格中粗糙集的若干性質

周　欣，　趙　彬

(陜西師范大學　數學與信息科學學院，　陜西　西安　710119)

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格中粗糙集的若干性質

周欣，趙彬*

(陜西師范大學數學與信息科學學院，陜西西安710119)

摘要：利用粗糙集的理論方法,對格的粗糙集和S-模糊粗糙集的一些性質進行研究。證明了上近似算子在分配格的理想(濾子)之集上的不動點之集關于包含序構成一個凝聚的Frame,給出了下近似算子在有限格的理想(濾子)之集上不動點的刻畫。最后,研究了格的S-模糊粗糙子格(理想、濾子)的一些性質。

關鍵詞:粗糙集;S-模糊粗糙集;上(下)近似算子;理想;濾子;不動點

MRsubjectclassification:06B35

粗糙集理論是由Pawlak[1]首次提出的，旨在解決信息系統(tǒng)中的不確定性問題。事實證明,粗糙集理論在人工智能、數據分析和認知科學中非常重要。隨著粗糙集理論的發(fā)展,許多學者開始考慮將粗糙集理論及其研究方法應用到多種代數結構的研究中[2-5]。Biswas和Nanda首次引入粗子群的概念后[6],Kuroki定義了半群的粗糙理想并關于半群的同余給出了上、下近似集的一些性質[7]。接著,Davvaz將粗糙集理論與環(huán)論結合起來,給出了關于一個環(huán)理想的粗糙理想和粗糙子環(huán)的概念[8]。另外,Davvaz等人又相繼研究了模[9]、超結構[10]和MV-代數[11]上粗糙集的性質。文獻[12-13]將粗糙集理論與格論聯系起來,其中文獻[12]給出了格的上、下粗糙理想(濾子)的定義并研究了它們的一些性質,文獻[13]研究了格的粗糙模糊集。本文在文獻[12]的基礎上進一步研究格中粗糙集的性質,證明上近似算子在分配格的理想(濾子)集上的不動點之集關于包含序構成一個凝聚的Frame,并給出下近似算子在有限格的理想(濾子)之集上不動點的刻畫。最后,本文結合文獻[14]提出的模糊粗糙集的定義和文獻[8]的研究方法,研究格的S-模糊粗糙集。

1預備知識

本節(jié)給出格論與粗糙集理論的一些基本概念與結論,未提及的概念和結論請參閱文獻[15]。

設L是非空偏序集,若?a、b∈L，a∨b與a∧b都存在,則稱(L,≤)為格。設M是格L的非空子集,若a、b∈M?a∨b∈M且a∧b∈M,則稱M是L的子格。

設θ是格L上的等價關系。如果θ與L的有限交和有限并相容，即?(a,b)、(c,d)∈θ?(a∨c,b∨d)、(a∧c,b∧d)∈θ,則稱θ是L上的同余關系。用[a]θ標記a的θ-同余類，用Con(L)標記格L上的同余之集。

定義1[12]設θ是格L上的同余。若?a、b∈L,[a∨b]θ={x∨y:x∈[a]θ,y∈[b]θ},則稱θ是∨-完備的。類似地，如果?a、b∈L,[a∧b]θ={x∧y:x∈[a]θ,y∈[b]θ}，則稱θ是∧-完備的。

命題1[1]設θ是非空集合X上的等價關系，則?A、B?X，

(4)θ(A∩B)=θ(A)∩θ(B);

2上、下近似算子的不動點

本節(jié)在文獻[12]的基礎上進一步研究上、下近似算子在格的理想(濾子)集上的不動點集的性質。

命題2[12]設θ是格L上的同余,則下列結論成立:

(2)設I和J是L的理想,則

(4)設θ是L上的∧-完備同余,I?L且θ(I)≠?。若I∈Id(L)，則θ(I)∈Id(L)。若I是L的素理想,則θ(I)是L的素理想。

命題3設I和J是L的子集,

(1)若θ(I)=I,則θ(I∩θ(J))=I∩θ(J);

(2)若F1、F2∈Filt(L)，則

證明由命題1和2容易驗證。

命題4Iθ(L)(Fθ(L))對Id(L)(Filt(L))的任意非空并封閉。

引理2在格L上,下列結論成立：

證明證明過程與文獻[12]中引理3.17、命題3.18和3.20的證明類似。

命題6設L有限格且θ是L上的同余，則下列結論成立：

(1)若θ是∨-完備同余，則

Iθ(L)={↓∨[x]θ:x∈L};

(2)若θ是∧-完備同余，則

Fθ(L)={↑∧[x]θ:x∈L}。

反過來，?x∈L，顯然有↓∨[x]θ∈Id(L)且θ(↓∨[x]θ)?↓∨[x]θ。?a∈↓∨[x]θ,b∈[a]θ，因為(a,b)∈θ且a≤∨[x]θ，所以

(∨[x]θ,b∨(∨[x]θ))=

(a∨(∨[x]θ),b∨(∨[x]θ))∈θ，

從而b∨(∨[x]θ)∈[∨[x]θ]θ=[x]θ，因此∨[x]θ≤b∨(∨[x]θ)≤∨[x]θ，故b∨(∨[x]θ)=∨[x]θ。由此可得b≤∨[x]θ，即b∈↓∨[x]θ。由b的任意性知[a]θ?↓∨[x]θ，所以a∈θ(↓∨[x]θ)。又由a的任意性知↓∨[x]θ?θ(↓∨[x]θ)。因此，↓∨[x]θ=θ(↓∨[x]θ),即↓∨[x]θ∈Iθ(L)。由x的任意性知{↓∨[x]θ:x∈L}?Iθ(L)。因此，Iθ(L)={↓∨[x]θ:x∈L}。

上述命題說明，若L是有限格且θ是L上的∨-完備同余(∧-完備同余)，則下近似算子θ在Id(L)(Filt(L))上的不動點恰是↓∨[x]θ(↑∧[x]θ),x∈L。下面給出例子來說明命題6的逆命題一般不成立。

圖1　L的哈塞圖Fig.1　Hasse　graph　of　L

3S-模糊粗糙理想和S-模糊粗糙濾子

本節(jié)給出S-模糊粗糙子格和S-模糊粗糙理想(濾子)的概念并研究它們的相關性質。

由文獻[13]知若L的模糊子集A滿足?x、y∈L，μA(x∧y)∧μA(x∨y)≥μA(x)∧μA(y),則稱A是L的模糊子格。如果模糊子集A滿足?x、y∈L，μA(x∨y)=μA(x)∧μA(y)，則稱A是L的模糊理想。如果模糊子集A滿足?x、y∈L,μA(x∧y)=μA(x)∧μA(y)，則稱A是L的模糊濾子。容易驗證模糊理想和模糊濾子一定是模糊子格。

Dubois和Prade在文獻[16]中將粗糙集模糊化并給出了模糊粗糙集的定義,而Nanda和Majumdar在文獻[14]中又引入并分析了另一種模糊粗糙集。為了區(qū)分這兩種模糊粗糙集的概念,稱文獻[14]中提出的模糊粗糙集為S-模糊粗糙集,并在本節(jié)重點研究格上S-模糊粗糙集的性質。

回顧文獻[14]引入的S-模糊粗糙集的概念。

(2)θ(C)=θ(A)θ(B)當且僅當?x∈θ(X),μθ(C)(x)=min{μθ(A)(x),μθ(B)(x)},且?。

參考文獻關于θ(A)=θ(B)和θ(A)θ(B)的定義可[14]。容易看出，θ(A)θ(B)和θ(A)θ(B)分別是S-模糊粗糙集θ(A)和θ(B)在粗糙集θ(X)的所有S-模糊粗糙集所組成集族中的下、上確界。

定義4[8]設D1=[a1,b1],D2=[a2,b2]是D([0,1])中的兩個元素。定義max(D1,D2)=[a1∨a2,b1∨b2],min(D1,D2)=[a1∧a2,b1∧b2]。若a1≤a2且b1≤b2，則稱D1≤D2。

下面給出S-模糊粗糙子格(理想、濾子)的定義。

則稱θ(A)是θ(X)上的一個S-模糊粗糙子格。

證明令θ(C)=θ(A)θ(B)，設x、y是中的任意兩元素。因為是L的子格，所以?，F證明(y)}。因為θ(A)和θ(B)是θ(X)的兩個S-模糊粗糙子格，

所以

因此，

min{μθ(A)(x),μθ(A)(y)}≤μθ(A)(x∨y)且

min{μθ(B)(x),μθ(B)(y)}≤μθ(B)(x∨y)。

因此，

min{μθ(C)(x),μθ(C)(y)}=

min{min{μθ(A)(x),μθ(B)(x)},

min{μθ(A)(y),μθ(B)(y)}}=

min{min{μθ(A)(x),μθ(A)(y)},

min{μθ(B)(x),μθ(B)(y)}}≤

min{μθ(A)(x∨y),μθ(B)(x∨y)}=

若x?θ(X)或y?θ(X),則

所以，

證明證明過程與命題7的證明類似。

At={x∈θ(X):μθ(A)(x)≥t},

綜上可知，

因此，θ(A)是θ(X)的S-模糊粗糙子格。

從而

現在給命題10舉一個例子。

例2設格L和L上的哈塞圖如例1中所示。

下面舉例說明注1。

則θ*(B)是θ*(X)的S-模糊粗糙集，且

因此，θ*(B)不是θ*(X)的S-模糊粗糙子格。

另一種情況可以類似地證明。

[1]PawlakZ.Roughsets[J].InternationalJournalofComputerandInformationSciences,1982,11:341-356.

[2]JunYB.RoughnessofΓ-subsemigroups/idealsinΓ-semigroups[J].BulletinoftheKoreanMathematicalSociety,2003,40(3):531-536.

[3]QiGL,LiuWR.RoughoperationsonBooleanalgebras[J].InformationSciences,2005,173:49-63.

[4]XiaoQM,ZhangZL.Roughprimeidealsandroughfuzzyprimeidealsinsemigroups[J].InformationSciences,2006,176:725-733.

[5]KazanciO,DavvazB.Onthestructureofroughprime(primary)idealsandroughfuzzyprime(primary)idealsincommutativerings[J].InformationSciences,2008,178:1343-1354.

[6]BiswasR,NandaS.Roughgroupsandroughsubgroups[J].BulletinofthePolishAcademyofSciencesMathematics,1994,42:251-254.

[7]KurokiN.Roughidealsinsemigroups[J].InformationSciences,1997,100:139-163.

[8]DavvazB.Roughnessinrings[J].InformationSciences,2004,164:147-163.

[9]DavvazB,MahdavipourM.Roughnessinmodules[J].InformationSciences,2006,176:3658-3674.

[10]DavvazB.Approximationsinhyperrings[J].JournalofMultiple-ValuedLogicandSoftComputing,2009,15:471-488.

[11]RasouliS,DavvazB.RoughnessinMV-algebras[J].InformationSciences,2010,180:737-747.

[12]EstajiAA,HooshmandaslMR,DavvazB.Roughsettheoryappliedtolatticetheory[J].InformationSciences,2012,200:108-122.

[13]EstajiAA,KhodaiiS,BahramiS.Onroughsetandfuzzysublattice[J].InformationSciences,2011,181:3981-3994.

[14]NandaS,MajumdarS.Fuzzyroughsets[J].FuzzySetsandSystems,1992,45:157-160.

[15]DaveyBA,PriestleyHA.Introductiontolatticesandorder[M].Cambridge:CambridgeUniversityPress,1990.

[16]DuboisD,PradeH.Roughfuzzysetsandfuzzyroughsets[J].InternationalJournalofGeneralSystems,1990,17(2/3):191-209.

〔責任編輯宋軼文〕

第一作者：李師，女，碩士研究生，研究方向為反應擴散方程理論及應用。E-mail:ashi2013@snnu.edu.cn

Somepropertiesofroughsetsinlattices

ZHOUXin,ZHAOBin*

(SchoolofMathematicsandInformationScience,ShaanxiNormalUniversity,

Xi′an710119,Shaanxi,China)

Abstract:RoughsettheoryisusedindiscussingsomepropertiesofroughsetsandS-fuzzyroughsetsinlattices.Itisprovedthatthesetofallfixedpointsunderanupperapproximationoperatoronthesetofallideals(filters)ofadistributivelatticeisacoherentframe.Acharacterizationforfixedpointsunderalowerapproximationoperatoronthesetofallideals(filters)ofafinitelatticeisgiven.FinallysomepropertiesofS-fuzzyroughsublattices(ideals,filters)ofalatticeareinvestigated.

Keywords:roughset;S-fuzzyroughset;upper(lower)approximationoperator;ideal;filter;fixedpoint

通信作者：*李艷玲，女，教授，博士。E-mail:yanlingl@snnu.edu.cn

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11271236);教育部高等學校博士學科點專項科研 (100807180004)

收稿日期：2014-07-22

doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2015.02.122

文章編號：1672-4291(2015)02-0008-07

中圖分類號：O153.1

文獻標志碼：A