計(jì)數(shù)公式與時(shí)鐘夾角公式在中學(xué)解題中的應(yīng)用

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計(jì)數(shù)公式與時(shí)鐘夾角公式在中學(xué)解題中的應(yīng)用

徐 喜 梅

(包頭市達(dá)茂旗第二中學(xué) ，內(nèi)蒙古 包頭 014500)

摘要：本文應(yīng)用計(jì)數(shù)公式n(n-1)/2和時(shí)鐘夾角公式|m×30°-5.5°n|解決了兩個(gè)元素確定一個(gè)圖形或組合(握手、比賽等)的計(jì)數(shù)問題和與時(shí)針和分針夾角的相關(guān)數(shù)學(xué)問題。

關(guān)鍵詞：n(n-1)/2;計(jì)數(shù)問題;|m×30°-5.5°n|;時(shí)刻;角度

要學(xué)好數(shù)學(xué)，就必須做到“舉一反三”、“觸類旁通”。怎樣才能“舉一反三”呢？筆者根據(jù)教學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)了兩個(gè)公式，巧妙解決了很多學(xué)生心目中的難題，做到了由“一”中去歸納，總結(jié)，形成適合學(xué)生的模型，然后應(yīng)用解決同類問題，簡化學(xué)生分析問題的難度，從而達(dá)到“反三”的效果。

1計(jì)數(shù)公式n(n-1)/2

計(jì)數(shù)問題應(yīng)滿足的基本原則是既不重復(fù)又不遺漏。解計(jì)數(shù)問題時(shí)，從特殊情況入手，仔細(xì)觀察、歸納、遞推、猜想、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是一種有效的計(jì)數(shù)方法。筆者根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，歸納總結(jié)了公式n(n-1)/2在解決兩個(gè)因素決定一個(gè)圖形或組合(握手、比賽等)的計(jì)數(shù)問題中的應(yīng)用，旨在引導(dǎo)學(xué)生找到學(xué)習(xí)捷徑，提高學(xué)習(xí)效率。

例1:在一條直線上若有n個(gè)點(diǎn)，則圖中共有多少條線段？

分析推導(dǎo)：如圖1，在直線l上有n個(gè)點(diǎn)A1、A2、A3……An，

圖1

(1) 當(dāng)直線l上有兩個(gè)點(diǎn)A1、A2時(shí)，A1可以與A2作1條線段A1A2，A2可以與A1作1條線段A2A1，線段A1A2與線段A2A1是同一條線段，故2個(gè)點(diǎn)時(shí)，有(2×1)/2=1條線段。

(2)當(dāng)直線l上有三個(gè)點(diǎn)A1、A2、A3時(shí)，A1可以與A2、A3作2條線段(A1A2、A1A3)；A2可以與A1、A3作2條線段(A2A1、A2A3)；、A3可以與A1、A2作2條線段(A3A1、A3A2)，線段A1A2與線段A2A1(線段A1A3與線段A3A1，線段A2A3與線段A3A2)是同一條線段，故3個(gè)點(diǎn)時(shí)，有(3×2)/2=3條線段。

(3)當(dāng)直線l上有n個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn))時(shí)，每一點(diǎn)都可以與其他(n-1)個(gè)點(diǎn)作一條線段，共有n個(gè)點(diǎn)，可作n(n-1)條，其中線段A1A2與線段A2A1(其他同理)是同一條線段，故可得共有n(n-1)/2條線段。

點(diǎn)評(píng):得出n(n-1)/2這一結(jié)果，是由問題中連接兩點(diǎn)可得一條線段的規(guī)律歸納得出，故可作為一個(gè)模型應(yīng)用于有類似規(guī)律的問題。

1.1在幾何計(jì)數(shù)問題中的應(yīng)用

n(n-1)/2應(yīng)用到平面幾何教學(xué)圖形計(jì)數(shù)問題中，可以對(duì)平面幾何圖形中的線段、角、直線的交點(diǎn)、對(duì)角線等進(jìn)行計(jì)數(shù)。

例2:平面上若有n條直線兩兩相交，則交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多有多少個(gè)？

妙解：n條直線相當(dāng)于n個(gè)點(diǎn)，每兩條直線相交可看作連接兩點(diǎn)間的一條線段，這樣只要算出線段的條數(shù)即可，故答案為n(n-1)/2。

圖2

例3：過平面內(nèi)任意不共線的n點(diǎn)(n為大于1的整數(shù))，最多可畫多少條直線？

妙解：因?yàn)椤皟牲c(diǎn)確定一條直線”類同于連接兩點(diǎn)有一條線段，所以答案為n(n-1)/2。

例4：如圖2所示，從O點(diǎn)出發(fā)引n條射線OA1、OA2、OA3…… OAn，且∠A1OAn<180°，求圖中共有多少個(gè)小于180°的角？

妙解：兩條射線構(gòu)成一個(gè)角，類同于連接兩點(diǎn)有一條線段，所以答案為n(n-1)/2。

點(diǎn)評(píng)：以上各題均為幾何中的計(jì)數(shù)問題，各有多種解題思路，但當(dāng)我們理解為只含兩個(gè)元素的初始狀態(tài)，便可應(yīng)用n(n-1)/2這一結(jié)果，達(dá)到了“舉一反三”、“觸類旁通”的效果。

1.2在非幾何計(jì)數(shù)問題中的應(yīng)用

解決此類問題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題抽象轉(zhuǎn)化為平面圖形的具體計(jì)數(shù)問題，再進(jìn)行研究。

例5:握手是社交中常用的禮儀，兩人握手算一次，現(xiàn)有某次聚會(huì)，參加者有25人，問他們一共握手多少次？

妙解：解決這個(gè)問題，我們可將每個(gè)人看作一個(gè)點(diǎn)，兩人握手一次，可看作連接一條線段，所以可求得共握手25×(25-1)/2=300次。

例6:求7個(gè)球隊(duì)參加單循環(huán)比賽時(shí)總的比賽場數(shù)。

妙解：可用平面上不同的7點(diǎn)表示球隊(duì)，兩隊(duì)之間比賽一場，即可用連接這兩點(diǎn)的線段來表示，故可求得總的比賽場數(shù)是：

7×(7-1)/2=21

點(diǎn)評(píng):上述兩例具有共性：從n個(gè)不同元素中任取兩個(gè)構(gòu)成一個(gè)組合(握手、比賽等)，求組合的個(gè)數(shù)。因此盡管問題情景不同，卻都可以應(yīng)用n(n-1)/2這一結(jié)果。

1.3拓展練習(xí)

(1)公園里準(zhǔn)備修5條直的通道，在通道的交叉路口處設(shè)一個(gè)報(bào)亭，這樣的報(bào)亭最多可設(shè)()個(gè)

A、9個(gè)B、10個(gè)C、11個(gè)D12個(gè)

(2)往返于甲、乙兩地的客車，中途停靠三個(gè)站點(diǎn)①問有多少種不同的票價(jià)？②準(zhǔn)備多少種車票？

(3)兩條直線相交成2對(duì)對(duì)頂角，三條直線相交成6對(duì)對(duì)頂角，猜想n條直線相交會(huì)成多少對(duì)對(duì)頂角？

(4)某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了2070張，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意列出方程為()

A.x(x-1)=2070 B.x(x+1)=2070

C.2x(x+1)=2070 D.x(x-1)/2=2070

2時(shí)鐘夾角公式

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，與時(shí)針和分針相關(guān)的數(shù)學(xué)問題經(jīng)常出現(xiàn)，主要有計(jì)算某一時(shí)刻兩針夾角度數(shù)，時(shí)針和分針何時(shí)重合，何時(shí)成一條直線，以及何時(shí)垂直等，因其計(jì)算方法很多，一直困擾著很多教師的教學(xué)，學(xué)生計(jì)算起來也比較難，其實(shí)這些問題最終可歸結(jié)為時(shí)針和分針的夾角問題。

問題：求m點(diǎn)n分時(shí)，時(shí)針和分針夾角的度數(shù)。(時(shí)間格式為12小時(shí)制)

分析推導(dǎo)：我們把0：00這一時(shí)刻作為時(shí)針和分針的起點(diǎn)，因?yàn)榇藭r(shí)兩針夾角為0°。把m點(diǎn)n分這一時(shí)刻作為終點(diǎn)，在這段時(shí)間里，時(shí)針經(jīng)過了(m+ n/60)小時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度為(m+ n/60)×30°=m×30°+n× 0.5°，分針經(jīng)過了n分鐘，旋轉(zhuǎn)的角度為6°n 。由于初中階段研究的角都是小于平角的角，通過觀察鐘表我們很容易得到下面的計(jì)算公式：

按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩針?biāo)傻慕切∮谄浇菚r(shí)。

(1)當(dāng)時(shí)針在前，分針在后時(shí)，兩針夾角為時(shí)針從起點(diǎn)開始旋轉(zhuǎn)的度數(shù)減去分針從起點(diǎn)轉(zhuǎn)過的度數(shù)，即：

(m×30°+n× 0．5°)-6°n=m×30°-5.5°n。

(2)當(dāng)時(shí)針在后，分針在前時(shí)，兩針夾角為分針從起點(diǎn)開始旋轉(zhuǎn)的度數(shù)減去時(shí)針從起點(diǎn)開始旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，即：

6°n-(m×30°+n× 0．5°)=5.5°n-m×30°。

兩種情況可統(tǒng)一為：m點(diǎn)n分時(shí)，兩針夾角的度數(shù):

α=|m×30°-5.5°n|

(1)

按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩針?biāo)傻慕谴笥谄浇菚r(shí)。

(1)當(dāng)時(shí)針在前，分針在后時(shí)，兩針夾角為時(shí)針從起點(diǎn)開始旋轉(zhuǎn)的度數(shù)減去分針從起點(diǎn)轉(zhuǎn)過的度數(shù)，即：

360°-[(m×30°+n× 0．5°)-6°n]=360°-(m×30°-5.5°n)。

(2)當(dāng)時(shí)針在后，分針在前時(shí)，兩針夾角為分針從起點(diǎn)開始旋轉(zhuǎn)的度數(shù)減去時(shí)針從起點(diǎn)開始旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，即：

360°-[6°n-(m×30°+n× 0．5°)]=360°-(5.5°n-m×30°)。

兩種情況可統(tǒng)一為：m點(diǎn)n分時(shí)，兩針夾角的度數(shù)

α=360°-|m×30°-5.5°n|

(2)

應(yīng)用公式(1)、(2)時(shí)無須再考慮時(shí)針和分針哪個(gè)在前哪個(gè)在后，但是要注意兩針的夾角是否大于平角。下面結(jié)合具體例題談?wù)劰降膽?yīng)用

2.1計(jì)算某一具體時(shí)刻兩針夾角的度數(shù)

例1:上午9點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)鐘的時(shí)針與分針的夾角是多少度？

妙解：由上述公式可知m=9，n=30，由時(shí)鐘夾角公式(Ⅰ)可得:

α=|9×30°-5.5°×30|=105°，

所以，時(shí)鐘的時(shí)針和分針的夾角為105°

例2:下午1時(shí)33分，時(shí)鐘的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角度數(shù)為多少？

妙解：由上述公式可知m=1，n=33，由時(shí)鐘夾角公式(Ⅰ)可得:

α=|1×30°-5.5°×33|=151.5°，

所以，時(shí)鐘的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角度數(shù)為151.5°

例3:當(dāng)時(shí)間是2點(diǎn)50分時(shí)，時(shí)鐘的時(shí)針和分針?biāo)傻匿J角度數(shù)為多少？

妙解：由上述公式可知m=2，n=50，由時(shí)鐘夾角公式(Ⅰ)可得:

α=|2×30°-5.5°×50|=215°，顯然不合要求，

所以，由時(shí)鐘夾角公式(Ⅱ)可得:α=360°-|2×30°-5.5°×50|=145°。

所以，時(shí)鐘的時(shí)針和分針的夾角為145°

2.2根據(jù)時(shí)針和分針的夾角求具體時(shí)刻

(1)求時(shí)針和分針重合的時(shí)間

例4:時(shí)針與分針在4時(shí)幾分重合？

妙解：∵時(shí)針與分針重合時(shí)，其角度差為0°

∴當(dāng)m=4時(shí)，由時(shí)鐘夾角公式(Ⅰ)，得

|4×30°-5.5°n|=0°，

(2)求時(shí)針、分針互相成一直線的時(shí)間

例5:8點(diǎn)幾分，時(shí)針與分針可成一條直線？

妙解：∵時(shí)針與分針成一條直線時(shí)，其夾角為180°

∴當(dāng)m=8時(shí)，由時(shí)鐘夾角公式(Ⅰ)，得

|8×30°-5.5°n|=180°(0≤n<60)，

⑶求時(shí)針、分針互相垂直的時(shí)間

例6:1點(diǎn)幾分時(shí)，時(shí)針和分針互相垂直？

妙解：時(shí)針和分針互相垂直時(shí)，應(yīng)分兩種情況：

①按順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，兩針的夾角小于平角，即成90°。

②按順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，兩針的夾角小于平角，即成270°。

∴|m×30°-5.5°n|=90°或|m×30°-5.5°n|=270°(0≤n<60)

點(diǎn)評(píng):這部分簡易的應(yīng)用題實(shí)質(zhì)上是行程問題，如果我們利用時(shí)針和分針夾角的計(jì)算公式就會(huì)大大減少分析問題過程中帶來的麻煩，達(dá)到事半功倍的效果。

總之，無論是在解決兩個(gè)因素決定一個(gè)圖形或組合(握手、比賽等)的計(jì)數(shù)問題中，還是在解決時(shí)鐘夾角問題時(shí)，如果能給學(xué)生展示其規(guī)律性，并能總結(jié)成適合學(xué)生自己的公式，那么解決這一類問題就會(huì)由“難”到易，更加簡單

〔參考文獻(xiàn)〕

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[4]朱勤，巧解鐘表問題——計(jì)算分針與時(shí)針夾角的度數(shù)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2009,(2)：35-36.

The Application of the Formula of Count n(n-1)/2 and Clock Angle

|m×30°-5.5°n| in Solving Middle School Mathematics Problem

XU Xi-mei

(The Second Middle School of Darhan Muminggan Joint Banner,Baotou 014500)

Abstract:The article solves the counting problem that two elements determine one graphic or combination(handclasp,concours and so on) and the mathematical problem about the angle between the hour hand and minute hand through the application of the formula of count n(n-1)/2 and clock angle |m×30°-5.5°n|.

Key words:n(n-1)/2;counting problem;|m×30°-5.5°n|;time;angle

中圖分類號(hào)：O122.2

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-1869(2015)01-0092-04

作者簡介：徐喜梅(1977-)，女，內(nèi)蒙古包頭達(dá)茂旗人，中教一級(jí)教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。

收稿日期：2014-09-24