散粒體的自組織臨界性分析

蔣紅英，宋亮亮，羅雙華，慕青松

1)西京學(xué)院土木工程學(xué)院，西安 710123；2)西安理工大學(xué)基建處，西安 710048；3)蘭州大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，蘭州 730000

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【土木建筑工程 / Architecture and Civil Engineering】

散粒體的自組織臨界性分析

蔣紅英1，宋亮亮2，羅雙華2，慕青松3

1)西京學(xué)院土木工程學(xué)院，西安 710123；2)西安理工大學(xué)基建處，西安 710048；3)蘭州大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，蘭州 730000

基于二維模擬實(shí)驗(yàn)，研究豎向荷載下散粒體中的自組織臨界性，揭示細(xì)觀拱效應(yīng)與宏觀大崩塌的變化規(guī)律，以及拱效應(yīng)與材料性質(zhì)的關(guān)系.散粒體中每個小自組織的臨界發(fā)展過程包括自組織搭拱、拱隨遇平衡和拱崩塌的動力學(xué)演化.散粒體大坍塌是眾多小自組織臨界發(fā)生后的力學(xué)性質(zhì)由量變到質(zhì)變的過程.用隨機(jī)理論細(xì)觀探討一個預(yù)期失敗模式的理論模型，為研究散體材料結(jié)構(gòu)自組織臨界性系統(tǒng)的可預(yù)測性及災(zāi)害預(yù)測預(yù)報(bào)提供了科學(xué)依據(jù).

防災(zāi)減災(zāi)工程；防護(hù)工程；散粒體；各向異性；自組織臨界性；拱效應(yīng)

散粒體結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力分布具有高度的各向異性[1-2]、搭拱效應(yīng)引起的卡塞現(xiàn)象[3]和黏滑移動特性[4-5]，工程中有時利用此特性提高承載力，有時則需要避免卡塞.散粒體結(jié)構(gòu)的力學(xué)性質(zhì)從本質(zhì)上不同于連續(xù)介質(zhì)，其自組織臨界性屬于非線性動力學(xué)問題.從自組織搭拱隨遇平衡、以亞穩(wěn)定狀態(tài)隨遇平衡、自組織逼近臨界點(diǎn)，直到崩塌，整個過程均具有復(fù)雜和隨機(jī)的特性.近年來，對散粒體結(jié)構(gòu)性質(zhì)的研究已有許多成果[6-9]，但仍需要大量的實(shí)驗(yàn)積累和理論研究.

散粒體結(jié)構(gòu)的物理性質(zhì)介于固體和液體之間，它的行為在兩者之間轉(zhuǎn)變，有許多不確定性和離散性，沒有變形協(xié)調(diào)的約束，動態(tài)性和多變性很強(qiáng)，結(jié)構(gòu)變形是不可恢復(fù)的，且在加載和卸載時都會產(chǎn)生．因此散體材料結(jié)構(gòu)中的力學(xué)響應(yīng)分析和工程監(jiān)控不能以經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)或巖土力學(xué)作為理論指導(dǎo)．目前對散粒體結(jié)構(gòu)的認(rèn)識、研究及應(yīng)用于工程問題的分析，還處于初級階段，未形成方向較為固定、連續(xù)性的研究．本文通過試驗(yàn)?zāi)M，針對碎石堆和礫石堆在連續(xù)豎向荷載作用下的滑移大崩塌現(xiàn)象，進(jìn)行了細(xì)觀的研究，應(yīng)用隨機(jī)理論分析散粒體結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，并探討理論模型，以期為防災(zāi)減災(zāi)工程及防護(hù)工程研究提供參考．

1 試驗(yàn)內(nèi)容

1.1 試驗(yàn)簡述

用直徑為5～60 mm的礫石、碎石作為散體顆粒材料, 顆粒的不均勻系數(shù)為d60/d10≥10， 其中，d60和d10分別為顆粒材料的限制粒徑和有效粒徑.礫石是天然粒料，碎石為天然花崗巖碎石，抗壓強(qiáng)度為200～300MPa.利用顆粒層剪切移動裝置，測量水平位移靈敏度[10-11]，檢測2種不同摩擦系數(shù)的碎石材料.裝入一個內(nèi)尺寸為20.0cm×50.0cm，壁厚為1.5cm，用普通低碳鋼板加工而成的鋼盒內(nèi)，3面剛性側(cè)限，1面邊界上連接有6個位移傳感器，如圖1.由WDW-100萬能試驗(yàn)機(jī)在盒子頂部中間處通過一個壓頭緩慢連續(xù)地施加荷載，萬能試驗(yàn)機(jī)連接電腦,每6min記錄1次豎向位移、橫向位移、相應(yīng)的荷載及加載時間等數(shù)據(jù).進(jìn)行位移監(jiān)測的正交試驗(yàn)35次[12]，觀測并分析散粒體結(jié)構(gòu)大崩塌過程中自組織臨界發(fā)生的規(guī)律.分別測量一定堆高時豎向沉降量和橫向位移量的變化情況，通過壓力與位移的關(guān)系，進(jìn)行不同物理性質(zhì)材料顆粒的對比實(shí)驗(yàn).

圖1 試驗(yàn)裝置Fig.1 (Color online) Experimental equipment

1.2 試驗(yàn)細(xì)觀分析

材料顆粒之間相對移動一般為黏滑運(yùn)動，如圖2(a)所示.以fs表示材料之間的最大靜摩擦力均值(閾值)，其值取決于顆粒之間的咬合，即力增加而無滑動發(fā)生；f0表示最小動摩擦力均值，其值取決于顆粒表面的粗糙度. 黏滑運(yùn)動是周期性的重復(fù)運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t1， 停止時間為t2， 則黏滑運(yùn)動的一個周期是t1+t2. 在一個周期內(nèi)位移距離為x=(fs-f0)/k， 其中，k為加載系統(tǒng)的動態(tài)剛度.

圖2 礫石、碎石側(cè)限實(shí)驗(yàn)中的荷載-位移曲線Fig.2 (Color online) Load-displacement curve from the gravel pile confining compress experiment

試驗(yàn)結(jié)果表明，碎石的fs比礫石略高，而碎石的f0比礫石高很多，因此礫石有明顯的“振幅”(自組織臨界現(xiàn)象)，而碎石相對礫石有更大的摩擦系數(shù)，出現(xiàn)了大量的蠕動現(xiàn)象，自組織臨界現(xiàn)象并不明顯(圖2).圖2中礫石的黏滑周期彈跳偏差量fs-f0大于碎石，礫石比碎石的波動更加明顯，因此礫石比碎石有更大的位移量.這表明粗糙、不規(guī)則的顆粒具有更大的剪阻力，所需要的起始動能更大，自組織臨界遇到的剪阻力也大很多.對比結(jié)果表明，材料各項(xiàng)異性時的應(yīng)變約束力遠(yuǎn)大于各項(xiàng)同性時的應(yīng)變約束力.

由于散粒體材料中存在阻尼力，阻礙了散體材料顆粒的運(yùn)動, 使其對外界施加的力有一個滯后響應(yīng)．材料的滯后又導(dǎo)致了內(nèi)部能量的耗失．散粒體材料中的內(nèi)部能量耗失——內(nèi)阻尼，主要發(fā)生在顆粒與顆粒之間相互摩擦及咬合處．這種阻尼力與運(yùn)動速度無關(guān),但與應(yīng)力有關(guān)．顆粒堆中的摩擦阻尼力為

(1)

Es=E-Wf=2πr∫τfAdx

(2)

其中，r為顆粒的半徑均值．

散粒體中每個小自組織臨界的過程包括自組織搭拱、拱隨遇平衡和拱崩塌的動力學(xué)演化.其中，自組織搭拱和拱隨遇平衡是相對慢動力學(xué)過程，而拱崩塌是瞬間的快過程[13]，散粒體內(nèi)部材料顆粒相對移動表現(xiàn)出的是黏滑運(yùn)動特征[14].“黏”是拱支撐著臨界點(diǎn)附近的平衡過程，“滑”由拱的崩塌導(dǎo)致.

材料顆粒移動速度的衰減快慢與顆粒的各向同性或異性有關(guān).若顆粒之間是粗糙表面接觸, 顆粒之間的滑動可減少2/3[15]，隨遇平衡過程的長短主要與咬合有關(guān).

在豎向荷載作用下, 散粒體結(jié)構(gòu)變形過程可描述為：

1)初始階段，即應(yīng)變硬化階段，散粒體內(nèi)部逐漸密實(shí)，有壓密作用，有剪縮現(xiàn)象，是搭散粒拱的過程；

2)峰值階段，即拱的隨遇平衡效應(yīng)階段，拱支撐力到達(dá)臨界值；

3)散粒拱崩塌階段，即應(yīng)變軟化階段，局部軟化，迅速剪脹，摩擦阻力及咬合作用趨于0，如圖3.

圖3 散粒體結(jié)構(gòu)變形的3個階段Fig.3 Three stages of the granular mixtures deformation

2 模型建立

散粒體的自組織臨界性是隨機(jī)的，但也存在規(guī)律.在整個散粒體大崩塌過程中，小自組織臨界發(fā)生的概率滿足冪律關(guān)系[16-18].散粒體大坍塌源于眾多小散粒拱的崩塌，結(jié)構(gòu)的剪切模量逐漸減小，顆粒漸進(jìn)式地移動，即眾多小自組織臨界發(fā)生后，導(dǎo)致了顆粒相互約束產(chǎn)生的破壞，力學(xué)性質(zhì)也由量變發(fā)展到質(zhì)變.

以S表示散粒體大崩塌的臨界狀態(tài)，對應(yīng)的加載時間是t，在[0,t]這一加載過程中，S可表示為小自組織臨界的疊加：

(3)

其中，s(t-ti)表示在加載時間ti時，小自組織臨界的發(fā)生對大崩塌所做的貢獻(xiàn).設(shè)t

P(n→n+1， 一個加載時間增量Δt內(nèi))=

λ(θ,α)Δt

(4)

其中，λ=E[N(t)]/Δt， 為散粒體中自組織臨界發(fā)生的強(qiáng)度，E[N(t)]為一次Δt中小自組織臨界發(fā)生的總量均值， Δt為一次記錄的加載時間.λ與結(jié)構(gòu)內(nèi)的密實(shí)度θ和剪阻強(qiáng)度α密切相關(guān)，并滿足邊界條件：在t=0時，有p(0, 0)=1； 對于所有的n≥1， 有p(n, 0)=0. 也就是說沒有加載時，沒有自組織臨界發(fā)生的概率為1，而有n次自組織臨界發(fā)生的概率為0，那么散粒體的破壞過程為Poisson過程[19].試驗(yàn)結(jié)果也表明，散粒體整體坍塌過程具有的特征相似于Poisson過程[20-21]，因此式(4)可以表達(dá)為

(5)

設(shè)內(nèi)部的變化近似為連續(xù)時，式(3)可表示為

(6)

其中，μ(t)=dN(t)/dt，N(t)為自組織臨界發(fā)生的總量.由于自組織臨界過程從自組織搭拱、拱隨遇平衡到拱崩塌表現(xiàn)出黏滑特征[22]，因此，該行為可簡化為

S(t)=qe-αt，t>0

(7)

其中，q描述顆粒之間的黏強(qiáng)度，即約束顆粒位移的咬合力——拱隨遇平衡時間[23]；α為動摩擦系數(shù).

設(shè)內(nèi)部的變化近似連續(xù)時，式(3)可表達(dá)為

(8)

于是，可以得到隨機(jī)微分方程

(9)

其中，qμ(t)為隨機(jī)項(xiàng)，按照Poisson分布的性質(zhì)，其均值和方差均為λ.

若將隨機(jī)項(xiàng)定義為一個自組織臨界量dN(t)及其均值之差，即

dw(t)=w(t+Δt)-w(t)=

dN(t)-λdt

(10)

則式(9)可變?yōu)?/p>

dS(t)=[λq-αS(t)]dt+qdw(t)

(11)

其中，將dw(t)可以解釋為Wiener過程[20]，即dw(t)=δidt，δi為振幅隨機(jī)項(xiàng)，屬正態(tài)分布.

根據(jù)隨機(jī)理論[20-21]得

S(t)=φ(t)[S(0)+∫0tφ(ti)-1λqdti+

qdw(ti)]

(12)

其中，φ(t)=e-αt. 設(shè)加載時間t=0時，無自組織臨界發(fā)生， 即S(0)=0， 所以有

S(t)= e-αt[∫0teαtiλqdti+qδidti]=

t≤ttotal

(13)

其中，ttotal為散粒體大崩塌時所累積的加載時間.式(13)反應(yīng)了一個大崩塌發(fā)生的規(guī)律：當(dāng)小的自組織臨界的發(fā)生率減少到一定程度時，散粒體大的自組織臨界的概率趨于一個常數(shù).這個數(shù)主要與材料的咬合隨遇平衡效應(yīng)有關(guān).

3 實(shí)例分析

圖4 大崩塌概率與位移的關(guān)系Fig.4 (Color online) Diagram of the large collapse probability and displacement

4 結(jié) 論

本研究基于二維碎石、礫石堆體豎向荷載下大崩塌的試驗(yàn)分析，用隨機(jī)理論細(xì)觀探討了一個預(yù)期失敗模式的理論模型，定性地揭示了微觀拱和宏觀大崩塌的演化規(guī)律，以及微觀拱與材料性質(zhì)的關(guān)系.主要特征有：

1)材料顆粒各項(xiàng)異性時應(yīng)變約束力遠(yuǎn)大于各項(xiàng)同性時的應(yīng)變約束力；

2)散粒體中每個小自組織臨界的過程包括自組織搭拱、拱隨遇平衡和拱崩塌的動力學(xué)演化，散粒體結(jié)構(gòu)大崩塌是由眾多小自組織臨界發(fā)生后內(nèi)部由量變到質(zhì)變的過程；

3)具有較低動摩擦的顆粒，波動更加明顯，穩(wěn)定性也更差.

在巖土工程中接觸到的散粒材料結(jié)構(gòu)很多,由于散粒材料結(jié)構(gòu)中存在諸多隨機(jī)因素，因此給散粒體工程的理論研究帶來許多困難[24-25].后續(xù)將深入進(jìn)行擴(kuò)展實(shí)驗(yàn)和理論研究，為散體材料結(jié)構(gòu)自組織臨界性系統(tǒng)的可預(yù)測性以及災(zāi)害預(yù)測預(yù)報(bào)提供科學(xué)依據(jù).

/ References：

[1] Tasi J C,Voth G A,Gollub J P.Internal granular dynamics, shear-induced crystallization, and compaction steps[J]. Physical Review Letters,2003,91(6):643011-643014.

[2] Jajcevic D, Siegmann E, Radeke C, et al. Large-scale CFD-DEM simulations of fluidized granular systems [J]. Chemical Engineering Science, 2013, 98(5):298-310.

[3] Shirsath S S, Padding J T, Deen N G, et al. Experimental study of monodisperse granular flow through an inclined rotating chute[J]. Powder Technology，2013,246(5): 235-246.

[4] Zheng B, Elsworth D. Strength evolution in heterogeneous granular aggregates during chemo-mechanical compaction[J]. International Journal of Rock Mechanics & Mining Sciences, 2013,60(1):217-226.

[5] Moysey P A, Nadella V R, Malcolm H I B. Dynamic coefficient of friction and granular drag force in dense particle flows: experiments and DEM simulations[J]. Powder Technology, 2013, 93(1):1-14.

[6] Michlmayr G, Cohen D, Dani O. Sources and characteristics of acoustic emissions from mechanically stressed geologic granular media[J]. Earth-Science Reviews, 2012, 112: 97-114.

[7] Samiei K, Peters B. Experimental and numerical investigation into the residence time[J]. Chemical Engineering Science，2013,87(10):234-245.

[8] Ringl C, Urbassek H M. A LAMMPS implementation of granular mechanics: inclusion of adhesive and microscopic friction forces[J]. Computer Physics Communications 2012,183(2): 986-992.

[9] Chen K C, Lan J Y. Micromorphic modeling of granular dynamics[J]. International Journal of Solids and Structures，2009, 46(11): 1554-1563.

[10] Losert W, Geminard J C, Nasuno S, et al. Mechanisms for slow strengthening in granular materials[J]. Physical Review E, 2000，64(2):4065-4068.

[11] Huang J, Silva M V, Krabbenhoft K. Three-dimensional granular contact dynamics with rolling resistance [J].Computers and Geotechnics, 2013,49: 289-298.

[12] Jiang Hongying，Ke Zhihua，Liu Jie. Experimental study of granular materials based on vertical load[J]. Sichuan Building Science，2010,36(3)：106-108.(in Chinese) 蔣紅英，柯志華，劉 杰. 豎向荷載作用下散體材料堆的試驗(yàn)研究[J]. 四川建筑科學(xué)研究，2010,36(3):106-108.

[13] Sheng L T, Tai Y C, Kuo C Y,et al. A two-phase model for dry density-varying granular flows[J]. Advanced Powder Technology,2013,24:132-142.

[14] Keith A H. Modeling granular material flows: the angle of repose, fluidization and the cliff collapse problem[J]. Planetary and Space Science,2013,82(83):11-26.

[15] Dalibor J, Siegmann E, Radeke C, et al. Large-scale CFD-DEM simulations of fluidized granular systems[J]. Chemical Engineering Science, 2013，98:298-310.

[16] Liu Jiakun. The application of stochastic process[M]. Beijing: Science Press，2000.(in Chinese). 劉嘉餛.應(yīng)用隨機(jī)過程[M].北京:科學(xué)出版社，2000.

[17] He Na, Fu Ronghua, Bu Xianghang，et al. An experimental study on movement and accumulation characteristics of the sand-sliding slope[J]. Journal of Geological Hazards and Environment Preservation, 2012,23(1):50-53.(in Chinese) 何 娜，傅榮華，卜祥航，等. 散粒體斜坡運(yùn)動堆積特征試驗(yàn)研究[J]. 地質(zhì)災(zāi)害與環(huán)境保護(hù)，2012,23(1):50-53.

[18] Jiang Hongying, Lu Jinbu,Mu qingsong. Research on the sedimentation regulation model of the of granular packs[J]. Journal of Kunming University of Science and Technology, 2010(2):78-80.(in Chinese) 蔣紅英，魯進(jìn)步，慕青松.散體材料結(jié)構(gòu)沉降機(jī)理分析與模型建立[J].昆明理工大學(xué)學(xué)報(bào)理工版,2010(2):78-80.

[19] Losert W, Geminard J C, Nasuno S, et al. Mechanisms for slow strengthening in granular materials[J].Physical Review E Volume,2000,61: 4061-4068.

[20] Lin Yuanlie.The application of stochastic process[M].Beijing: Tsinghua University Press，2002.(in Chinese). 林元烈.應(yīng)用隨機(jī)過程[M].北京:清華大學(xué)出版社，2002.

[21] Zhang Zhuokui, Chen Huichan . Stochastic processes and their applications[M]. Xi’an: Xi’an Electronic and Science University Press, 2012.(in Chinese) 張卓奎，陳慧嬋.隨機(jī)過程及其應(yīng)用[M].西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2012.

[22] Huang J, Silva M V, Krabbenhoft K. Three-dimensional granular contact dynamics with rolling resistance [J]. Computers and Geotechnics, 2013,49:49289-49298.

[23] Estrada N, Taboada A .Yield surfaces and plastic potentials of cemented granular materials from discrete element simulations[J]. Computers and Geotechnics，2013,49(11) :62-69.

[24] Guo N, Zhao J.The signature of shear-induced anisotropy in granular media[J].Computers and Geotechnics, 2013,47(8): 1-15.

[25] Nicot F, Hadda N, Guessasma M, et al. On the definition of the stress tensor in granular media [J]. International Journal of Solids and Structures，2013,50(4) ：2508-2517.

【中文責(zé)編：坪 梓；英文責(zé)編：之 聿】

Analysis of self-organized criticality in the granular mixtures

Jiang Hongying1?, Song Liangliang2, Luo Shuanghua2,and Mu Qingsong3

1) College of Civil Engineering, Xijing University, Xi’an 710123, P.R.China 2) Construction Bureau, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, P.R.China 3) College of Civil Engineer and Mechanics, Lanzhou University, Lanzhou 730000, P.R.China

Based on a two-dimensional experiment, we investigate the mechanism of self-organized criticality of granular mixtures under a vertical load and reveal the rules of change of the mesoscopic arch effect and macro big collapses as well as the relationship between the arch effect and the material properties. The development of self-organization criticality is a geodynamic process including arching, arch relaxation and arch collapse. Large collapse of granular mixtures is a process where quantitative changes lead to changes in mechanical properties after a multitude of small self-organized criticalities occur. We apply random theory to probe into the theoretical model with an expected failure mode, which is given in a mesoscopic discussion. The research on granular structure can provide a scientific basis for the study of the predictability of self-organized criticality system and disaster forecasting.

disaster prevention and reduction engineering; protective engineering; granular mixtures; anisotropy; self-organized criticality; arch effect

：Jiang Hongying, Song Liangliang, Luo Shuanghua, et al． Analysis of self-organized criticality in the granular mixtures[J]. Journal of Shenzhen University Science and Engineering, 2015, 32(1): 96-101.(in Chinese)

TU 444

A

10.3724/SP.J.1249.2015.01096

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10402112)；陜西省科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(2014K06-19)

蔣紅英(1959—),女(漢族)，浙江省平湖市人，西京學(xué)院教授.E-mail：hunter.000000@163.com

Received：2014-06-17；Accepted：2014-10-11

Foundation：National Natural Science Foundation of China(10402112)； Science and Technology Plan Projects of Shaanxi Province (2014K06-19)

? Corresponding author：Professor Jiang Hongying．E-mail: hunter.000000@163.com

引 文：蔣紅英，宋亮亮，羅雙華，等．散粒體的自組織臨界性分析[J]. 深圳大學(xué)學(xué)報(bào)理工版，2015，32(1)：96-101.