反三角分塊矩陣的群逆存在性和表達(dá)式

夏玲玲， 鄧 斌

（合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230009）

設(shè)Cn×n是n×n階復(fù)矩陣的集合。矩陣A的Drazin逆［1］是存在并且唯一的，表示為AD，滿足以下3個(gè)方程：

其中，k是滿足rank（Ak）＝rank（Ak＋1）的最小非負(fù)整數(shù)，稱為A的指數(shù)，記為ind（A）。若ind（A）＝1，稱A是群逆的，記為A＃。另外記Aπ＝I－AA＃，A0＝I。

對(duì)于分塊矩陣群逆的研究一直是矩陣研究中一個(gè)重要的課題。文獻(xiàn)［2］給出了2×2分塊矩陣Drazin逆的表達(dá)式，其中A、D是方陣。但是，這一問題到目前為止還沒有得到具體解決。當(dāng)D＝0時(shí)，

對(duì)于M的Drazin逆（群逆）的研究也激起了很多人的興趣，卻沒有一個(gè)明確的結(jié)果。文獻(xiàn)［3］給出了體上某些分塊矩陣的群逆的存在性定理及其表達(dá)式；在文獻(xiàn)［4－8］中分別給出了反三角分塊矩陣在一些條件下的群逆的存在性和表達(dá)式及塊k－循環(huán)矩陣帶W權(quán)的Drazin逆表達(dá)式；在文獻(xiàn)［9］中得到了2個(gè)冪等矩陣的一般組合可逆的充要條件，在文獻(xiàn)［10］中對(duì)之前的結(jié)論進(jìn)行了推廣，研究了2個(gè)冪等矩陣的組合群逆問題。

本文給出了在條件P2Q＝0，PQ＋QP＝0和P2Q＝0，QPπ＝0下（P＋Q）＃的表達(dá)式，并應(yīng)用得到的結(jié)論給出了的表達(dá)式。然后，主要探究復(fù)數(shù)域上反三角分塊矩陣在不同情況下群逆存在性和表達(dá)式。

1 主要引理

引理2 令A(yù)，B∈Cn×n滿足AB＝BA＝0，若（A＋B）＃、A＃、B＃存在，則（A＋B）＃＝A＃＋B＃。

引理3 令A(yù)，B∈Cn×n，A＃、B＃存在，則有：

（1）若R是非奇異矩陣，B＝RAR－1，則B＃＝RA＃R－1。

（2）存在一個(gè)非奇異矩陣R，使得A1∈Cr×r是非奇異矩陣，A2∈C（n－r）×（n－r）是冪零矩陣，且

引理4 令M∈Cn×n，滿足B∈Cp×（n－p），C∈C（n－p）×p，則M＃存在的充要條件是r（B）＝r（C）＝r（BC）＝r（CB），且M＃＝

引理5 令A(yù)、B、C、D是m×n，m×k，l×n，l×k矩陣，則有［11］：

（1）r（A，B） ＝r（A）＋r（EAB）＝r（EBA）＋r（B）。

其中，SA＝D－CA?B，EA＝I－AA?，F(xiàn)A＝IA?A。

引理6 令N＝，B＝EB，C＝1A1CFA，JD＝EC1SAFB1，SA＝D－CA（1）B，則有［12］：

（1）r（N）＝成立的充要條件是成立。

（2）r（N）＝r（A，B） ＋r（C，D）成立的充要條件是成立。

2 定理與證明

定理1 已知P，Q∈Cn×n滿足P2Q＝0，PQ＋QP＝0，則（P＋Q）＃存在的充要條件是P＃、Q＃存在，r（P＋Q）＝r（P2＋Q2）＝r（P4＋Q4），此時(shí)有：

（P＋Q）＃＝P＃＋ （P＋Q）（Q2）＃ （2）

證明 由條件可知，（P＋Q）＃存在，且P2Q＝－PQP＝QP2＝0。

令P＝R－1，R是非奇異矩陣，P1可逆，P2是冪零矩陣，由P＃存在，可知和存在，且＝0。

Q＝RR－1，由條件知Q1＝0，Q12＝

因?yàn)椋≒＋Q）＃存在，根據(jù)秩的關(guān)系可知（P2＋Q2）＃存在。根據(jù)引理1，可知：

下面只須求出（P2＋Q2）＃即可。

將（4）式代入（3）式中，可得出（P＋Q）＃＝P＃＋（P＋Q）（Q2）＃，得出結(jié)論。

性質(zhì)1 已知P，Q∈Cn×n且P＃、Q＃存在，滿足P2Q＝0，QPπ＝0，則有：

定理2 令N＝，滿足：A2B＝0，D2C＝0，BDπ＝0，CAπ＝0。當(dāng)A＃、D＃存在且r（B）＝r（C）＝r（CB）＝r（BC）時(shí)，則有：

證明 令N＝＝P＋Q，則由條件可知P、Q滿足P2Q＝0，QPπ＝0。則根據(jù)性質(zhì)1，N＃＝（P＋Q）＃＝P＃＋Q（P＃）2，可得出結(jié)論。

定理3 令N＝，滿足：BCA＝0，CBD＝0，A（BC）π＝0，D（CB）π＝0。當(dāng)A＃、D＃存在且r（B）＝r（C）＝r（CB）＝r（BC）時(shí)，有

證明 令N＝＝P＋Q，則據(jù)性質(zhì)1和引理4可得出結(jié)論。

3 反三角分塊矩陣群逆存在的條件

定理4 令M如（1）式所示，如果AB＝0，CAπ＝0，A是冪等的，則有：

（1）M＃存在當(dāng)且僅當(dāng)r（B）＝r（BCB），其中Aπ＝I－A。

（2）如果M＃存在，有

證明 （1）由引理5可知，r（M）＝r（A）＋，而A是冪等的，A＃＝A，A∈A｛1｝，則有：

所以M＃存在當(dāng)且僅當(dāng)r（B）＝r（BCB）。

（2）令X是（8）式的右半部分，計(jì)算可知，

因此X＝M＃，結(jié)論得證。

定理5 令M如（1）式所示，其中AB＝0，CAπ＝0，A是冪等的，如果M滿足下面2個(gè)條件中的任何一個(gè)，則M＃存在。

（1）r（AFC，B） ＝r（A）＋r（BCB）－r（C）。

證明 由引理5可知：

當(dāng)條件（1）成立時(shí)，易知r（M）＝r（M2），則M＃存在。同樣根據(jù)引理5，可知當(dāng)條件（2）成立時(shí)，M＃存在，就不加詳細(xì)敘述。

定理6 令M如（1）所示，其中AB＝0，CAπ＝0，A是冪等的，若M滿足以下條件：

則M＃存在當(dāng)且僅當(dāng)以下4種情況的1個(gè)，即

（1）r（B）＝r（BCB）。

（2）r（C）＋r（B）＝r（A）＋r（BCB）。

（3）r（C）＝r（BCB）。

（4）r（A）＋r（BCB）＝r（B）＋r（C）。

證明 由R（B）?R（A）可知B1＝EAB＝0，而R（A）?R（B），可知EBA＝0。

同理，由R（C＊）?R（A＊）可知C1＝CFA＝0，而R（A＊）?R（C＊），可知AFC＝0。

所以JD＝EC1SAFB1＝SA。

因?yàn)镽（B＊）?R），即N（SA）?N（B），所以由文獻(xiàn)［1］中投影原理可知BPL，M＝B，PL，M＝

則SAFB1FJD＝SAFSA＝0，BFB1FJD＝BFSA＝0，所以由引理6可知

另一方面，由R（C）?R（SA），可得出r（M）＝r（A，B） ＋r（C）。

接下來的過程結(jié)合引理5，即可得出結(jié)論。

4 結(jié)束語

矩陣的群逆問題是矩陣擾動(dòng)理論中一個(gè)重要的組成部分，本文對(duì)于矩陣群逆存在性和表達(dá)式進(jìn)行了研究，特別是分塊矩陣群逆的表達(dá)式和反三角分塊矩陣群逆存在的條件。

［1］ Ben－Israel A，Greville T N E.Generalized inverses：theory and applications［M］.2ed.New York：Springer，2003：152－172.

［2］ Campbell S L，Meyer C D.Generalized inverses of linear transformations［M］.New York：Dover Publications，Inc，1979：120－181.

［3］ 曹重光.體上分塊矩陣群逆的某些結(jié)果［J］.黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001，18（3）：5－7.

［4］ Bu C.On group inverses of block matrices over skew fields［J］.J.Math，2002，35（4）：49－52.

［5］ Castro－Gonzelez N，Dopazo E.Representations of the Drazin inverse for a class of block matrices［J］.Linear Algebra and its Applications，2005，400：253－269.

［6］ Bu C，Zhao J，Zheng J.Group inverse for a class 2×2 block matrices over skew fields［J］.Applied Mathematics and Computation，2008，204（1）：45－49.

［7］ 周洪玲，王 成，范廣慧，等.特殊分塊矩陣的群逆的表示［J］.黑龍江工程學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，27（1）：78－80.

［8］ 唐 松，吳華璋.塊k－循環(huán)矩陣的 Moore－Penrose逆和帶W權(quán)的Drazin逆［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2009，32（9）：1442－1444，1448.

［9］ 左可正，謝 濤.冪等矩陣的組合的可逆性［J］.數(shù)學(xué)雜志，2009，29（3）：285－288.

［10］ 左可正，謝 濤.兩個(gè)冪等矩陣的組合的群逆［J］.數(shù)學(xué)雜志，2014，34：3－5.

［11］ Marsaglia G，Styan G P H.Equalities and inequalities for Ranks of matrices［J］.Linear and Multilinker Algebra，1974，2（3）：269－292.

［12］ 陳永林.關(guān)于分塊矩陣的g逆的獨(dú)立性［J］.應(yīng)用

－數(shù)學(xué)，1993，6（3）：241－248.