一道高考解析幾何題引申出的幾個結(jié)論

張煥云

一、題目

（2014年四川理科20）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形.

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（Ⅱ）設(shè)F為橢圓C的左焦點，T為直線x=-3上任意一點，過F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q.

（ⅰ）證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點）;

（ⅱ）當(dāng)|TF||PQ|最小時，求點T的坐標(biāo).

解題過程略，（Ⅰ）x26+y22=1，（Ⅱ）中（ⅱ）的點T坐標(biāo)為（-3，±1）.

二、推廣結(jié)論

筆者對第（Ⅱ）問中的第（?。┬柦o出了推廣.

推廣一 T為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的準(zhǔn)線上任意一點，過準(zhǔn)線對應(yīng)的焦

點F作TF的垂線交橢圓C于點P，Q，則OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點）.

證明 不妨設(shè)F為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點，如圖，則F（c，0），右準(zhǔn)線方程為x=a2c.

當(dāng)直線PQ斜率不存在時，易得OT平分線段PQ.

當(dāng)直線PQ斜率存在時，設(shè)PQ：y=k（x-c）（k≠0），由x2a2+y2b2=1

y=k（x-c）可得（b2+a2k2）x2-2k2a2cx+a2（k2c2-b2）=0，必有Δ=4a2b4（1+k2）>0，有xP+xQ=

2k2a2cb2+a2k2，yP+yQ=k（xP+xQ-2c）=-2kb2cb2+a2k2，所以線段PQ的中點為（k2a2cb2+a2k2，-kb2cb2+a2k2）.直線FT：y=-

1k（x-c），x=a2c時，y=-b2kc.則T（a2c，-b2kc），直線OT：y=-b2ka2x，x=k2a2cb2+a2k2時，y=-b2ka2·k2a2cb2+a2k2=-kb2cb2+a2k2，

所以線段PQ的中點（k2a2cb2+a2k2，-kb2cb2+a2k2）在OT直線上，即OT平分線段PQ.

推廣二 T為雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）

的準(zhǔn)線上任意一點，過準(zhǔn)線對應(yīng)的焦點T作TF的垂線交雙曲線C于點P，Q，則OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點）.（證明方法與推廣一相似，略）

推廣三 T為圓錐曲線C：λx2+μy2=1（λμ≠0且λ≠μ）的準(zhǔn)線上任意一點，過

準(zhǔn)線對應(yīng)的焦點F作TF的垂線交圓錐曲線C于點P，Q，則OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點）.（證明過程略）

推廣四 T為拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點，過焦點F作TF的垂線交拋物線C于點P，Q，則過點T平行于拋物線對稱軸的直線平分線段PQ.

證明 以拋物線C：y2=2px（p>0）為例，則焦點F（p2，0），準(zhǔn)線方程為x=-p2.設(shè)直線PQ方程為：x=my+p2.

由y2=2px，

x=my+p2得y2-2pmy-p2=0，必有Δ=4p2（1+m2）>0，有yP+yQ=2pm，xP+xQ=m（yP+yQ）+p=2pm2+p，所以線段PQ的中點為（pm2+p2，pm）.

直線TF的方程為：y=-m（x-p2），當(dāng)x=-p2時，y=pm，所以T（-p2，pm），則過點T平行于拋物線對稱軸x軸的直線為y=pm.

顯然線段PQ的中點（pm2+p2，pm）在直線y=pm上，即過點T平行于拋物線對稱軸的直線平分線段PQ.

三、推廣反思

高考試題是許多專家、學(xué)者、優(yōu)秀教師集體智慧的結(jié)晶，具有很高的研究價值.研究高考題目是高中教師必做的功課，最大限度地發(fā)揮高考試題的指導(dǎo)價值是這門功課的重中之重.波利亞說：“當(dāng)你找到第一個蘑菇或做出第一個發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長的.”這告訴我們教師，在平時的課堂教學(xué)中，不僅要得到問題的答案，還要讓學(xué)生知道問題的一般規(guī)律，這樣才能使學(xué)生舉一反三，觸類旁通，以不變應(yīng)萬變.