問題解讀多解探索，方法總結(jié)應用拓展

［摘 要］ 多解探索是高中數(shù)學常用的教學方式，即引導學生從不同視角審視問題，探索解法，構(gòu)建思路. 教學中需要注意考點分析、過程引導、方法總結(jié)，并適度拓展. 文章以一道圓錐曲線問題為例，開展多解探索，并提一提教學建議，談一談思考.

［關(guān)鍵詞］ 圓錐曲線；多解；點差法；韋達定理

問題綜述

解題教學探究是提升學生解析問題能力的重要方式，教學中需要注意兩點：一是總結(jié)概括類型題的解法思路，實現(xiàn)“解一題，通類題”的效果；二是從不同視角，使用不同方法來探索多解問題.

在問題選取上，教師要慎重考慮. 問題選取不宜過難過偏，否則不僅對備考沒有幫助，還會打擊學生的學習信心. 問題選取建議圍繞高考考點實施，可選取高考真題或模擬考題，也可選取教材中的經(jīng)典例題或習題.

在問題探究中，建議教師分環(huán)節(jié)開展：環(huán)節(jié)1，引導學生分析問題，定位考點；環(huán)節(jié)2，過程引導，多維視角探究；環(huán)節(jié)3：解法探索，總結(jié)方法策略；環(huán)節(jié)4，教學探索，應用拓展.

問題解讀

問題 已知直線l與橢圓+=1在第一象限相交于A，B兩點，l與x軸、y軸分別相交于M，N兩點，且MA=NB，MN=2，則l的方程為______.

解讀 本題以直線與橢圓相交為背景設(shè)定條件，求解直線l的方程. 本題的核心條件有兩個：一是線段相等（MA=NB），二是線段的長（MN=2）. 教學中需要指導學生慎重處理這兩個核心條件，轉(zhuǎn)化或提取關(guān)鍵信息. 本題涉及直線、橢圓、點之間的位置關(guān)系，但沒有給定圖象，屬于復合型圓錐曲線問題，建議教學時先指導學生繪制相應的圖象，再從不同視角加以解讀分析.

根據(jù)題干條件可知，橢圓的焦點在x軸上，直線l與橢圓在第一象限相交于點A，B，同時直線l與x軸、y軸分別相交于點M，N. 若設(shè)AB的中點為E，則可據(jù)此繪制如圖1所示的圖象.

對于本題，可將其歸為直線與橢圓相交的弦長問題，解析兩者的關(guān)系是重點. 教學中可以引導學生采用如下兩種方法破解：一是點差法；二是常規(guī)的聯(lián)立方程法.

多解探索

指導學生對問題進行多解探索，可以設(shè)置多個教學環(huán)節(jié)：環(huán)節(jié)1，指導學生從不同視角審視問題，探索解法；環(huán)節(jié)2，構(gòu)建解題過程，呈現(xiàn)具體過程；環(huán)節(jié)3，解后反思，深度分析解法. 下面從兩大視角探索問題解法，構(gòu)建解題策略.

解法1：弦中點解析，點差法破解

引導學生審視直線l與橢圓的相交情形，從弦中點視角看待問題，可知AB是直線l與橢圓的相交弦，點E為其中點，則問題可歸為弦中點問題，因此采用點差法破解.

總體上分為兩個階段：第一，設(shè)點A，B的坐標，將點的坐標代入橢圓的方程，簡化求解斜率的條件；第二，轉(zhuǎn)化核心條件，求直線的特征參數(shù). 解題教學可采用分步構(gòu)建策略.

（1）過程構(gòu)建

解析過程構(gòu)建分三步，具體如下：

第一步，點差法推導斜率條件.

教學思考

開展問題多解探究，引導學生總結(jié)方法策略，是復習備考的重要教學策略. 上文圍繞一道圓錐曲線典型問題，從不同視角解析，總結(jié)了點差法和聯(lián)立方程法. 下面結(jié)合教學實踐談一談思考.

1. 審視整合問題，引導充分探究

圓錐曲線知識內(nèi)容具有兩大特性：一是代數(shù)特性，涉及直線、曲線的解析式變形轉(zhuǎn)化運算；二是幾何特性，即對應的圖象具有幾何特性. 在探究教學中，要將問題分析、知識內(nèi)容整合放在首位，引導學生把握問題特征、理清知識考點，然后在此基礎(chǔ)上聯(lián)系教材知識探索解法. 在多解探究教學中，要引導學生明晰解法，選取常用的、熟悉的且具有代表性的解法；要引導學生參與解題探究，互動交流，充分思考，感悟解法，體驗解題過程. 在此提出兩點建議：一是教師要充分了解學情，根據(jù)學生的情況來開展教學指導；二是鼓勵學生自主探究，促使學生發(fā)現(xiàn)問題特征、探索解題方法.

2. 多解方法總結(jié)，適度拓展探索

圓錐曲線作為高中數(shù)學的重難點內(nèi)容，其問題解法并不唯一，從不同視角審視問題可以獲得不同的求解思路. 因此，在解題教學中，引導學生探索解法時，教師要注意多解方法的概括總結(jié)，包括解法特性、思路構(gòu)建、解題過程，以及解法的適用范圍、常見問題等；引導學生拓展知識時，教師要注意精選問題，開拓學生的解題思維.

總之，采用多解探索的教學方式，在引導學生認清知識、理解問題、掌握解法的同時，通過“再創(chuàng)造”，促進學生解題能力的提升.