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    鐘表上的數(shù)學(xué)問(wèn)題

    2016-03-18 12:39:15張金英
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版) 2016年1期
    關(guān)鍵詞:小格時(shí)針分針

    張金英

    北師大版七年級(jí)上冊(cè)第四章《基本平面圖形》學(xué)習(xí)了角的概念以及角的形成后,出現(xiàn)了有關(guān)鐘表上時(shí)針和分針的夾角問(wèn)題,同學(xué)們?cè)诮鉀Q此類(lèi)問(wèn)題時(shí),出現(xiàn)了一定的困難.在學(xué)習(xí)了第五章《一元一次方程》列一元一次方程解決行程問(wèn)題中的追及問(wèn)題后,把這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái),問(wèn)題就容易解決多了.下面和大家一起探討一下這方面的問(wèn)題.

    1求某一時(shí)刻鐘表上時(shí)針和分針的夾角

    我們知道,鐘表一周被分成60個(gè)小格,每個(gè)小格對(duì)應(yīng)的角度為36060°=6°,分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)1小格,即分針每分鐘轉(zhuǎn)6°.時(shí)針1小時(shí)轉(zhuǎn)6個(gè)格,即時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°.把12點(diǎn)(0點(diǎn))線(xiàn)看做是起始線(xiàn),把某一時(shí)刻的分鐘數(shù)乘以6°就可以得到分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度,得出分針與起始線(xiàn)的夾角,簡(jiǎn)稱(chēng)分針角,定出分針的位置.同樣,把某一時(shí)刻的時(shí)間看做時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的小時(shí)數(shù)(分針轉(zhuǎn)化為小時(shí)),小時(shí)數(shù)乘以30°,就可以得到時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)的角度,得出時(shí)針與起始線(xiàn)的夾角,簡(jiǎn)稱(chēng)時(shí)針角,定出時(shí)針的位置.這時(shí),再計(jì)算分針角與時(shí)針角的差(較大的角減去較小的角),就可以得到分針與時(shí)針的夾角.此方法好處在于省去了畫(huà)鐘表確定時(shí)針和分針位置的步驟,易于理解,計(jì)算簡(jiǎn)便,符合七年級(jí)學(xué)生的學(xué)情.

    例1求7點(diǎn)22分時(shí),時(shí)針與分針的夾角

    解先求分針角22×6°=132°,再求時(shí)針角把7點(diǎn)22分轉(zhuǎn)化為72260小時(shí),72260×30°=221°,221-132=79°,所以7點(diǎn)22分時(shí),時(shí)針與分針的夾角是79°.

    說(shuō)明分針與時(shí)針的夾角是指小于或等于平角,所以當(dāng)時(shí)針角與分針角的差大于180°時(shí),可以用360°減去它們的差,就得到分針與時(shí)針的夾角.

    例2求2點(diǎn)52分時(shí),分針與時(shí)針的夾角

    解分針角52×6°=312°,時(shí)針角25260×30°=86°312°-86°=226°,

    226°﹥180°,那么,2點(diǎn)52分時(shí),分針與時(shí)針的夾角就是360°-226°=134.

    2知道分針與時(shí)針的夾角,求時(shí)間

    鐘表上,分針和時(shí)針是同方向轉(zhuǎn)動(dòng)的,分針轉(zhuǎn)速快,每小時(shí)轉(zhuǎn)360°,時(shí)針轉(zhuǎn)速慢,每小時(shí)轉(zhuǎn)30°,鐘表上分針和時(shí)針的轉(zhuǎn)動(dòng)就形成了數(shù)學(xué)上的追及問(wèn)題.

    例3經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間分針與時(shí)針重合一次?

    分析分針與時(shí)針重合一次指的是,它們從同一個(gè)位置同時(shí)出發(fā),經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間,分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)一圈(360°).

    解設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)分針和時(shí)針重合一次,

    根據(jù)題意得360x-60×=360,

    解得x=1211.

    答:經(jīng)過(guò)1211小時(shí)分針比時(shí)針重合一次.

    例4在2~3之間,何時(shí)分針與時(shí)針的夾角為27°?

    分析2點(diǎn)時(shí),分針指向12,時(shí)針指向2,此時(shí)分針與時(shí)針的夾角為60°.若分針與時(shí)針的夾角為27°,27°<60°,分兩種情況:時(shí)針在前27°時(shí)和分針在前27°時(shí).

    解設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)分針與時(shí)針的夾角為27°.

    1)當(dāng)時(shí)針在前27°時(shí),由題意得

    30x+60=360x+27,

    解得x=110,

    110小時(shí)=6分鐘.

    2)當(dāng)分針在前27°時(shí),由題意得

    30x+60=360x-27,

    解得x=29110,

    29110小時(shí)=15911分鐘.

    答:在2點(diǎn)6分或2點(diǎn)15911分時(shí)分針與時(shí)針的夾角為27°.

    例5在1~2之間,何時(shí)分針與時(shí)針的夾角為90°?

    分析1點(diǎn)時(shí),分針指向12,時(shí)針指向1,此時(shí)分針與時(shí)針的夾角為30°.若分針與時(shí)針的夾角為90°,90°>30°,分兩種情況:分針在時(shí)針前90°時(shí)或分針在時(shí)針前270°.

    解設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)分針與時(shí)針的夾角為90°.

    1)當(dāng)分針在時(shí)針前90°時(shí),由題意得

    30x+30=360x-90,

    解得x=411,

    411小時(shí)=21911分鐘.

    2)當(dāng)分針在時(shí)針前270°,

    由題意得

    30x+30=360x-270,

    解得x=1011,

    1011小時(shí)=54611分鐘.

    答:在1點(diǎn)21911分或1點(diǎn)54611分時(shí)分針與時(shí)針的夾角為90°.

    點(diǎn)評(píng)解決知道夾角求時(shí)間的問(wèn)題,一般是先求出時(shí)針和分針的起始的夾角,分清所求時(shí)間的夾角與起始夾角的大小關(guān)系,當(dāng)起始夾角大于所求時(shí)間的夾角時(shí),分時(shí)針在前時(shí)和分針在前時(shí)兩種情況列方程;當(dāng)起始夾角小于所求時(shí)間的夾角時(shí),分針在時(shí)針前α°時(shí)或分針在時(shí)針前(360°-α°)兩種情況列方程.

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