一秩冪零算子的等價條件

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一秩冪零算子的等價條件

張喆1,胡 海 禎2

(1.包頭市北方重工第三中學(xué), 內(nèi)蒙古 包頭 014030；2.包頭市蒙古族中學(xué), 內(nèi)蒙古 包頭 014030)

摘要：為進(jìn)一步完善關(guān)于冪零算子的研究，本文給出階數(shù)為一的冪零算子的等價條件，并給于證明.

關(guān)鍵詞：Banach空間；冪零算子 ；矩陣表示

Bonsall and Rosenthal提出了冪零算子的模型問題, 許多學(xué)者在冪零算子方面進(jìn)行了研究[1 - 2].本文主要研究階數(shù)為一的冪零算子的等價條件.

用F表示實數(shù)域R或復(fù)數(shù)域C,F*=F{0}.設(shè)X是F上無限維的Banach空間.B(X)表示X上全體有界線性算子組成的算子代數(shù).用Nk(X)及N(X)分別表示B(X)中所有階數(shù)不超過k的冪零元的集合及所有冪零元的集合.對任意非零的x∈X,f∈X*,則由y|→x定義的算子是一秩的,通常記為x?f,并且B(X)中的每個一秩算子都可以寫成這種形式.

定理設(shè)k≥3是一正整數(shù)，X為維數(shù)大于等于3的有限或無限維Banach空間,令N∈Nk(X)是一非零算子,則下列條件等價

(a)N∈N1(X)

(b) 對任意的A∈Nk(X),A+N?Nk(X)蘊(yùn)涵A+2N?Nk(X).

證明："(a)?(b)" 設(shè)0≠N=x?f∈N1(X),Ak=0但(A+N)k≠0.如果A+N?N(X),則由[3,Lemma2.1]([4]中引理6.4.1),我們有A+2N?N(X),故(b)成立.因此下面可要求A+N∈N(X).取y∈X使得(A+N)ky≠0.容易看出,V=span{x,Ax,…,Ak-1x,y,Ay,…,Ak-1y}是A和N的公共不變子空間.令r為使得Arx=0的最小正整數(shù).在V中取一組基{x,Ax,…,Ar-1x,e1,e2,…,em},則關(guān)于空間分解V=span{x,Ax,…,Ar-1x}⊕{e1,e2,…,em},A|V和N|V有矩陣表示

其中

由A+N∈Nk(X)可知a1=a2=…=ar-1=0.從而對每個正整數(shù)i≥0都有N|V(A|V)iN|V=0.進(jìn)而,對任意的非零數(shù)α,我們有

(A|V+αN|V)k=α[N|V(A|V)k-1+A|VN|V(A|V)k-2+…+(A|V)k-1N|V]=α(A|V+N|V)k

所以(A|V+αN|V)ky=α(A|V+N|V)ky≠0,即(b)成立.

"(b)?(a)" 用反證法證明.假設(shè)(b)成立,但N∈Nk(X)不是一秩的.即rankN≥2,且對任意的A∈Nk(X),A+N?Nk(X),蘊(yùn)涵A+2N?Nk(X).

首先討論N2≠0,k≥4的情形.此時一定存在2

顯然A∈Nk(X),A+N?Nk(X)但A+2N∈Nk(X),矛盾.

當(dāng)前一種情況發(fā)生時,我們令N的左上角6×6的矩陣塊為N0,它所對應(yīng)的X的子空間V0是N的不變子空間,即

〔參考文獻(xiàn)〕

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[4]HouJ.C,CuiJ.IntroductiontolinearMapsonOperatorAlgebras[M].Beijing:SciencePress,2002.

The Equivalent Conditions of Rank one Nilpotent Operator

ZHANG Zhe1,HU Hai-zhen2

(1.Baotou North Hervy Industries No.3 Middle School, Baotou 014030

2.Baotou Mongolia National Middle School, Baotou 014030)

Abstract:For further improving the study of a nilpotent operator, this paper gives the order equivalent conditions of a nilpotent operator, and give the proof.

Key words:Banach space,；niloptent operator；matrix representation

中圖分類號：O177

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1004-1869(2015)01-0020-03

作者簡介：張喆(1978-)，內(nèi)蒙古興安盟人，研究方向：高中數(shù)學(xué)教育。

收稿日期：2014-11-04