溯教材之源，探直觀想象培養(yǎng)

［摘 要］ 文章從2022年福建省質(zhì)檢的一道立體幾何題入手，探究試題的背景，分析學(xué)生存在的問題，反思教學(xué)過程中存在的不足，提出教學(xué)改進策略.

［關(guān)鍵詞］ 空間向量；立體幾何；直觀想象；課堂教學(xué)

2022年3月，福建省舉行了一次高三診斷性檢測，這是福建省使用《普通高中數(shù)學(xué)課程標準實驗教科書》的最后一屆. 在《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱新課標）的指導(dǎo)下，以立德樹人和學(xué)科核心素養(yǎng)為焦點的課程改革正在穩(wěn)步推進，命題理念也發(fā)生了變化. 筆者對2022年福建省高三診斷性檢測第19題進行了探究與反思，現(xiàn)結(jié)合“空間向量與立體幾何”的教學(xué)，與大家一起探討教學(xué)策略.

試題呈現(xiàn)

試題 如圖1所示，在三棱錐V-ABC中，△VAB和△ABC均是邊長為4的等邊三角形. P是棱VA上的點，VP=VA，過P的平面α與直線VC垂直，且平面α∩平面VAB=l.

（1）在圖中畫出l，寫出畫法并說明理由；

（2）若直線VC與平面ABC所成角的大小為，求過l及點C的平面與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

試題探源

題源1 （2019人教A版必修第二冊教材P170第8題）如圖2所示，一塊正方體形木料的上底面有一點E.若經(jīng)過點E在上底面上面一條直線與CE垂直，則應(yīng)該怎樣畫？［1］

題源2 （2019人教A版必修第二冊教材P144第12題）一木塊如圖3所示，點P在平面VAC內(nèi)，過點P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC，在木塊表面應(yīng)該怎樣畫線？［1］

題源3 （2019人教A版必修第二冊教材P164第18題）如圖4所示，在三棱錐V-ABC中，VA=VB=AB=AC=BC=2，VC=1，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值.［1］

試題的幾何模型取自題源1和題源3，第（1）問的作圖與題源2的本質(zhì)是一樣的，都是利用直線與平面垂直得到直線與直線垂直；第（2）問與題源3極其相似，差別在于題源3主要考查綜合幾何方法. 試題取材于新教材，符合新課改的課程理念.

解題思路

1. 第（1）問

思路1 如圖5所示，在△VAC內(nèi)過P作PM⊥VC，垂足為M，在△VBC內(nèi)過M作MN⊥VC交VB于N，連接PN，則直線PN即為直線l. 理由：因為PM⊥VC，MN⊥VC，PM∩MN=M，所以VC⊥平面PMN. 又平面PMN∩平面VAB=PN，所以直線PN即為直線l.

思路2 如圖6所示，在△VAB內(nèi)過P作PN∥AB，交VB于N，則直線PN即為直線l. 理由：取VC的中點Q，因為VA=VC，VB=BC，所以AQ⊥VC，BQ⊥VC，所以VC⊥平面ABQ. 因為VC⊥平面α，所以平面α∥平面ABQ. 因為平面α∩平面VAB=l，平面ABQ∩平面VAB=AB，所以AB∥l. 所以直線PN即為直線l.

2. 第（2）問

思路1 向量方法.

如圖7所示，取AB的中點D，連接VD，CD.因為△VAB和△ABC均為等邊三角形，所以AB⊥VD，AB⊥CD，所以AB⊥平面VCD，所以平面ABC⊥平面VCD.在△VCD中，作VO⊥CD，垂足為O，所以VO⊥平面ABC. 所以∠VCD是直線VC與平面ABC所成的角，故∠VCD=，所以△VCD為等邊三角形，O為CD的中點. 以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系，分別求出平面ABC與平面PCN的法向量即可求出兩平面所成的銳二面角的余弦值為.

思路2 綜合幾何方法.

如圖8所示，取AB的中點D，連接VD交PN于G，連接CG，CD. 因為△VAB和△ABC均為等邊三角形，所以AB⊥VD，AB⊥CD，所以AB⊥平面VCD，平面ABC⊥平面VCD.在△VCD中，作VO⊥CD，垂足為O，由面面垂直的性質(zhì)定理可得VO⊥平面ABC，所以∠VCD是直線VC與平面ABC所成的角，故∠VCD=，所以△VCD為等邊三角形.

由（1）知，過l及點C的平面為平面CPN，因為AB∥PN，所以AB∥平面CPN. 設(shè)平面CPN∩平面ABC=l′，由線面平行的性質(zhì)定理可得AB∥l′. 因為AB⊥平面VCD，所以AB⊥CG，AB⊥CD，所以CG⊥l′，CD⊥l′.所以∠GCD為平面CPN與平面ABC所成的銳二面角的平面角. 在△GCD中，由余弦定理得cos∠GCD==.所以過l及點C的平面與平面ABC所成的銳二面角的余弦值為.

失分原因

本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系，以及直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識；考查空間想象、邏輯推理、運算求解等基本能力；考查函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想；考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)；體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合性. 本題滿分12分，屬中檔題. 廈門市高三全體考生的均分只有2.1分，0分的占比很大. 第（1）問，很多學(xué)生不會作圖，部分學(xué)生畫出了直線l但不會說明理由；第（2）問，大部分學(xué)生用的是向量方法，但由于沒能準確建系或建系后沒能準確地寫出點的坐標，因此無法用向量方法解決空間角的問題. 學(xué)生的答題情況暴露出立體幾何教學(xué)所存在的問題. 教師方面：部分教師在立體幾何教學(xué)過程中，對基礎(chǔ)知識的講解常常以“灌輸”的方法為主，并依靠“題?！睉?zhàn)術(shù)來提升學(xué)生的基本技能. 學(xué)生方面：對基礎(chǔ)知識的掌握不扎實，思維僵化，方法使用模式化，直觀想象素養(yǎng)不高，識圖能力較弱，不善于利用空間圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題. 空間向量為解決立體幾何圖形中的位置關(guān)系與度量問題提供了一個有效方法，已成為高中生解決空間幾何問題的重要工具. 但無論使用的是向量方法還是綜合幾何方法，它們都有一個共同的使用前提，即直觀想象素養(yǎng)，所以本題得分低的主要原因就是學(xué)生缺失直觀想象素養(yǎng). 因此，在“空間向量與立體幾何”的教學(xué)中，教師應(yīng)該認真思考如何更好地培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

教學(xué)啟示

在“空間向量與立體幾何”的教學(xué)中，新課標指出：“應(yīng)重視以下兩個方面：第一，引導(dǎo)學(xué)生運用類比的方法，經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間的推廣過程，探索空間向量與平面向量的共性與差異，引發(fā)學(xué)生思考維數(shù)增加帶來的影響；第二，鼓勵學(xué)生靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方法，從不同角度解決立體幾何問題（如距離問題），通過對比體會向量方法的優(yōu)勢. ”［2］新課標對“空間向量與立體幾何”的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法進行了較為詳細的說明，下面筆者就如何在本章教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，與大家共同探討.

1. 加強類比教學(xué)，為學(xué)生創(chuàng)造更大的自主學(xué)習(xí)空間

在必修課程的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過平面向量的概念、運算、平面向量基本定理及坐標表示，并用向量方法研究了三角形的邊角關(guān)系，推導(dǎo)出余弦定理、正弦定理等重要公式. 向量是有大小又有方向的量，這一概念適用于平面向量，同樣也適用于空間向量. 平面上的向量可以看作空間中的向量，因此空間向量的概念、表示與平面向量沒有本質(zhì)區(qū)別. 由于空間中的兩個向量可以平移到同一個平面內(nèi)，所以空間中兩個向量的運算可以看成平面上兩個向量的運算，它們的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積運算也沒有本質(zhì)區(qū)別. 當(dāng)然，因為維數(shù)的不同，所以空間向量和平面向量也有差異. 在本章的教學(xué)活動中，教師要幫助學(xué)生通過類比平面向量的內(nèi)容、過程和方法來學(xué)習(xí)空間向量，并用它解決立體幾何問題；還要幫助學(xué)生自主學(xué)習(xí)空間向量，引導(dǎo)他們思考空間向量與平面向量的異同點，讓學(xué)生切身體驗維數(shù)的增加所帶來的影響，從而提升學(xué)生的空間想象力.

2. 加強向量方法的使用，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

由于學(xué)生在必修課程中已經(jīng)學(xué)過立體幾何，所以本章通過解決具體的立體幾何問題，來體現(xiàn)用向量方法解決立體幾何問題的優(yōu)勢，加強學(xué)生對向量方法的認識. 因此，本章的教學(xué)，特別是“空間向量的應(yīng)用”的教學(xué)，應(yīng)把具體的立體幾何問題作為學(xué)習(xí)向量方法的載體，通過解決立體幾何問題來加深學(xué)生對向量方法和立體幾何內(nèi)容的理解. 強化用向量方法來解決立體幾何問題體現(xiàn)了時代發(fā)展對數(shù)學(xué)課程改革的要求，但部分教師認為這會把立體幾何演化為“算的幾何”，從而削弱其培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的作用. 筆者認為，這種想法是錯誤的. 我們知道，完整的向量方法是：先用幾何眼光進行觀察，再用向量運算進行解決. 這里先要分析清楚面對的幾何問題的基本特征，以及幾何圖形的基本元素、基本關(guān)系，然后選擇適當(dāng)?shù)幕祝⒗眠x擇好的基底表示出相應(yīng)的幾何元素和基本關(guān)系，最后進行運算. 在“用幾何眼光進行觀察”的過程中，就需要空間想象、幾何直觀等能力. 例如，解決試題的第（2）問時，學(xué)生要想建立空間直角坐標系，就必須具備一定的空間想象能力，除了以O(shè)為原點建立空間直角坐標系外，還可以D為原點建立空間直角坐標系，學(xué)生通過計算比較，積累更多的建系經(jīng)驗. 教師可以利用各種不規(guī)則幾何體，引導(dǎo)學(xué)生探索不同的建系方法，從而培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng).

3. 加強信息技術(shù)的應(yīng)用，打破學(xué)生的空間思維壁壘

新課標的基本理念指出：“注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的時效性. ”［2］人教A版（2019）教科書，有多個地方出現(xiàn)了“信息技術(shù)與應(yīng)用”欄目，這些內(nèi)容都用GCeiZIR2JfG0CMFiJxcwAyw==eoGebra軟件動態(tài)呈現(xiàn)出來. 用“形”的直觀來呈現(xiàn)問題的各種信息，借“形”的直觀來理解抽象的“數(shù)”，以“形”的直觀產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系及事物本質(zhì)屬性的感知，幾何直觀有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解，尋找解決問題的思路. 例如，在表示試題中的點的坐標時，教師可以利用GeoGebra軟件的3D功能，轉(zhuǎn)換不同的視角，帶領(lǐng)學(xué)生一起探究該三棱錐各個頂點的坐標，從而實現(xiàn)三維問題“可視化”和“直觀化”，突破學(xué)生的思維壁壘，發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).

4. 注重試題的變式拓展，提升學(xué)生思維能力

數(shù)學(xué)教育家波利亞說過，“在你找到第一個蘑菇（或做出第一個發(fā)現(xiàn)）后，要環(huán)顧四周，因為它們總是成堆成長的”［3］. 在講完試題后，要對試題進行變式拓展和歸納總結(jié)，促使學(xué)生對試題的本質(zhì)認識提升到一個新的高度，從而提高學(xué)生解決問題的能力. 對于上述試題，可以提出相應(yīng)變式題：

變式題1：如圖1所示，在三棱錐V-ABC中，△VAB和△ABC均是邊長為4的等邊三角形. P是棱VA上的點，VP=VA，過P，B兩點的平面α與直線VC平行.

（1）在圖中畫出平面α與三棱錐V-ABC表面的交線，寫出畫法并說明理由；

（2）若直線VC與平面ABC所成角的大小為，求平面α與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.

變式題2：如圖1所示，在三棱錐V-ABC中，△VAB和△ABC均是邊長為4的等邊三角形. P是棱VA上的點，VP=VA，過P，B兩點的平面α與直線VC平行.

（1）在圖中畫出平面α與三棱錐V-ABC表面的交線，寫出畫法并說明理由；

（2）若直線VC與平面ABC所成角的大小為，求點C到平面α的距離.

也可以改編題源如下：（多選題）如圖9所示，在正方體ABCD-ABCD中，點E在平面ABCD內(nèi)，滿足=λ+μ，其中λ∈［0，1］，μ∈［0，1］，則（ ）

A. 當(dāng)λ=μ時，三棱錐E-BAC的體積為定值

B. 當(dāng)λ=μ時，△EAC的周長為定值

C. 當(dāng)μ=0時，有且僅有一點E，使得CE與平面BAC的夾角為

D. 當(dāng)λ=0時，有且僅有一點E，使得平面CDE⊥平面BAC

通過對試題探究拓展，使學(xué)生在探究過程中得到數(shù)學(xué)知識與技能，收獲數(shù)學(xué)經(jīng)驗與方法，同時在問題的解決過程中鞏固和發(fā)展“四基”，提升直觀想象素養(yǎng).

結(jié)束語

綜上所述，空間向量與立體幾何相遇，為立體幾何問題的解決開拓了一片新的天地. 這不僅培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，同時也降低了學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的難度，體現(xiàn)了時代發(fā)展對數(shù)學(xué)課程改革的要求. 教師應(yīng)理解好新課標對應(yīng)用空間向量的教學(xué)要求，以教材為載體，加強學(xué)生直觀想象素養(yǎng)和空間想象能力的培養(yǎng)，從而有效落實立德樹人根本任務(wù).

參考文獻：

［1］ 人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修第二冊A版（2019）［M］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）［S］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］ G.波利亞. 怎樣解題［M］. 涂泓，馮承天，譯. 上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?002.