線段長(zhǎng)度“參數(shù)化”，方程函數(shù)助求值——2015年江蘇連云港卷把關(guān)題的思路突破與解后反思

☉江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 仲進(jìn)東

線段長(zhǎng)度“參數(shù)化”，方程函數(shù)助求值
——2015年江蘇連云港卷把關(guān)題的思路突破與解后反思

☉江蘇省蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)校 仲進(jìn)東

近年來(lái)，一類以“函數(shù)圖像+幾何性質(zhì)”為載體的中考?jí)狠S題較為流行，這類問(wèn)題常常與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、存在性問(wèn)題、最值問(wèn)題綜合在一起，讓不少學(xué)生感覺(jué)到困難，也成為中考二輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn).下面選取一道2015年中考題，幫助大家突破思路，并一起反思這類問(wèn)題的解題關(guān)鍵：線段長(zhǎng)度“參數(shù)化”，方程函數(shù)助求值.

一、考題及思路突破

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）過(guò)線段AB上一點(diǎn)P，作PM//x軸，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N（0，1），當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí)，MN+3MP的長(zhǎng)度最大？最大值是多少？

思路突破：（1）比較基礎(chǔ)，只要找出兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)就能確定直線解析式，而題目已給定點(diǎn)（0，4）；另外嘗試?yán)脪佄锞€的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，1），就能利用待定系數(shù)法明確直線解析式了.

（2）這里看似是一道以拋物線為載體的存在性問(wèn)題，本質(zhì)上與拋物線無(wú)關(guān)，因?yàn)锳、B點(diǎn)都已被確定，本質(zhì)上就是已知兩個(gè)定點(diǎn)，在x軸上尋找一點(diǎn)，使這三個(gè)點(diǎn)圍成直角三角形.這類問(wèn)題分三種情況討論：分別以A、B、C為直角頂點(diǎn)討論，用一個(gè)參數(shù)式子分別表示AB、AC、BC，再結(jié)合勾股定理得出方程求解.

（3）又是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，要注意點(diǎn)P在“線段AB”上，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是有取值范圍的！待求的“MN+3MP”也很難找到轉(zhuǎn)化成某一條直線的模式或解題經(jīng)驗(yàn)，那就設(shè)法用一個(gè)參數(shù)分別表示這兩條線段的長(zhǎng)，然后再轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)表達(dá)式，分析最值.3a+9取到最大值為18.所以當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為6時(shí)，MN+3PM的長(zhǎng)度最大值是18.

二、解后反思

以下主要針對(duì)第（2）、（3）問(wèn)展開反思，我們嘗試擺脫上面主要是基于“數(shù)”的角度解題的思維風(fēng)格，意圖從“形”的角度更直觀地思考問(wèn)題的結(jié)構(gòu).

可見(jiàn)，如果對(duì)拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線知識(shí)有所了解，對(duì)于數(shù)學(xué)“念頭”或直覺(jué)的獲得，那一切都只不過(guò)是邏輯的必然，情況就像小學(xué)的某些奧數(shù)應(yīng)用題用中學(xué)的方程來(lái)處理一樣，知識(shí)對(duì)解題有指導(dǎo)作用.解題需要居高臨下，因?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是相通的，有些初中數(shù)學(xué)中的所謂難題，需要我們用“高觀點(diǎn)”來(lái)進(jìn)行把握.

三、命題導(dǎo)向與教學(xué)之思

1.羅增儒．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］．西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

2.賀信淳．從多角度審視一道中考試題說(shuō)開去——談對(duì)初中數(shù)學(xué)教育現(xiàn)狀之惑［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2013（12）.

3.鄔吉利．一類“偽坐標(biāo)系”考題的評(píng)析與商榷［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（8）．

4.邢成云．中考命題需要謹(jǐn)慎，一石三鳥當(dāng)思量［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）．H