姚洪興, 王 梅
(1 江蘇大學(xué) 財(cái)經(jīng)學(xué)院; 2 理學(xué)院, 江蘇 鎮(zhèn)江 212013 )
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動(dòng)態(tài)Bertrand模型的復(fù)雜現(xiàn)象與混沌控制
姚洪興1,王梅2
(1江蘇大學(xué)財(cái)經(jīng)學(xué)院;2理學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江212013)
摘要:建立了基于特定需求函數(shù)的Bertrand雙寡頭壟斷模型,分析了壟斷市場(chǎng)下生產(chǎn)同質(zhì)產(chǎn)品的企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)現(xiàn)象。應(yīng)用有限理性法和不完全信息法實(shí)現(xiàn)了競(jìng)爭(zhēng)模型由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的轉(zhuǎn)化過程。進(jìn)一步求解了動(dòng)態(tài)模型的價(jià)格均衡解,并分析了均衡點(diǎn)的穩(wěn)定狀態(tài)。針對(duì)模型中出現(xiàn)的復(fù)雜現(xiàn)象提出了不同的混沌控制法,實(shí)現(xiàn)了壟斷市場(chǎng)由混亂到穩(wěn)定的回歸。
關(guān)鍵詞:Bertrand模型;有限理性;不完全信息;分叉;混沌
MRsubjectclassification:91B26
Bertrand模型由法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家JosephLouisFrancoisBertrand提出,與Cournot模型中參加博弈的雙方僅以產(chǎn)量作為決策的變量相比,Bertrand模型中參加該博弈的雙方都以價(jià)格作為決策變量。這一改變使博弈的市場(chǎng)均衡完全不同于Cournot均衡。它是關(guān)于雙寡頭產(chǎn)品價(jià)格競(jìng)爭(zhēng)的一種模型,會(huì)導(dǎo)致每個(gè)企業(yè)的定價(jià)采用完全競(jìng)爭(zhēng)情況下的價(jià)格,即所謂的邊際成本定價(jià)法。近年來有限理性方法[1]和Puu的不完全信息法[2]也用于研究壟斷市場(chǎng)的兩個(gè)不同的框架。有限理性的企業(yè)是基于離散時(shí)間和利用邊際利潤(rùn)的局部估計(jì)來實(shí)現(xiàn)其生產(chǎn)策略。而所謂的Puu的不完全信息法,主要優(yōu)勢(shì)是其現(xiàn)實(shí)性,因?yàn)樵陬A(yù)測(cè)一個(gè)企業(yè)產(chǎn)量時(shí),其不需要知道利潤(rùn)函數(shù)在當(dāng)前時(shí)間步驟的具體形式,而只需知道利潤(rùn)和價(jià)格在過去兩個(gè)時(shí)間步驟的數(shù)值。為了更好地分析壟斷市場(chǎng)的企業(yè)競(jìng)爭(zhēng)狀況,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了多方面的研究。2008年閆安等將傳統(tǒng)的Bertrand模型進(jìn)行了修正,得到了兩階段情形下兩個(gè)企業(yè)同時(shí)博弈的耐用品動(dòng)態(tài)Bertrand模型[3]。2014年Ahmed等利用有限理性法和不完全信息法對(duì)Cournot模型進(jìn)行分析研究[4]。
大量研究著眼于靜態(tài)模型到動(dòng)態(tài)模型的轉(zhuǎn)化以及求解模型的均衡點(diǎn),但沒有針對(duì)系統(tǒng)出現(xiàn)的復(fù)雜混亂現(xiàn)象給出合理的控制方法。本文利用有限理性方法和Puu的不完全信息方法,將靜態(tài)的Bertrand模型[5]轉(zhuǎn)化為動(dòng)力系統(tǒng)[6],對(duì)動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行了數(shù)值模擬,并通過狀態(tài)反饋和參數(shù)調(diào)整法對(duì)出現(xiàn)的混沌現(xiàn)象加以控制,實(shí)現(xiàn)了壟斷市場(chǎng)由混亂到穩(wěn)定的回歸。
1模型的建立與分析
本文研究市場(chǎng)中只存在兩個(gè)企業(yè)的雙寡頭情形(假設(shè)企業(yè)間生產(chǎn)的是可替代但不相同的產(chǎn)品),為了便于分析,可將需求函數(shù)[7]定義為
(1)
可得:
q1=a-2p1+p2,q2=a-2p2+p1。
(2)
其中,pi是企業(yè)i的產(chǎn)品價(jià)格,qi是企業(yè)i的產(chǎn)量,參數(shù)a>0,i、j=1,2,邊際成本定義為線性函數(shù):
C(qi)=c,c>0。
(3)
定義利潤(rùn)函數(shù):
πi=(pi-c)qi,i=1,2。
(4)
有限理性方法使用一個(gè)基于局部評(píng)估調(diào)整機(jī)制的邊際利潤(rùn)[8-9],描述這個(gè)動(dòng)態(tài)調(diào)整機(jī)制的動(dòng)力系統(tǒng)如下:
(5)
各企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù):
(6)
因此,雙寡頭系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為如下動(dòng)力系統(tǒng):
(7)
系統(tǒng)有以下均衡點(diǎn):
(8)
當(dāng)a>c時(shí)(可保證平衡產(chǎn)量為正),固定點(diǎn)E1與E2被定義為一個(gè)壟斷平衡。為得到更多關(guān)于兩個(gè)壟斷點(diǎn)的信息,進(jìn)行如下分析與證明。
證明基于標(biāo)準(zhǔn)的特征值分析,點(diǎn)E0的Jacobian矩陣為
(9)
它的特征值為λ1=λ2=1+k(a-c)。顯然,當(dāng)a>c時(shí),兩個(gè)特征值都大于1,因此固定點(diǎn)E0為排斥節(jié)點(diǎn)。
點(diǎn)E1的Jacobian矩陣為
(10)
進(jìn)一步研究固定點(diǎn)E3的穩(wěn)定性,其Jacobian矩陣為
(11)
圖1為企業(yè)產(chǎn)量隨控制參數(shù)的變化圖,從中可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)a=4,c=0.5,k∈[0,0.9]時(shí),變量q1、q2隨著k值的變化出現(xiàn)分叉現(xiàn)象(其中橫坐標(biāo)代表k,縱坐標(biāo)代表q1、q2)。只有當(dāng)k<0.573時(shí),系統(tǒng)才處于局部穩(wěn)定狀態(tài)。
圖1 變量q1、q2隨k值變化的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram for the quantities q1and q2 with respect to the adjust speed k
采用Puu的不完全信息方法來研究Bertrand模型[10-11],此方法中企業(yè)產(chǎn)量可以表達(dá)為
(12)
(13)
(14)
證明(ⅰ)的證明同命題1,不再贅述。為了討論均衡點(diǎn)S1的局部穩(wěn)定性,給出了它的Jacobian矩陣,如下:
(15)
2混沌控制
(16)
當(dāng)參數(shù)a=4,c=0.5,k=0.8時(shí),加入控制參量前的系統(tǒng)處于混亂狀態(tài),但是對(duì)于加入線性控制后的系統(tǒng),當(dāng)λ>0.42時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。
從圖2可發(fā)現(xiàn),經(jīng)過控制的系統(tǒng)一開始處于混亂狀態(tài),但是隨著控制系數(shù)λ的增加,經(jīng)過一段時(shí)間后系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定。
(17)
穩(wěn)定變量λ的值為0.4,此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)分叉,在不同的控制方式下給定參量k不同的初值,得到不同的圖像,見圖2(k=0.8)和圖3(k=1.42)。對(duì)比圖2和圖3以及參數(shù)k的取值,發(fā)現(xiàn)圖2和圖3隨著參數(shù)λ的不斷變化,系統(tǒng)均逐漸由混亂趨于穩(wěn)定,不同在于圖3參數(shù)k的初值比圖2取值更大,即圖3系統(tǒng)是在比圖2系統(tǒng)更混亂的狀態(tài)下趨于穩(wěn)定。
圖2 線性控制下方程(16)中變量q1、q2隨λ值變化的混沌控制圖(k=0.8)Fig.2 Chaos control chart of the quantities q1 and q2in equation(16) with respect to the linear control factor λ
圖3 非線性控制下方程(17)中變量q1、q2隨λ值變化的混沌控制圖(k=1.42)Fig.3 Chaos control chart of the quantities q1 and q2in equation(17) with respect to the nonlinear control factor λ
對(duì)比兩種控制方法,控制參數(shù)k的給定值一樣(k=0.8),發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)不同,分別見圖2(線性控制)和圖4(非線性控制)。圖2的系統(tǒng)隨著參數(shù)λ的值不斷變化,系統(tǒng)逐漸從混亂趨于穩(wěn)定;而圖4的整個(gè)系統(tǒng)此時(shí)都是處于穩(wěn)定狀態(tài)。
圖4 非線性控制下方程(17)中變量 q1、q2隨著λ值變化的混沌控制圖(k=0.8)Fig.4 Chaos control chart of the quantities q1 and q2in equation(17) with respect to the nonlinear control factor λ
綜合上述兩種狀態(tài),認(rèn)為非線性反饋控制比線性反饋控制混亂控制更加有效。
以上兩種控制法是對(duì)系統(tǒng)的兩個(gè)方程同時(shí)進(jìn)行控制。針對(duì)第一種控制法,只對(duì)其中一個(gè)方程進(jìn)行控制,系統(tǒng)將滿足:
(18)
且同時(shí)滿足初值k=0.8,得到圖5。
圖5 不對(duì)稱控制下方程(18)中變量q1、q2隨λ值變化的混沌控制圖(k=0.8)Fig.5 Chaos control of the quantities q1 and q2 in equation(18)with respect to the asymmetric control factor λ
對(duì)比圖2和圖5,發(fā)現(xiàn)圖2比圖5更快地趨于穩(wěn)定,即對(duì)企業(yè)雙方都進(jìn)行控制比只對(duì)一方進(jìn)行控制能使市場(chǎng)更有效地趨于穩(wěn)定。
3結(jié)論
本文提出了兩種不同的重復(fù)Bertrand雙寡頭模型?;谀P椭械暮瘮?shù)和有關(guān)市場(chǎng)信息,企業(yè)可以通過做一些合適的計(jì)算做出合理的決策。特別地,研究了兩個(gè)不同的模型,在模型中兩個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同質(zhì)的產(chǎn)品,面臨著具有線性成本函數(shù)的非線性需求。通過使用有限理性方法和Puu的不完全信息方法來描述這兩個(gè)模型,從而使企業(yè)做出決策。在不完全信息方法下,企業(yè)通過過去兩次的生產(chǎn)量來決定未來的生產(chǎn)量,而在其他方法中未來的生產(chǎn)量取決于隨之增長(zhǎng)的利潤(rùn)方向?;谶@兩種方法,改進(jìn)了相應(yīng)的離散動(dòng)力系統(tǒng)被提升,使之包括了雙寡頭壟斷情況。另外,本文還通過數(shù)值模擬來驗(yàn)證系統(tǒng)的穩(wěn)定性,從數(shù)值模擬結(jié)果可推斷迅速調(diào)整產(chǎn)品價(jià)格,可能會(huì)導(dǎo)致市場(chǎng)結(jié)構(gòu)的混亂,同時(shí)也嘗試通過狀態(tài)反饋和參數(shù)調(diào)整法來穩(wěn)定混亂系統(tǒng),從而使產(chǎn)品的價(jià)格實(shí)現(xiàn)從混亂到穩(wěn)定的發(fā)展。
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〔責(zé)任編輯李博〕
第一作者:馬良財(cái),男,副教授,博士,研究方向?yàn)橛?jì)算材料學(xué)。E-mail:maliangcai@126.com
ThecomplexphenomenaandthechaoscontrolofBertrandmodel
YAOHongxing1,WANGMei2
(1SchoolofEconomic;2SchoolofScience,JiangsuUniversity,Zhenjiang212013,Jiangsu,China)
Abstract:Basedonthespecificdemandfunction,aduopolyBertrandmodelisestablished.Theenterprisecompetitionphenomenoninproducinghomogeneousproductsunderthemonopolymarketisanalyzed.Thecompetitionmodelistransformedfromstaticmedeltodynamicmodelbyboundedrationalityandincompleteinformationmethod.Undersuchcondition,thepriceequilibriumsolutionofthedynamicmodelandthesteadystateofequilibriumpointsareobtained.Theregressionofmonopolymarketfromchaostostableisachievedbydifferentchaoscontrolmethods.
Keywords:Bertrandmodel;boundedrationality;incompleteinformation;bifurcation;chaos
基金項(xiàng)目:寧夏自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(NZ14013)
收稿日期:2014-11-05
doi:10.15983/j.cnki.jsnu.2015.02.222
文章編號(hào):1672-4291(2015)02-0028-06
中圖分類號(hào):O211;F224.9;F270
文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A