微積分基本定理的教學(xué)探索

王秋寶 王凡梅

摘要：高等數(shù)學(xué)是大學(xué)本科一門重要的公共基礎(chǔ)課程，本文針對高等數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)況，結(jié)合作者自身的教學(xué)實踐以及課程本身的特點和教學(xué)目的，以微積分的基本定理的教學(xué)為例，探討對高等數(shù)學(xué)的教學(xué)方法的改革。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；微積分基本定理；教學(xué)方法

一、微積分的研究對象

談到微積分，很多教師會和學(xué)生交代其是牛頓和萊布尼茨所發(fā)明，其實只能說是二人完成了主要部分。早在笛卡爾引入了變數(shù)，運動也就進入數(shù)學(xué)，微分和積分也就立刻變成了必要。正如列寧在《談?wù)勣q證法問題》中指出：數(shù)學(xué)中的加號與減號，微分與積分，與力學(xué)中的作用與反作用，以及化學(xué)中原子的化合與分解是相同的。我在此文中繼承列寧的說法，高等數(shù)學(xué)中的微積分是研究微分與積分這對矛盾的學(xué)科。

二、高等數(shù)學(xué)的教學(xué)現(xiàn)況

我們現(xiàn)今的教學(xué)，由于課程科目多，所以很多課程要面臨縮減課時，進而就要精簡內(nèi)容，尤其是高等數(shù)學(xué)就不得不對很多定理只敘述，不證明推理。而對于教育的受體——學(xué)生，為了考試，也就疲于應(yīng)付，埋身于題海之中，苦不堪言。也正是因為這樣，使得很多大學(xué)生對高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生“恐懼”，從心理上拒絕，這樣就會影響到聽課效率，進而學(xué)習(xí)效率也會降低，而數(shù)學(xué)是注重邏輯的學(xué)科，前后知識環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生一次課跟不上，那就次次跟不上，導(dǎo)致最后放棄。

當(dāng)然，對于基礎(chǔ)的工具課程，熟練其計算方法勢必要有足夠練習(xí)作為保障，但是“磨刀不誤砍柴工”，在具體實施之前應(yīng)該對所要加工處理的對象有個整體的把握。對于一些定理，我們是可以根據(jù)學(xué)生專業(yè)特點對其證明過程做一些適當(dāng)?shù)纳釛?，以免學(xué)生產(chǎn)生畏懼，但是作為高校教師的我們一定要注意雖然證明可以舍棄，但是其定理的思想一定要交代清楚。不然，會使得學(xué)生僅僅掌握高等數(shù)學(xué)知識，而在數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高上收效甚微，考試時也只能是依葫蘆畫瓢，對于知識并沒有真正理解掌握。長此以往，學(xué)生會產(chǎn)生疑惑：“高等數(shù)學(xué)除了應(yīng)付考試還有何用？”

針對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教與學(xué)方面存在的種種不足以及高等數(shù)學(xué)本身的特點和教學(xué)目的，我以高等數(shù)學(xué)微積分中的基本定理為例，探討一下除了在教學(xué)上采用多媒體這些先進工具之外，更應(yīng)該去了解和學(xué)習(xí)的是對知識本身的深層挖掘以及理論聯(lián)系實踐的重要性。

三、微積分基本定理的教學(xué)

微分與積分的啟蒙思想可以追溯至上千年之前，直到牛頓和萊布尼茨給出并且證明了如下的微積分基本定理，才標(biāo)志著微積分的誕生。故而，這個基本定理也叫牛頓——萊布尼茨（Newton-Leibniz）公式。定理1：若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且存在原函數(shù)F（x），則f（x）在[a，b]上可積，且F（x）是f（x）的一個原函數(shù)，則

■f（x）dx=F（b）-F（a）

在講授這個定理時，教師經(jīng)常會把此式和定積分的計算放在一起，將其作為定積分計算的依據(jù)，使得定積分的計算有了一個完善、令人滿意的方法。而在其他方面再也不提及此定理。這是一個很大的誤導(dǎo)，會導(dǎo)致學(xué)生把這個定理認定是一個簡單的計算的理論依據(jù)而已，對其重要性會失去認識，更嚴重的是使得學(xué)生失去了解微積分本質(zhì)的機會。對于這個定理，我可以改寫成下面兩種等價的形式：定理2：若函數(shù)f（t）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且x是[a，b]內(nèi)的一個點，令

F（x）=■f（t）dt

則F（x）在[a，b]上可微，并且dF（x）=f（x）dx。

定理3：若函數(shù)F（x）在[a，b]上可微，且dF（x）=f（x）dx，那么

■f（t）dt=F（x）-F（a）

這兩種不同的表現(xiàn)形式反映整體性質(zhì)的積分和反映局部性質(zhì)的微分在某種意義下是相互決定著的，這是一對互逆的運算。這個定理之所以成為基本定理，是因為其是整個微積分的核心部分，也是聯(lián)系微分和積分的必不可少的橋梁。為了深刻認識其重要性，可以先回顧一下一元函數(shù)的微積分定義。

定義1：設(shè)函數(shù)f（x）在x0的一個鄰域內(nèi)有定義，若極限

■■

存在，則稱其為函數(shù)f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作■或f'（x0），即■■=■。而相應(yīng)的df（x0）稱為函數(shù)在x0處的微分。

定義2：設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上的一個有界函數(shù)，在[a，b]內(nèi)任取n-1個節(jié)點，a=x0

對于一元函數(shù)的定積分在幾何上可以理解為曲邊梯形的面積，就最簡單的冪函數(shù)而言。我們可以看到利用“分割、近似、求和、取極限”方法來求得積分都是極難的。更何況，采用不同的分割方法會得到不同的極限形式，即使就某一種你得到極限也無法證明其即為所求。但是，有了前面的基本定理，只要我們想到微分和積分是互為逆運算，那么求積分的問題僅僅就是尋求f（x）的一個原函數(shù)，這種做法繞開了剛才的難點，不會受到求極限或者不同分割方法的困擾。

在此之后，我們應(yīng)該對其物理上的意義在做些探討，對于一個函數(shù)，如果其表示物體直線運動的速度，那么其在區(qū)間[a，b]的定積分可以理解為物體從時刻a到b的路程。在多元函數(shù)微積分的基本定理中物理意義更是十分重要。為了說明這一點，我們先回憶下多元函數(shù)的微積分基本定理的幾個表現(xiàn)形式：格林定理、斯托克斯定理以及高斯定理。這三條定理在數(shù)學(xué)上表述的都是一個內(nèi)容：一個區(qū)域邊界上與其內(nèi)部積分的關(guān)系。南開大學(xué)的陳省身先生曾經(jīng)指出，對于這幾個公式，都可以歸結(jié)為外微分形式和積分之間的關(guān)系，即我們在一元函數(shù)微積分中提出的微分和積分，這里只不過是將微分發(fā)展為外微分，何為外微分可以參考文獻。我們可以據(jù)此將三個定理中的公式總結(jié)如下：

■■ω=■dω

這個公式告訴我們：外微分形式在一個區(qū)域上的積分等于比自身低一次的外微分形式在區(qū)域的邊界上的積分。也就是說，外微分與積分就和物理的正電和負電，化學(xué)的化合和分解一樣是互相抵消的。這個公式是微積分學(xué)的頂峰，是數(shù)學(xué)中美輪美奐的定理之一。當(dāng)然要陳述清楚這點，需要學(xué)生對外微分要有一個認識。按照很多大學(xué)課程的設(shè)置，在學(xué)生學(xué)習(xí)這幾個定理的同時，大學(xué)物理正好學(xué)到幾個重要的“度”：即梯度、旋度和散度。在我們的課程里可以將其和微積分基本定理聯(lián)系起來，對于函數(shù)f（x）這幾個度分別對應(yīng)著它的一次，二次和三次外微分形式。那么我們的那幾個基本定理也就有了它們的物理意義。借助于此學(xué)生也就會理解在教材里指出那幾個公式的物理意義是什么意思？還可以引導(dǎo)學(xué)生去思考為何沒有其他的微積分定理以及物理上為何沒有第四個“度”，這樣理論聯(lián)系實際學(xué)生學(xué)起來才會事半功倍，對數(shù)學(xué)才不會“望而生畏”。

四、小結(jié)

上面我以微積分基本定理為例來說明在教學(xué)方法的改革中，我們不應(yīng)該只注重整合教學(xué)大綱，使用多媒體教學(xué)工具，甚至利用網(wǎng)絡(luò)中微博、微信等建立網(wǎng)絡(luò)教學(xué)互助平臺等這些外在的內(nèi)容，更要加強在具體課堂教授中對知識本質(zhì)的把握，幫助學(xué)生盡快抓住其根源，達到學(xué)習(xí)時事半功倍的目的。

參考文獻：

1.《馬克思恩格斯選集》第3卷，人民出版社，1995年。

2.《毛澤東選集》第1卷，人民出版社，1991。

3.《列寧選集》第2卷，人民出版社，1995年。

4.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編，《高等數(shù)學(xué)（第六版）》[M]，高等教育出版社，2009。

【責(zé)編 張景賢】