中的任意兩個(gè)軌道表現(xiàn)為在任意的時(shí)間內(nèi)都不趨向于遠(yuǎn)離或者靠近，而是這兩種狀態(tài)也即遠(yuǎn)離和靠近輪換出現(xiàn)，并且任何一個(gè)軌道都不能無(wú)限趨于周期軌，也就是說(shuō)在這個(gè)集合中存在漸近周期軌；

3)混沌軌道是非常不穩(wěn)定的[3-6].

目前Lyapunov指數(shù)是公認(rèn)的判斷混沌最為可靠的一種定量方法[7-11].下面就對(duì)Lyapunov指數(shù)的定義給以敘述：設(shè)x(t)(x∈Rm)表示m維相空間中的動(dòng)力系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌道.用x(t)+δx(t)表示任意相鄰的運(yùn)動(dòng)軌道，則軌道x(t)的LCE可以表示為：

從上式可以看出Lyapunov指數(shù)LCE的物理意義，Lyapunov指數(shù)實(shí)際上可以看作是由m個(gè)數(shù)組成的譜.Lyapunov指數(shù)可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或者為零.如果Lyapunov指數(shù)為正數(shù)，即系統(tǒng)在相應(yīng)方向上表現(xiàn)為發(fā)散，如果Lyapunov指數(shù)為負(fù)的，則表示該系統(tǒng)在相應(yīng)方向上表現(xiàn)為收縮.針對(duì)一個(gè)自治系統(tǒng)而言，若所有的Lyapunov指數(shù)均為負(fù)值，則系統(tǒng)表現(xiàn)為趨于穩(wěn)定；如果其中有為零的Lyapunov指數(shù)，而且除了零Lyapunov指數(shù)以外的其他Lyapunov指數(shù)為負(fù)值，那么系統(tǒng)就表現(xiàn)為做周期運(yùn)動(dòng)；我們所說(shuō)的混沌運(yùn)動(dòng)情形實(shí)際上是指其存在正的Lyapunov指數(shù)并而且同時(shí)系統(tǒng)作往復(fù)運(yùn)動(dòng).如果正的Lyapunov指數(shù)不小于兩個(gè)的時(shí)候，系統(tǒng)表現(xiàn)為超混沌運(yùn)動(dòng).

1 飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的混沌現(xiàn)象

為了更好的讓飛行器可以在已經(jīng)設(shè)定的軌道坐標(biāo)系保持穩(wěn)定性，可以采用一些被動(dòng)穩(wěn)定方案[12-16]，但最好可以利用控制系統(tǒng)的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行器姿態(tài)的主動(dòng)穩(wěn)定控制[17].和被動(dòng)穩(wěn)定方案相比較，主動(dòng)姿態(tài)穩(wěn)定有其特有的優(yōu)點(diǎn)，可以確保更高的精度和速度，但也有不足，復(fù)雜化的結(jié)構(gòu)導(dǎo)致可靠性降低，而且能源消耗也隨之增加，因此當(dāng)精度要求較高和力矩?cái)_動(dòng)較大時(shí)比較適用.飛行器主動(dòng)姿態(tài)穩(wěn)定系統(tǒng)主要包括噴氣三軸穩(wěn)定系統(tǒng)、以飛輪為主的三軸穩(wěn)定系統(tǒng)和磁力矩器軸穩(wěn)定系統(tǒng).其中第一種系統(tǒng)其運(yùn)行主要是根據(jù)質(zhì)量排出反作用噴氣進(jìn)而產(chǎn)生控制力矩的原理進(jìn)行.在研究非線性控制系統(tǒng)時(shí)較為常用的分析方法是Lyapunov指數(shù)法和相平面圖解法.相平面法就是利用姿態(tài)角和角速度所組成的平面來(lái)研究該系統(tǒng)在相平面中的運(yùn)動(dòng)軌跡.相平面法對(duì)于比較簡(jiǎn)單的低階非線性系統(tǒng)的研究來(lái)說(shuō)既簡(jiǎn)單又直觀的.而且通過(guò)相平面還可以研究過(guò)渡過(guò)程時(shí)間、超調(diào)量、極限環(huán)等主要姿態(tài)控制性能指標(biāo).而對(duì)于模型維數(shù)較高的飛行器來(lái)說(shuō)，就需要完成更高維的控制目標(biāo).為了使得控制任務(wù)更趨合理，通常將飛行器的軌道控制任務(wù)與姿態(tài)控制結(jié)合起來(lái)，組成一個(gè)多推力器的系統(tǒng).在這樣復(fù)雜的執(zhí)行機(jī)構(gòu)系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，就需要保證推力器的數(shù)目與分布安裝位置要達(dá)到可靠性要求，還要盡量少的消耗能源.在這種情形下，需要研究如何通過(guò)計(jì)算機(jī)對(duì)系統(tǒng)操作任務(wù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，最優(yōu)地分配推力器的工作以及節(jié)約時(shí)間.

(3)

(4)

進(jìn)而線性化得到

(5)

將最大的Lyapunov指數(shù)定義為：

圖1 Lyapunov指數(shù)圖

令

θ：R1→S1

t→θ(t)=ωt,mod2π

方程(4)可以轉(zhuǎn)化為

(6)

再定義截面如下：

∑θ0={(x,θ)∈Rn×S1|θ=θ0∈(0,2π]}

(7)

可以做出龐加萊截面，如圖2(A)所示.

再做出方程 (3) 的相圖和時(shí)間歷程圖，如圖2(B) 和 (C)所示.

由圖2(A)可見(jiàn)龐加萊截面為混沌吸引子.由圖2(B) 和 (C)可以很容易發(fā)現(xiàn)下面的事實(shí)：相軌表現(xiàn)比較混亂且時(shí)間歷程圖無(wú)周期性可言，上述事實(shí)說(shuō)明了原系統(tǒng)是混沌的，沒(méi)有確定的規(guī)律可以依循.

圖2 (A)龐加萊截面；(B)系統(tǒng)的相圖；(C)時(shí)間歷程圖

2 利用隨機(jī)相位對(duì)飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的混沌控制

下面對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)相位控制，在飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程(2) 的相位中加入高斯白噪聲(強(qiáng)度為σ)，有：

(8)

這里ξ(t)為標(biāo)準(zhǔn)Gaussian白噪聲，σ為其強(qiáng)度，ξ(t)滿足：Eξ(t)=0，Eξ(t)ξ(t+τ)=ζ(τ)，這里ζ(τ)為Dirac-delta函數(shù).

同理可以得到式(8)的線性化形式

(9)

令

其中

f=-2Ncos2x+2μcosxsin(t+σξ(t))-μsinxcos(t)

這樣式(9)變?yōu)?/p>

(10)

定義最大Lyaponov指數(shù)為

(11)

這里

Wedig引入了一種計(jì)算最大Lyapunov指數(shù)的方法即Khasminslii球面坐標(biāo)變換方法[18-19]，利用這個(gè)計(jì)算方法可令

(12)

則

(13)

其中

(14)

針對(duì)方程 (8) 與 (9) 用四階Runge-Kutta方法進(jìn)行求解再并結(jié)合式(10)～(14)，可以求得Lyapunov指數(shù)的值.考慮到在求解過(guò)程中會(huì)有隨機(jī)因素帶來(lái)的影響，選擇多次模擬這個(gè)求解過(guò)程，然后取平均最大Lyapunov指數(shù)，以期盡量接近真值，下面畫(huà)出平均最大Lyapunov指數(shù)隨噪聲強(qiáng)度變化的曲線，如圖3所示.

從圖3中可知，在σ小于臨界值σc=0.05的時(shí)候，平均最大Lyapunov指數(shù)λ的符號(hào)為正，當(dāng)σ>0.05時(shí)，λ的符號(hào)由正轉(zhuǎn)負(fù)，這就說(shuō)明系統(tǒng)已經(jīng)由混沌狀態(tài)過(guò)渡到穩(wěn)定狀態(tài).

圖3 最大Lyapunov指數(shù)隨噪聲強(qiáng)度變化圖

取噪聲強(qiáng)度σ=0.1，下面對(duì)這個(gè)系統(tǒng)加以控制并做出控制后該系統(tǒng)的龐加萊截面、相圖、時(shí)間遍歷圖，如圖4(A)、(B)和(C)所示.

圖4 (A)龐加萊截面；(B)系統(tǒng)的相圖；(C)時(shí)間遍歷圖

從圖2(A)、(B)、(C)和圖4(A)、(B)、(C)的比較中可以發(fā)現(xiàn)如下現(xiàn)象：龐加萊截面中的混沌吸引子已經(jīng)變?yōu)榉€(wěn)定吸引子，相圖軌道也變成了穩(wěn)定的環(huán)形軌道，時(shí)間歷程由不規(guī)則變?yōu)橐?guī)則的周期形態(tài).也就是說(shuō)原來(lái)的混沌狀態(tài)得到了控制.

3 結(jié) 語(yǔ)

本文研究了利用在飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)的混沌系統(tǒng)中加入白噪聲的方法以對(duì)其混沌行為進(jìn)行控制，首先對(duì)飛行器姿態(tài)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)作了狀態(tài)描述，在對(duì)這個(gè)系統(tǒng)的控制過(guò)程中我們給出了最大Lyapunov指數(shù)隨噪聲變化的曲線示意圖、Poincaré 截面等，闡釋了在給定的參數(shù)條件下所研究的系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌狀態(tài).然后想辦法對(duì)這種混沌行為加以控制，經(jīng)過(guò)研究所加入的噪聲強(qiáng)度與最大Lyapunov指數(shù)之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)，當(dāng)強(qiáng)度大于0.1時(shí)平均最大Lyapunov指數(shù)轉(zhuǎn)為負(fù)值.另外給出了相圖和時(shí)間歷程圖也充分證實(shí)了這些結(jié)果.

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Spacecraft attitude system control—noise method

LIU Hong, MIAO Xiu-feng

(1.Department of Foundation,Harbin Finance University, Harbin 150001, China;2. Department of Mathematics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

This paper studied the chaos control of the spacecraft attitude active control system. The method used in this paper was to add the Gaussian white noise to the system in order to control this chaotic system. Suppressed the chaotic behavior to make stabilization. The largest Lyapunov exponent was adopted, and got the data through the numerical simulation technology of Matlab. Through the trending of the Lyapunov exponent changing with the time of the original system and the random phase control system, found that the original behavior was chaotic, and the controlled system was stable. The method for computing the top Lyapunov exponent was based on the Khasminskii’s formulation for linear stochastic systems. In addition, phase portraits, time evolution and Poincar e′map were plotted to confirm the obtained results which confirm the method was effective.

chaos control; Gauss white noise; random phase; top Lyapunov exponents; Poincar e′map

2014-06-10.

劉 紅(1979-)，女，碩士，講師，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).

V249

A

1672-0946(2015)01-0090-06