Mathematica在“平拋運(yùn)動(dòng)”教學(xué)中的應(yīng)用

尋銀錠，詹杰

(湖南科技大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

Mathematica是一款集數(shù)值計(jì)算、符號(hào)計(jì)算、仿真模擬、圖形處理等多種功能于一身的應(yīng)用軟件，能夠完成繁雜的符號(hào)運(yùn)算、高精度的數(shù)值計(jì)算及數(shù)學(xué)圖形的繪制甚至動(dòng)畫制作等多種操作，是利用現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)行物理教學(xué)的有力工具［1］。Mathematica能對(duì)物理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，能精確、動(dòng)態(tài)地仿真模擬實(shí)驗(yàn)。在物理課堂教學(xué)中，可以借助Mathematica軟件的仿真模擬功能，將一些抽象的物理過(guò)程和物理知識(shí)生動(dòng)地展示出來(lái)，從而有助于學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的理解，提高物理課堂教學(xué)的效率。

1 平拋運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)現(xiàn)狀

平拋物體的運(yùn)動(dòng)是高中物理中的一個(gè)重點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容。作為學(xué)生接觸的第一種曲線運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中物體的受力分析、運(yùn)動(dòng)方向的變化以及運(yùn)動(dòng)軌跡都極易使學(xué)生產(chǎn)生困惑。雖然教師講解時(shí)可以輔以演示實(shí)驗(yàn)幫助說(shuō)明平拋物體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和原理，但是演示實(shí)驗(yàn)的瞬時(shí)性和不可再現(xiàn)性，往往不利于演示目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。因而，平拋運(yùn)動(dòng)成為高中物理教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)［2］。人教版《物理·必修2》教材中提供了多種實(shí)驗(yàn)方案［3］。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，按教材介紹的實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行操作時(shí)，存在以下不足之處。

方案一:利用實(shí)驗(yàn)室的斜面小槽等器材裝配如圖1所示的裝置。鋼球從斜槽上滾下，沖過(guò)水平槽飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)。每次都使沾墨的鋼球在斜槽上同一位置滾下，描出小球經(jīng)過(guò)的位置。通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，在豎直白紙上記錄鋼球所經(jīng)過(guò)的多個(gè)位置，以得到鋼球做平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡［4］。但方案一實(shí)驗(yàn)器材的組裝和調(diào)試既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，軌跡點(diǎn)的定位操作難度大，準(zhǔn)確率低且效果不理想［3］。

方案二:如圖2所示，倒置的飲料瓶?jī)?nèi)裝著水(實(shí)驗(yàn)時(shí)水不能低于A 細(xì)管)，瓶塞內(nèi)插著兩根兩端開口的細(xì)管，其中一根彎成水平，且水平端加接一段更細(xì)的硬細(xì)管作為噴嘴。水從噴嘴中射出，在空中形成彎曲的細(xì)水柱，它顯示了平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡，將它描在背后的紙上就能進(jìn)行相應(yīng)的分析處理［4］。方案二是一個(gè)器材易得、便于操作、可行性較高的實(shí)驗(yàn)方案。但操作的時(shí)候常擔(dān)心隨著水位下降，水流速度降低，影響實(shí)驗(yàn)所得軌跡的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性，不利于得到平拋運(yùn)動(dòng)軌跡［5］。

方案三:用數(shù)碼照相機(jī)或數(shù)碼攝影機(jī)記錄平拋運(yùn)動(dòng)的軌跡。方案三雖然具有科學(xué)準(zhǔn)確的特點(diǎn)，但不少學(xué)校因條件有限，僅有一兩套數(shù)字化實(shí)驗(yàn)器材，不能滿足學(xué)生分組實(shí)驗(yàn)的要求。同時(shí)，學(xué)生對(duì)于實(shí)驗(yàn)原理也不易理解［3］。

目前，采用計(jì)算機(jī)輔助物理教學(xué)的方式有多種，購(gòu)買商品化的PPT，采用Authorware、Flash等軟件自己制作等，這些方式各有特點(diǎn)，但也存在一些問(wèn)題，購(gòu)買商品化的軟件不一定符合教學(xué)班的實(shí)際情況，有些界面做得很炫，吸引了學(xué)生的注意力，削弱了教學(xué)效果，也無(wú)法根據(jù)教師的想法變化。針對(duì)以上情況，我們提出應(yīng)用Mathematica制作帶強(qiáng)交互性的平拋運(yùn)動(dòng)虛擬實(shí)驗(yàn)以方便該課程教學(xué)。

圖1 平拋運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)方案一裝置

圖2 平拋運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)方案二裝置

2 平拋運(yùn)動(dòng)模型的制作

2.1 平拋運(yùn)動(dòng)知識(shí)點(diǎn)的分解

平拋運(yùn)動(dòng)，是指物體以一定的初速度水平方向拋出，如果物體僅受重力作用時(shí)所做的運(yùn)動(dòng)，可分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)以及豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。

2.2 模型設(shè)計(jì)

為了學(xué)生更好地理解平拋運(yùn)動(dòng)，這個(gè)物理模型里同時(shí)模擬了自由落體運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)。紅色的小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，綠色的小球做平拋運(yùn)動(dòng)。紅色的小球初速度為零，只受重力作用，豎直加速度為g。綠色的小球有水平初速度V0，只受重力作用，因此豎直加速度也為g。

在平拋運(yùn)動(dòng)中有兩個(gè)控制變量，初速度V0:{V0，1，V0max}，運(yùn)動(dòng)時(shí)間tmax:{tmax，0，tfinal}，另外為更好地展示運(yùn)動(dòng)情況也可以把時(shí)間間隔dt:{dt，0.1，1}設(shè)置為控制變量。在應(yīng)用Mathematica的模型制作中，我們應(yīng)用了一個(gè)簡(jiǎn)單的命令Manipulate［expr，{u，umin，umax}］，創(chuàng)造出豐富的交互應(yīng)用，其中expr 為任圖形的表達(dá)式，{u，umin，umax}用于生成一個(gè)操作尺(滑尺)，控制變量u 從umin到umax 變化。

Disk［{x，y}，r］是Mathematica中的一個(gè)二維圖形命令，用來(lái)表示以點(diǎn)為x、y中心，r 為半徑的圓，我們采用這個(gè)命令來(lái)表示運(yùn)動(dòng)的小球。半徑r 設(shè)置為1.5，x、y分別為含有t的表達(dá)式或者含有t的自定義函數(shù)。自由落體運(yùn)動(dòng)的紅色小球和平拋運(yùn)動(dòng)的綠色小球在豎直方向的運(yùn)動(dòng)方程都是h=gt2/2，自定義函數(shù)為y［t_］:=－4.9* t^2(注:g 取9.8 m/s2)。在水平方向，自由落體運(yùn)動(dòng)x=0，平拋運(yùn)動(dòng)x= V0* t。所以自由落體運(yùn)動(dòng)的小球:Disk［{0，y［t］}，1.5］，平拋運(yùn)動(dòng)的小球:Disk［{V0* t，y［t］}，1.5］。

程序如下:

y［t_］:=－4.9* t^2;v0max=30;tfinal=6;dt=0.1;

Manipulate［Show@Table［Graphics［{Red，Disk［{0，y［t］}，1.5］，Green，Disk［{v0* t，y［t］}，1.5］}，F(xiàn)rame－＞True，GridLines－＞Automatic，GridLinesStyle－＞Directive［Orange，Dashed］，PlotRange－＞{{－1，v0max* tfinal+5}，{－4.9* tfinal^2+5，2}}］，{t，0，tmax，dt}］，{v0，1，v0max}，{dt，0.1，1}，{tmax，0，tfinal}］

其中，Graphics 是二維圖形命令，用于繪制兩個(gè)不同顏色的小球，一個(gè)紅色，一個(gè)綠色。Show@Table是復(fù)合函數(shù)，用來(lái)同時(shí)展示每一次時(shí)間間隔后的兩個(gè)不同小球的位置。

2.3 模型在教學(xué)中的應(yīng)用

該程序同時(shí)按下Shift和Enter 鍵即可運(yùn)行，如圖3所示，點(diǎn)開V0，dt，tmax 右邊的加號(hào)(圖3中橢圓圈處)，就會(huì)出現(xiàn)圖4所示界面，可在V0和dt 下方的文本框中分別設(shè)置初速度和小球顯示的時(shí)間間隔，也可采用滑塊(圖4中小紅矩形框選處)設(shè)置初速度和時(shí)間間隔。按下播放鍵(圖4中小矩形框處)，就可以看到自由落體和平拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。學(xué)生很容易就能發(fā)現(xiàn)在模擬實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，平拋運(yùn)動(dòng)小球和自由落體運(yùn)動(dòng)的小球總是同時(shí)到達(dá)同一個(gè)高度，可據(jù)此推斷平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向的運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng)。

圖3 平拋運(yùn)動(dòng)仿真程序界面

圖4 仿真界面初始值設(shè)置

在坐標(biāo)系中將鼠標(biāo)移到小球的軌跡上點(diǎn)擊右鍵，則可獲取該時(shí)刻對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。圖5 是V0=16 m/s，t=4 s時(shí)綠色小球的坐標(biāo)。通過(guò)時(shí)間間隔dt的設(shè)置可以更清楚地了解不同時(shí)間間隔小球的運(yùn)動(dòng)情況，可以更好地幫助學(xué)生理解自由落體運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)。圖6 是V0=16 m/s，t=5.6 s，時(shí)間間隔dt=0.7 s的圖像，平拋物體的運(yùn)動(dòng)軌跡為一拋物線。在相同時(shí)間間隔，越往下小球相隔的豎直距離越大。為演示效果，將dt 設(shè)置為1 s 或者0.5 s，再次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可通過(guò)獲取平拋運(yùn)動(dòng)小球的各個(gè)縱坐標(biāo)，探究平拋運(yùn)動(dòng)小球豎直位移和時(shí)間的關(guān)系。學(xué)生亦可通過(guò)獲取平拋運(yùn)動(dòng)小球多個(gè)橫坐標(biāo)，計(jì)算出相同時(shí)間間隔的水平位移相等，推斷出平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向的運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)。

圖5 dt為0.1 s時(shí)的仿真結(jié)果

圖6 dt為0.7 s時(shí)的仿真結(jié)果

改變初速度V0=16 m/s，時(shí)間間隔dt=0.1 s，單擊tmax后面的播放鍵，能清楚地看到兩個(gè)小球運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程。圖7 是初速度V0=16 m/s，時(shí)間間隔dt=0.1 s的兩個(gè)不同時(shí)刻的截圖，其中a是t=4.08 s時(shí)的截圖，b 是t=5.8 s時(shí)的截圖。改變小綠球的水平初速度V0=26 m/s，重復(fù)模擬實(shí)驗(yàn)。圖8、圖9 是初速度V0=26 m/s，時(shí)間間隔dt=0.1 s的兩個(gè)不同時(shí)刻的截圖。從4個(gè)截圖可以看到自由落體的小紅球和平拋運(yùn)動(dòng)的小綠球總是同時(shí)到達(dá)同一高度，這說(shuō)明平拋運(yùn)動(dòng)在豎直方向的分運(yùn)動(dòng)確是自由落體運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間只與豎直高度有關(guān)。學(xué)生不難從4個(gè)截圖中得出結(jié)論，在同一時(shí)刻水平初速度大者水平位移大，小球水平位移與時(shí)間及水平初速度有關(guān)。

使用Mathematica制作的平拋運(yùn)動(dòng)的仿真實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可以任意設(shè)置初速度、時(shí)間間隔等參數(shù)，可以隨時(shí)暫停平拋運(yùn)動(dòng)，也可以獲取任何需要的坐標(biāo)，可通過(guò)對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)仿真實(shí)驗(yàn)的觀察，總結(jié)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律。通過(guò)這種方式的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)平拋運(yùn)動(dòng)不僅有感性的認(rèn)識(shí)亦有理性的理解。

圖7 不同時(shí)刻的截圖

圖8 初速度改變后截圖對(duì)比

圖9 初速度改變后截圖對(duì)比

3 結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用Mathematica軟件制作了中學(xué)物理的一個(gè)重要教學(xué)內(nèi)容——平拋運(yùn)動(dòng)，其設(shè)計(jì)過(guò)程簡(jiǎn)單，容易學(xué)習(xí)，可以生動(dòng)形象地在課堂上仿真平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程，還可以通過(guò)調(diào)節(jié)參數(shù)，實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)地模擬平拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)情況，增強(qiáng)教學(xué)的生動(dòng)性，形象性和互動(dòng)性;另外教師也能根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況隨意增刪內(nèi)容，加深學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，使學(xué)生更深刻地理解其中的物理規(guī)律。

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［3］劉悅.研究平拋運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)方案的改進(jìn)［J］.物理通報(bào)，2013(8):75.

［4］物理課程教材研究開發(fā)中心.物理必修2［M］.人民教育出版社，2004.

［5］李家明.“研究平拋運(yùn)動(dòng)”實(shí)驗(yàn)的改進(jìn)［J］.中小學(xué)實(shí)驗(yàn)與裝備，2012，22(1):33.