極端死亡率債券的運行機制與定價模型

謝世清+周慶余

摘 要：極端死亡率債券是票息或面值與極端死亡概率相關的債券，能夠?qū)垭U公司所面臨的極端死亡率風險轉(zhuǎn)移到資本市場。本文闡述了極端死亡率債券的市場發(fā)展，包括發(fā)行規(guī)模、觸發(fā)機制、債券期限、債券分層、債券評級等，分析了以Tartan債券為代表的本金賠付累積型極端死亡率債券的運行機制，并給出了考慮極端死亡率風險的跳躍性特征下的本金賠付累積型極端死亡率債券Wang轉(zhuǎn)換定價的解析式。

關鍵詞： 極端死亡率債券;運行機制;市場發(fā)展;定價模型

中圖分類號：F840.0 ? 文獻標識碼： A ? ?文章編號：1003-7217（2015）01-0029-05

一、引 言

極端死亡率風險源于壽險公司所面臨的實際死亡率遠高于其承保時所預測的數(shù)值。近年來，巨災事件和流行病事件頻繁發(fā)生，導致壽險公司面臨著日益嚴峻的極端死亡率風險。極端死亡率風險使得壽險公司可能在一次事故中支付眾多被保險人的死亡賠償金，造成壽險公司嚴重虧損，甚至因現(xiàn)金流不足而遭遇清算倒閉的危機。巨災頻發(fā)、流行病肆虐以及恐怖襲擊等潛在威脅，未來極端死亡率風險有可能會進一步惡化，壽險公司需采用有效的風險管理方法來減少極端死亡率風險造成的損害。

壽險公司通常采用四類傳統(tǒng)方法應對極端死亡率風險，包括經(jīng)濟資本吸收實際損失、出售大量保單分散風險、提高保單費率轉(zhuǎn)嫁風險以及通過再保險轉(zhuǎn)移風險。但這些傳統(tǒng)方法均存在一定的局限性。為更好地應對極端死亡率風險，2003年，瑞士再保險（Swiss Re）首次將產(chǎn)險證券化方法應用于壽險風險，成功地發(fā)行了以壽險保單死亡率為標的指數(shù)的極端死亡率債券。同巨災債券類似，極端死亡率債券能夠?qū)鹘y(tǒng)保險業(yè)的死亡率峰值風險轉(zhuǎn)移或分散到資本市場。

目前，國外學者對極端死亡率債券的研究主要集中于兩個方面：首先，在運行機制方面，Blake et al.（2006）等對瑞士再保險發(fā)行的Vita系列債券進行了研究^[1];Bauer and Kramer（2007）探討了蘇格蘭再保險發(fā)行的Tartan系列債券^[2]。其次，定價模型方面，Wang（2000）提出的Wang轉(zhuǎn)換方法，實現(xiàn)了不完全市場中的死亡率風險定價^[3];Chen and Cox（2009）應用風險中性定價方法對極端死亡率債券進行了定價^[4]。我國尚勤等（2010）對死亡率債券進行了Wang轉(zhuǎn)換定價^[5]。本文旨在對極端死亡率債券的運行機制和定價模型進行分析，以彌補國內(nèi)在這一領域研究的缺失。

二、極端死亡率債券的市場發(fā)展

2003～2012年，全球共成功發(fā)行了9次極端死亡率債券（見表1）。瑞士再保險是極端死亡率債券最為重要的發(fā)起人。在9次發(fā)行中，由瑞士再保險發(fā)行的共有6次。迄今為止，Vita系列債券共為瑞士再保險籌集了20.5億美元，凸顯了其在資本市場上較強的品牌效應。這些債券的成功發(fā)行探索出了一條轉(zhuǎn)移極端死亡率風險的新渠道，激發(fā)了壽險行業(yè)和固定收益證券相結(jié)合的熱情。隨后，蘇格蘭再保險、安盛保險（AXA）和慕尼黑再保險也紛紛效仿并發(fā)行了各自的極端死亡率債券。

1.發(fā)行規(guī)模。如表1所示，2006～2007年全球共發(fā)行了四次極端死亡率債券，從資本市場上籌集到了大約11.6億美元的資金，每次平均融資額約為3億美元。受國際金融危機的影響，極端死亡率證券化產(chǎn)品的發(fā)行在此后三年內(nèi)陷入了相對低迷的時期，直到2010年10月之后，極端死亡率債券的發(fā)行才開始了新一波行情，共成功發(fā)行三次，融資總額為9.6億美元。目前整個資本市場通過極端死亡率債券所提供的資金總額仍不足此類風險敞口的10%，因此，極端死亡率債券未來將擁有巨大的市場發(fā)展?jié)摿Α?/p>

財經(jīng)理論與實踐（雙月刊）2015年第1期2015年第1期（總第193期）謝世清，周慶余：極端死亡率債券的運行機制與定價模型

2.觸發(fā)機制。

極端死亡率債券的觸發(fā)條件一般基于公開的死亡率指數(shù)，即基于不同國家、年齡和性別等構(gòu)造的“組合死亡率指數(shù)”。例如，Vita I債券觸發(fā)機制是基于美國、英國、法國、意大利和瑞士這5個國家的死亡率構(gòu)建的加權(quán)死亡率指數(shù)。如果僅使用單個國家的死亡率作為參照標準，缺乏人口和地理位置上的多樣性，容易產(chǎn)生非系統(tǒng)風險。而對于資產(chǎn)規(guī)模大、多個地區(qū)經(jīng)營的發(fā)起壽險公司或再保險公司而言，不同國家和地區(qū)的“組合死亡率指數(shù)”更能貼近其極端死亡率暴露情況，因而能夠有效減少其“基差”風險。

3.債券期限。已發(fā)行的極端死亡率債券的期限通常為3～5年，屬于中期債券。如果債券期限過長，會導致閾值觸發(fā)的概率偏高，投資者面臨的風險加大，債券吸引力減小。此外，債券的實際期限也會由于具有延期性和贖回性而有所改變。首先，債券本金的償付需根據(jù)死亡率指數(shù)水平來確定，而債券到期后往往需要一定時間來收集死亡率數(shù)據(jù)和計算出死亡率指數(shù);其次，債券實際期限會因債券無法對沖發(fā)行人所實際承擔的極端死亡率風險或者發(fā)行人能夠重新發(fā)行息票率更低的債券而被提前贖回。

4.債券層級。最初的Vita I債券是不分層級的債券，但從Vita II開始，極端死亡率債券也引入了債券的分層設計。分層的方式主要有兩種：一是根據(jù)不同的人口特征或地理位置進行分層;二是根據(jù)不同的期限、觸發(fā)閾值和資金規(guī)模等進行分層。發(fā)起人還能通過自身購買風險最高的“權(quán)益層”債券實現(xiàn)風險自留，對道德風險進行有效控制，以提升其他層級債券的信用等級。債券的分層可以實現(xiàn)風險配置的多樣性，滿足市場風險偏好不同的投資者的需求，拓展市場容量，提高市場流動性。

5.債券評級。

與資產(chǎn)證券化產(chǎn)品類似，極端死亡率債券的發(fā)行通常要經(jīng)過權(quán)威評級機構(gòu)如標準普爾的信用評級。評級考慮的因素包括債券層級、觸發(fā)閾值和到期時間等。已發(fā)行的極端死亡率債券的信用級別通常集中于BBB-～BB+，大部分屬于投機級別。債券評級與債券息差緊密相關。評級為BBB級別債券的息差比AAA級別債券的息差平均高出1%左右，有時甚至超過3%。此外，投機級別債券比投資級別債券在息差上平均高出4%左右，有時超過6%。例如，2009年，在甲型H1N1流感的影響下兩者的息差甚至超過15%。

三、 極端死亡率債券的運行機制

自2003年瑞士再保險發(fā)行Vita債券以來，極端死亡率債券的市場已取得了長足的發(fā)展。迄今為止全球已經(jīng)發(fā)行了9筆極端死亡率債券，發(fā)行總金額為26億美元。Vita系列債券屬于本金賠付非累積型債券，每年從SPV中提取的資金以及提取的比例均逐年重新計算，與往年的累積本金賠付比例無關。2006年蘇格蘭再保險發(fā)行的Tartan系列極端死亡率債券通過設計雙重觸發(fā)條件妥善地解決了死亡率時序相關的問題，其償付機制更具合理性。有鑒于此，這里選取Tartan債券作為典型案例來剖析極端死亡率債券的交易結(jié)構(gòu)和償付機制。

（一）極端死亡率債券的交易結(jié)構(gòu)

Tartan債券的交易結(jié)構(gòu)如圖1所示。首先，隸屬于蘇格蘭再保險的蘇格蘭年金與壽險公司（SALIC）同特殊目的公司（SPV）Tartan資本簽訂了再保險合約。在該合約下，SALIC同意每季度支付Tartan資本一個固定的金額作為保費，以換取當死亡率指數(shù)達到一定的閥值時Tartan資本向SALIC支付賠償?shù)臋?quán)利。其次，Tartan資本通過向資本市場投資人發(fā)行極端死亡率債券能夠為其向SALIC的或有支付籌集資金。再次，發(fā)行債券所募集的資金用以購買無風險的國債存入擔保賬戶作為抵押資產(chǎn)。最后，鑒于這些抵押資產(chǎn)收益較低，Tartan資本將會和高盛簽訂利率互換合約。

Tartan資本共發(fā)售2個不同風險暴露的Tartan債券：面值分別為7500萬美元和8000萬美元，期限均為3年。表2列出了Tartan債券的具體結(jié)構(gòu)特征。其中，A級債券的本金和利息均由擔保公司（FGIC）進行擔保，相應地，F(xiàn)GIC會從Tartan資本收取一定的擔保費。因此，對于A級債券投資者來說，其僅面臨信用風險，相應的利息收益也較低，只有LIBOR+19基點。而B級債券投資者將會面臨較高的極端死亡率風險，當風險事件發(fā)生時債券投資人將會損失利息和本金。作為風險補償，其收益也較高，利息比A級債券高出281基點。

（二）極端死亡率債券的償付機制

如果事先約定的死亡率指數(shù)超過一定的閾值水平，Tartan資本動用存放在擔保賬戶中的抵押資產(chǎn)對SALIC進行賠償支付。該死亡率指數(shù)為聯(lián)合死亡率指數(shù)（combined mortality index，CMI），會隨著既定人口的死亡率變化。之所以設定CMI，而不是選取特定人群的死亡率作為死亡率指數(shù)，是為了充分反映SALIC面臨的不同年齡、不同性別人群的極端死亡率風險。CMI僅以美國人口死亡率作為依據(jù)。美國人口死亡率是指在下一年中由美國疾病控制和防御中心公布的整體人口數(shù)量減少的一定比例。CMI是一個加權(quán)的人口死亡率t：

t=∑xωx，mm，x，t+ωx，ff，x，t（1）

其中，m，x，t和f，x，t分別為t年，年齡組x中男性和女性的死亡率;ωx，m和ωx，f分別為這兩個死亡率所對應的權(quán)重。

Tartan債券中，假設t和t-1分別為t年和t-1年的加權(quán)人口死亡率，2004和2005為基年的死亡率指數(shù)，則t年的實際死亡率指數(shù)it可由下式計算得到：

it=1/2t+t-11/22004+2005（2）

從式（2）不難看出，聯(lián)合死亡率指數(shù)依賴于連續(xù)兩年的人口死亡狀況，而Tartan債券為3年期的債券，因此，只在兩個時點上才會計算死亡率指數(shù)及其相連的本金賠付損失，即通過2006和2007年的數(shù)據(jù)計算2007年年末的死亡率指數(shù)，通過2007和2008年的數(shù)據(jù)計算2008年年末的死亡率指數(shù)。然而，由于計算死亡率指數(shù)的數(shù)據(jù)通常在年末是不可得的，因此，Tartan債券有可能會將債券期限最多延長30個月。但是債券在延展期間并不會因為極端死亡率事件而遭受任何本金損失，并且投資人依舊會獲得延展期間的利息收入。

Tartan債券還規(guī)定只有在死亡率指數(shù)超過一定的水平時，壽險公司才會接受賠償。如圖2所示，黑色的實線為每期的累積本金賠付比例與當期的死亡率水平的關系。第一個觸發(fā)條件與Vita債券的償付機制相同，即死亡率指數(shù)超過基準水平的下限（M）;第二個觸發(fā)條件為本期的本金賠付比例大于以往各年的本金賠付比例之和，即超過累積本金賠付比例（Accumulated Loss，ALt-1），即只有當期的賠付比例超過上一期的累計比例閾值ALt-1，SPV才進行本金賠付。用公式表示，在t時期SPV向壽險公司的累積本金償付比例為ALt：

ALt=MinMaxALt-1，qt-MU-M，100%（3）

當上一期的累積本金賠付比例尚未達到100%時，當期的本金賠付比例為losst：

losst=ALt-ALt-1=

MinMaxALt-1，qt-MU-M，100%-ALt-1=

0， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? qt-MU-M

qt-MU-M-ALt-1， ? ? ? ? ALt-1

100%-ALt-1， ? ? ? ? ? ?qt-MU-M>100%（4）

圖2 本金賠付累積型極端死亡率債券

資料來源：Klein R.， 2006， Mortality Catastrophe Bonds as a Risk Mitigation Tool， Society of Actuaries Newspaper， （57）^[6].

因此，在債券到期時（T），SPV向所有債券投資者支付的本金比例PT=1-ALT。

四、極端死亡率債券的定價模型 （一）Wang轉(zhuǎn)換方法

在完全市場下，任何一種現(xiàn)金流均可由該市場中交易的某些證券組合加以復制。而極端死亡率債券的現(xiàn)金流受到極端死亡率事件的影響，無法通過傳統(tǒng)的資產(chǎn)組合復制。Wang轉(zhuǎn)換方法是在不完全市場條件下為極端死亡率債券定價的重要模型之一。Wang轉(zhuǎn)換方法基于觀測到的實際已發(fā)行的極端死亡率債券的價格對原始極端死亡率風險分布進行調(diào)整，得到更為精準的極端死亡率指數(shù)的分布函數(shù)，即通過Wang轉(zhuǎn)換算子將未知的死亡率指數(shù)分布轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎恼龖B(tài)分布。對于隨機變量X，Wang轉(zhuǎn)換算子為：

F*X（x）=ΦΦ-1FXx+λ（5）

其中，F(xiàn)X（x）為x的累積分布函數(shù);Φx表示正態(tài)分布的累積分布函數(shù);λ為風險的市場價格，反映市場系統(tǒng)風險和公司特有的風險水平。Lin and Cox（2008）通過Wang轉(zhuǎn)換定價模型給出了極端死亡率債券公平價格的一般表達式^[7]：

ωTE*X=ωT∫xdF*X（x） （6）

其中，ωT為債券到期日T時的折現(xiàn)因子，E*X為經(jīng)過Wang轉(zhuǎn)換后的期望值。

（二）死亡率指數(shù)分布刻畫

基于對死亡率指數(shù)的定義，死亡率指數(shù)為多地區(qū)的加權(quán)死亡指數(shù)，可表述為：qt=（q1t，q2t，…，qnt），其中qit表示地區(qū)i（i=1，2，…，N）在時間t（t=1，2，…，T）的死亡率水平。Milevsky and Promislow（2001）假定死亡率指數(shù)服從It過程^[8]，但該過程并不能刻畫極端死亡率在極端死亡率發(fā)生時的突變，即跳躍性特征，因此，假定

qit服從如下的隨機過程：

dqitqit=（αi-λivi）dt+σidWit+（Jit-1）dYit（7）

其中，αi和σi分別表示地區(qū)i的死亡率水平在未發(fā)生跳躍時的漂移率與波動率，r為死亡率的期望值;Wit為標準布朗運動;Yit和Jit刻畫了死亡率指數(shù)的跳躍性特征，其中Yit是跳躍頻率為λi的泊松過程;Jit為跳躍幅度，服從對數(shù)正態(tài)分布，即ln （Jit）～N（αni，σ2ni），期望值為vi+1，即

vi=E[Jit-1]=exp （αni+σ2ni/2）-1。

（三）極端死亡率債券定價模型

首先，根據(jù)It引理可以得到：

ln qit|（qi0， Yt）～Nln qi0+（r-12σ2i-

λiνi）t+Ytαni， σ2it+Ytσ2ni

（8）

這樣，ln qit的累積分布函數(shù)為：

Fx=Pr ln qit≤x=

Φx-ln qi0+（r-12σ2i-λiνi）t+Ytαni（σi）2t+Ytσ2ni（9）

其次，將式（9）帶入式（5），可以得到經(jīng)過Wang轉(zhuǎn)換后的累積分布函數(shù)：

F*（x）=ΦΦ-1F（x）+λ=

Φx-ln qi0+（r-12σ2i-λiνi）t+Ytαniσ2it+Ytσ2ni+λ（10）

從上式不難看出，經(jīng)過Wang轉(zhuǎn)換后的死亡率指數(shù)分布為：

ln*qit～N（ln qi0+（r-12σ2i-λiνi）t+

Ytαni-λσ2it+Ytσ2ni， σ2it+Ytσ2ni）（11）

進一步進行對數(shù)變換即可得到死亡率指數(shù)qit經(jīng)過風險調(diào)整后的期望值為：

E*qit=expln qi0+（r-12σ2i-λiνi）t+

Ytαni-λσ2it+Ytσ2ni+12σ2it+Ytσ2ni

（12）

最后，基于蘇格蘭再保險發(fā)行的Tartan系列極端死亡率債券的償付機制，得出本金賠付累積型極端死亡率債券的定價解析式。由于通過Wang轉(zhuǎn)換得到的價格為公平價格，因此，式（6）中折現(xiàn)因子ωT應為無風險利率下連續(xù)復利的折現(xiàn)因子e-rT;債券的到期價值為V=Par1-∫T1losstdt，Par為債券的面值。將折現(xiàn)因子和債券的到期價值以及經(jīng)過風險調(diào)整后的死亡率指數(shù)期望值E*qit帶入式（6）即可得到極端死亡率債券的最終價格：

P=e-rTE*Par1-∫T1losstdt=

e-rTPar1-∫T1E*qit-MU-M-ALt-1dt

（13）

相較于通過完全市場方法對極端死亡率債券定價，使用Wang轉(zhuǎn)換對極端死亡率債券進行定價會得到更為精準的債券價格。該模型的優(yōu)點是將風險溢價計入到期望損失中，在一定程度上反映了死亡率風險的厚尾性特征。但該模型卻要求死亡率指數(shù)的概率分布已知，而通常情況下死亡率指數(shù)的分布函數(shù)是未知的，只能通過死亡率樣本進行概率分布函數(shù)參數(shù)的估計。

五、結(jié) 語

極端死亡率債券是極端死亡率風險證券化的重要產(chǎn)物，也是國際上應對極端死亡率風險不可或缺的創(chuàng)新性管理工具。本文的研究發(fā)現(xiàn)，本金賠付非累積型和累積型兩類極端死亡率債券在運行機制上存在較大的差異。其中，本金賠付累積型極端死亡率債券由于門閥值與累積損失相關，因此觸發(fā)條件更為苛刻。由于后者在更大程度上保護了投資者的利益，因而更加受到市場歡迎。目前，國內(nèi)學術界對于極端死亡率債券的研究較少，本文系統(tǒng)梳理了極端死亡率債券的運行機制和定價模型，期盼能夠引起我國學術界和業(yè)界對極端死亡率債券的關注。

參考文獻：

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（責任編輯：寧曉青）

The Operational Mechanism and Pricing

Model of Extreme Mortality Bonds

XIE Shiqing， ZHOU Qingyu

（School of Economics， Peking University， Beijing 100871，China）

Abstract：Extreme mortality bonds （EMBs） refer to the bonds whose principals vary with mortality index due to the extreme mortality risk. This paper presents the EMB market development from the perspectives of issue scale， trigger mechanism， bond maturity， tranche and bond rating; analyzes the payment mechanism of cumulative principal of the EMBs based on the Tartan bond issued by Scottish Re in 2006; derives an analytical formula of pricing the EMBs based on a single factor Wang transfer method considering the jump diffusion of mortality risk.

Key words：Extreme mortality bond; Operating mechanism; Market development; Pricing model