找準(zhǔn)生長(zhǎng)點(diǎn)，學(xué)程重生成
——以“一元二次方程解法（第2課時(shí)）”教學(xué)為例

☉江蘇省海安縣李堡初級(jí)中學(xué) 朱國(guó)生

找準(zhǔn)生長(zhǎng)點(diǎn)，學(xué)程重生成
——以“一元二次方程解法（第2課時(shí)）”教學(xué)為例

☉江蘇省海安縣李堡初級(jí)中學(xué) 朱國(guó)生

近讀初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究專業(yè)期刊，特別是《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）近一段時(shí)間來發(fā)表了很多研究專家教師李庾南老師數(shù)學(xué)教學(xué)思想的案例文章，這對(duì)我們一線教師來說顯得非常實(shí)用，而且筆者所在學(xué)校又是“李庾南實(shí)驗(yàn)學(xué)?！?，近兩年全校上下正在積極踐行李庾南老師的“自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論”的教學(xué)思想，這也激發(fā)筆者認(rèn)真思考日常教學(xué)中如何體現(xiàn)李老師的教學(xué)思想.本文以近期筆者開設(shè)的一節(jié)教研課“一元二次方程的解法”為例，闡釋我們對(duì)李老師教學(xué)思想的理解和實(shí)踐.

一、教材、學(xué)情與目標(biāo)設(shè)定

1.教材分析

人教版九年級(jí)上冊(cè)第21章“一元二次方程”的第2節(jié)是解一元二次方程配方法第2課時(shí)，配方法是解一元二次方程的基本方法，它是在剛學(xué)過的直接開平方法的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的，它是后面公式法解一元二次方程的基礎(chǔ)，也是第22章二次函數(shù)知識(shí)的基礎(chǔ)．所以，一元二次方程的解法與應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容之一．從知識(shí)的發(fā)展來講，學(xué)生通過一元二次方程的學(xué)習(xí)，可以對(duì)前面已學(xué)過的知識(shí)加以復(fù)習(xí)鞏固．對(duì)學(xué)生來講，本節(jié)的一些常用解題方法、計(jì)算技巧及數(shù)學(xué)思想，在本章教材中有比較好的體現(xiàn)和應(yīng)用．要在今后用一元二次方程的知識(shí)解決實(shí)際應(yīng)用問題，那首先就要學(xué)會(huì)解一元二次方程.本節(jié)就是解一元二次方程的一種基本方法．如何解一元二次方程，它的基本策略是將一元二次方程轉(zhuǎn)化為已學(xué)的一元一次方程，就是降次.本節(jié)的配方法就是降次的方法之一．

2.學(xué)情分析

學(xué)生知識(shí)掌握方面：學(xué)生已學(xué)過平方根的意義，即如果x2=a，那么；完全平方式公式等.這為本節(jié)課運(yùn)用配方法解一元二方程奠定基礎(chǔ)．學(xué)生難度方面：如何配方、怎樣配方對(duì)學(xué)生來說是個(gè)難點(diǎn)，我們老師在這方面應(yīng)予以深入淺出地分析．可見，老師要從學(xué)生的認(rèn)知水平和心理發(fā)展特征出發(fā)，利用學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求知欲．以解決實(shí)際問題作為本節(jié)課的開端，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，當(dāng)他們?cè)诮鉀Q問題時(shí)發(fā)現(xiàn)方程不是以前所學(xué)過的，這樣可以激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望，想進(jìn)一步探索解方程的方法．前面我們已經(jīng)系統(tǒng)地研究了完全平方式、二次根式等知識(shí)，這就為我們繼續(xù)探究用配方法解一元二次方程奠定了基礎(chǔ)．

3.教學(xué)目標(biāo)

（1）讓學(xué)生會(huì)用配方法解一元二次方程，體會(huì)“降次轉(zhuǎn)化”的基本思想．

（2）通過解決簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用過程，讓學(xué)生體會(huì)配方法和配方過程，總結(jié)配方法的基本步驟，熟練地運(yùn)用配方法解一元二次方程，掌握一些轉(zhuǎn)化的技巧和技能，滲透化歸思想．

（3）通過配方法的探索活動(dòng)，培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，感受數(shù)學(xué)的美．培養(yǎng)學(xué)生勇于對(duì)未知世界探索的精神.

二、教學(xué)流程與解讀

1.溫故知新

（幻燈片1）填空題：

（1）a2+4a+______=（a+______）2；

（2）若4x2-mx+16是一個(gè)完全平方式，那么m的值是______；

（3）如果（x+y）2=25，那么x+y=______．

設(shè)計(jì)意圖：這是復(fù)習(xí)引入的過程，（1）、（2）兩題的二次項(xiàng)系數(shù)一個(gè)是1一個(gè)不是1，用這兩題復(fù)習(xí)完全平方公式，第（3）題復(fù)習(xí)直接開平方法，培養(yǎng)學(xué)生探究的興趣，既回顧上節(jié)課內(nèi)容，也為新課的學(xué)習(xí)做好鋪墊．

2.初探解法

（幻燈片2）在一塊空地上設(shè)計(jì)一個(gè)矩形小花圃，使花圃的長(zhǎng)比寬多6m，并且花圃的面積為16m2，這個(gè)花圃的長(zhǎng)和寬應(yīng)各是多少米？

師：如何設(shè)未知數(shù)？

生：設(shè)花圃的寬為xm，則長(zhǎng)為（x+6）m.

師：好！如何列方程呢？

生：x2+6x-16=0．

師：很好！如何解這個(gè)方程呢？能不能用昨天學(xué)過的方法呢？同學(xué)們?cè)谙旅嬗懻撘幌拢慈绾谓猓?/p>

設(shè)計(jì)意圖：以簡(jiǎn)單實(shí)際應(yīng)用問題為引入，教師提出需要解決的問題，學(xué)生獨(dú)立思考、討論發(fā)表各自見解，同時(shí)教師要引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)列方程很簡(jiǎn)單，而如何解方程是關(guān)鍵；把學(xué)生引向這節(jié)的內(nèi)容，若要解方程想到我們上節(jié)課的直接開平方，只要將方程左邊的二次三項(xiàng)式“湊”成一個(gè)完全平方式．配方的關(guān)鍵是如何配、如何選擇常數(shù)項(xiàng)，讓學(xué)生感受到新知識(shí)是以舊知識(shí)為基礎(chǔ)，同時(shí)感受新舊知識(shí)的融合．

生：不能直接用之前的方法．先將左邊16移至等號(hào)的右邊，然后在等式兩邊同時(shí)加上9，這樣等號(hào)的兩邊就是x2+6x+9=25，左邊是一個(gè)完全平方，配方成（x+3）2=25，就和我們前面學(xué)到的一樣了．

師：回答得完全正確！老師把這位同學(xué)的解題步驟演示一遍，大家再想一想這位同學(xué)解題的基本步驟是什么．

生：將方程左邊常數(shù)項(xiàng)移到右邊，然后將方程兩邊同時(shí)加上一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得左邊是完全平方式，右邊是一個(gè)數(shù)值，然后用直接開平方法，求出方程的解．

師：好的，像這位同學(xué)說的，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，就叫配方法，我們可以看出，配方目的是為了降次，把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程來解，這就是化歸思想的體現(xiàn)．

師：（幻燈片3）填空：在下列橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立.

（1）x2+8x+______=（x+______）2；

（2）x2+12x+______=（x+6）2．

評(píng)析：通過這兩題的練習(xí)，讓學(xué)生既鞏固剛學(xué)的知識(shí)，又為接下來熟練掌握配方法解一元二次方程打好基礎(chǔ)．

師：請(qǐng)同學(xué)們先做，或同桌討論一下，再回答．

生：第（1）題左邊填16，右邊是4；第（2）題36．

師：這位同學(xué)回答得很好，那么大家能從這些題目中找出配方規(guī)律嗎？小組討論．

生：我發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：當(dāng)二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)系數(shù)為1的時(shí)候，添加的常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，就配成了完全平方．

師：你說得非常好，歸納得很準(zhǔn)確，很到位，大家給他鼓鼓掌．

評(píng)析：通過小組討論，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，使學(xué)生更深刻地掌握解一元二次方程的方法．

師：下面我們?cè)賮砜催@兩道題.

（幻燈片4）解方程：

（1）2x2+1=3x；

（2）3x2-6x+4=0．

師：大家觀察上面這兩道題，你能發(fā)現(xiàn)什么問題？

生：二次項(xiàng)系數(shù)不是1．

師：我們?nèi)绾谓饽兀看蠹蚁扔懻撘幌?，然后?qǐng)一位同學(xué)回答．

生：先將二次項(xiàng)和一次項(xiàng)移到等號(hào)的左邊并按未知數(shù)降冪排列，將常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，用等式的基本性質(zhì)，將等式兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，使得二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?，再配成完全平方解出．

師：很好！

師：大家看第（2）題還有什么不同的地方？

生：第（2）題中，在配方后，等號(hào)左邊是（x-1）2，而右邊是，這個(gè)方程是無解的．

師：很好！大家在解題時(shí)一定要注意方程配方后，當(dāng)?shù)忍?hào)的右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，原方程無解．請(qǐng)兩名同學(xué)將解題過程寫到黑板上．

評(píng)析：通過前后例題對(duì)比講解，讓學(xué)生深刻了解不同題目的不同方法，請(qǐng)學(xué)生到黑板來寫，讓學(xué)生知道解題的格式化、規(guī)范化．

師：請(qǐng)大家思考總結(jié)一下用配方法解一元二次方程的基本步驟．

生：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再配方．

生：當(dāng)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為1時(shí)，先將二次項(xiàng)和一次項(xiàng)移到等號(hào)的左邊并按未知數(shù)降冪排列，常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，將方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再將方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再配方．

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在小組合作中嘗試、比較、探索、探究解一元二次方程的方法．在老師的引領(lǐng)下讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)解題的經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)過程中要鼓勵(lì)學(xué)生多動(dòng)腦、多動(dòng)手、多動(dòng)口，充分展示以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的作用，留些時(shí)間讓學(xué)生去觀察、想象、歸納，為今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)打好基礎(chǔ)．

3.課堂小結(jié)

（幻燈片5）配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一般步驟：

（1）移項(xiàng)：將二次項(xiàng)和一次項(xiàng)移到方程左邊并按未知數(shù)降冪排列，常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

（2）把二次項(xiàng)系數(shù)化為1：用等式的基本性質(zhì)將方程兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；

（3）配方：方程的左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把原方程化為（x+a）2=p的形式；

（4）求解：當(dāng)p≥0時(shí)，用直接開平方法解方程，當(dāng)p＜0時(shí)，原方程無解．

三、教后反思

1.做到“三個(gè)理解”，找準(zhǔn)知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)

我們知道，近年來章建躍博士提出的“三個(gè)理解”（即理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)）在一線教師中產(chǎn)生廣泛的影響，筆者也深受啟發(fā)，在本節(jié)課的教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)，從復(fù)習(xí)引入、探究新知、課堂訓(xùn)練、歸納小結(jié)幾方面入手，利用簡(jiǎn)單的實(shí)際問題逐步引入配方法．這主要是學(xué)生已經(jīng)學(xué)過完全平方公式和如何對(duì)一個(gè)正數(shù)進(jìn)行開方運(yùn)算作為本節(jié)課的基礎(chǔ)，教學(xué)中的難點(diǎn)放在探索如何配方上，重點(diǎn)放在配方應(yīng)用上．通過兩個(gè)例題規(guī)范解法的過程，幫助學(xué)生掌握配方的技巧．

2.確立學(xué)生主體，學(xué)程注重生成

李庾南老師課堂教學(xué)最大的特點(diǎn)就是“學(xué)程重生成”，據(jù)我們聽課體會(huì)，她的課堂真正體現(xiàn)了學(xué)生為主體，很多知識(shí)的生成都是在她的啟發(fā)、引導(dǎo)、追問下，由學(xué)生表達(dá)出來.所以在本節(jié)課上，筆者也把激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和獲得學(xué)習(xí)能力放在教學(xué)首位，多次組織學(xué)生合作交流，通過小組合作，激勵(lì)學(xué)生積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)，很多學(xué)生能充分展示自己的聰明才智，并且在此過程中注重發(fā)現(xiàn)學(xué)生分析問題和解決問題時(shí)的獨(dú)到見解．

四、寫在最后

江蘇省教科院楊九俊先生曾感慨“我通向李庾南老師的路十分漫長(zhǎng)”.我們深知：面對(duì)古稀之年的李庾南老師，這實(shí)在是肺腑之言，而不是過謙之詞.我們?cè)谏厦嬷皇呛?jiǎn)單模仿李老師的教學(xué)實(shí)踐，“形似”還不一定，更難說“神似”，然而“高山仰止，景行行止，雖不能至，心向往之”，讓我們一起努力吧！

1.中華人民共和國(guó)教育部制定．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

3.馬立平，著.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)［M］．李士锜，吳穎康，等，譯．上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

4.李庾南．自學(xué)·議論·引導(dǎo)教學(xué)論［M］．北京：人民教育出版社，2013．

5.章建躍．構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）．

6.李庾南，陳育彬．中學(xué)數(shù)學(xué)新課程教學(xué)設(shè)計(jì)30例——學(xué)力是這樣發(fā)展的［M］.北京：人民教育出版社，2007．Z