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    分析問題的三種方法

    2015-02-02 15:52:16趙文龍
    理科考試研究·高中 2015年1期
    關(guān)鍵詞:梯形拋物線圖象

    趙文龍

    學(xué)生面對(duì)新題時(shí),因?yàn)槟吧恢绾稳胧?,平時(shí)所學(xué)知識(shí)、思想、方法無法使用,所以就認(rèn)為題目“難”,無法解答.出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是不會(huì)分析問題,也就是不能正確選擇解題方法.下面以2013年安徽省高考數(shù)學(xué)題為例,介紹分析問題的三種方法,從而幫助學(xué)生提高分析問題和解決問題的能力.

    1.聯(lián)想法

    有的題目表面上是以一塊知識(shí)呈現(xiàn),但要解決問題則需要另一塊知識(shí),能否將知識(shí)順利切換是關(guān)鍵.聯(lián)想法解題策略就是根據(jù)題目有關(guān)特征,聯(lián)想到相關(guān)知識(shí),應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題.

    例1 (2013年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第8題)函數(shù)y=f(x)的圖象如圖1所示,在區(qū)間[a,b]上可找到n(n≥2)個(gè)不同的數(shù) x1,x2,…,xn,使得f(x1)x1=f(x2)x2=…=f(xn)xn,則n的取值范圍是( ).

    A.{3,4} B.{2,3,4} C.{3,4,5} D.{2,3}

    分析 由條件f(x1)x1=f(x2)x2=…=f(xn)xn的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到直線斜率公式,利用解析幾何和數(shù)形結(jié)合解決問題.

    解 函數(shù)圖象上存在n個(gè)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率相等,即n為過原點(diǎn)的直線與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),由圖2可得n的取值為2,3,4,故選B.

    2.轉(zhuǎn)換法

    轉(zhuǎn)換法是根據(jù)題目條件中某個(gè)條件所具有的性質(zhì),將該條件轉(zhuǎn)換到其它與之有關(guān)的知識(shí)上,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸,從而打開解題思路.

    例2 (2013年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第13題)已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得 ∠ACB為直角,則a的取值范圍為 ______ .

    分析1 從結(jié)論來看,要求a的取值范圍,無從入手.以條件∠ACB為直角為切入點(diǎn),由此可以得到AC⊥BC,從而有

    AC·BC=0 (或kAC·kBC=-1),那么就需要點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo).

    解法1 易知a>0,設(shè)C(t,t2),由已知可令A(yù)(a,a),B(-a,a),則AC=(t-a,t2-a),BC=(t+a,t2-a).因?yàn)锳C·BC=0,所以t2-a+t4-2at2+a2=0,可得(t2-a)(t2+1-a)=0.因?yàn)橛深}易知t2≠a,所以t2=a-1≥0,故a∈[1,+∞).

    分析2 以條件∠ACB為直角為切入點(diǎn),由此性質(zhì)聯(lián)想到以|AB|為直徑的圓,點(diǎn)C為圓上一點(diǎn),將問題化歸為圓與拋物線相交.

    解法2 設(shè)直線y=a與y軸交于點(diǎn)M,拋物線y=x2上要存在C點(diǎn),只要以|AB|為直徑的圓與拋物線y=x2有交點(diǎn)即可,也就是使|AM|≤|MO|,即a≤a(a>0),故a∈[1,+∞).

    3.逆推法

    結(jié)論就是解一道題最終獲得的答案,有時(shí)它對(duì)解題目標(biāo)或解題方向有暗示作用,利用好結(jié)論的隱含信息及所學(xué)知識(shí),從結(jié)論出發(fā),做逆向分析探究,可以順利求解問題.

    例3 (2013年高考數(shù)學(xué)安徽卷理科第14題)如圖3,互不相同的點(diǎn)A1,A2,…,An,…和B1,B2,…,Bn,…分別在角O的兩條邊上,所有AnBn相互平行,且所有梯形AnBnBn+1An+1的面積均相等.設(shè)OAn=an.若a1=1,a2=2,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是 ______.

    分析 從題目要求結(jié)論和所提供的

    條件特點(diǎn)可知,若要求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,則需要求出數(shù)列{an}的遞推公式(利用數(shù)列遞推公式求通項(xiàng)公式是常用的方法),以梯形 AnBnBn+1An+1面積均相等為切入點(diǎn),求出數(shù)列{an}的遞推公式.

    解 設(shè)AnBn=cn,△OAnBn邊AnBn上高為hn,因?yàn)樗蠥nBn相互平行,且OAn=an,所以an-1an=cn-1cn=hn-1hn,則cn-1=an-1ancn,hn-1=an-1anhn,同理cn+1=an+1ancn,hn+1=an-1anhn.梯形An-1Bn-1BnAn的面積為12(cn-1+cn)(hn-hn-1)=12(an-1ancn+cn)(hn-an-1anhn),梯形AnBnBn+1An+1的面積為12(cn+cn+1)(hn+1-hn)=12(cn+an-1ancn)(

    an-1anhn-hn).由兩梯形的面積相等可得

    12(an-1ancn+cn)(hn-an-1anhn)=12(cn+an+1ancn)(an+1anhn-hn),1-a2n-1a2n=a2n+1a2n-1,

    2a2n=a2n-1+a2n+1.所以數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為a21=1,公差為a22-a21=22-1=3的等差數(shù)列,所以a2n=1+(n-1)×3=3n-2(an>2),所以an=3n-2.

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