基于排隊論的機動車道數(shù)量設(shè)計探索

□ 李 京 李 麗

一、引言

近年來隨著國家經(jīng)濟突飛猛進式的增長，汽車保有量也隨之急劇上升，城市道路車流量已趨于飽和，北京市政府采取了多種措施以緩解交通擁堵如限行、搖號等，但仍然無法改善城市中心擁堵的現(xiàn)狀，所以進行機動車道數(shù)量的設(shè)計也是緩解交通擁堵的一種好的方法。機動車道作為交通運輸系統(tǒng)中最為重要的載體，在道路的通行能力上擁有著舉足輕重的地位，而車道數(shù)量是其宏觀設(shè)計的主要指標，如果車道數(shù)量不適應(yīng)現(xiàn)有機動車流量，它就會成為交通硬件上的一個瓶頸，那么就會發(fā)生通行率低以至于堵塞的后果。所以本文通過排隊論模型對機動車道數(shù)量進行合理的規(guī)劃設(shè)計，以充分發(fā)揮車道的基本作用。

二、排隊論概述

(一)排隊論概念及發(fā)展。排隊論是研究“服務(wù)”系統(tǒng)因“需求”擁擠而產(chǎn)生等待行列及排隊的現(xiàn)象，以及合理協(xié)調(diào)“需求”與“服務(wù)”關(guān)系的數(shù)學(xué)理論，也稱隨機服務(wù)系統(tǒng)理論［1］。最早有關(guān)排隊論的著作是1909年爾蘭發(fā)表的電話交換機使用情況的論文;第二次世界大戰(zhàn)之后運籌學(xué)得到了蓬勃的發(fā)展，排隊論的論述已十分普及;二十世紀六十年代，排隊論的研究日趨復(fù)雜，在應(yīng)用方面進入到了交通、生產(chǎn)、服務(wù)方面［2～4］。凡是出現(xiàn)擁堵現(xiàn)象的領(lǐng)域，都可以運用排隊論［5］。在道路交通系統(tǒng)中就存在大量的排隊現(xiàn)象，如信號燈、公交站、收費站［6～8］等。本文即以排隊論為基礎(chǔ)，對機動車道數(shù)量進行深入研究。

(二)排隊論系統(tǒng)。一般的排隊系統(tǒng)都有三個基本組成部分［9］:輸入過程;排隊規(guī)則;服務(wù)機構(gòu)。圖1則為機動車道排隊系統(tǒng)的一般模型。

輸入即指顧客到達排隊系統(tǒng)。顧客的總體組成分為有限型與無限型，機動車源源不斷地到達特定的機動車道，可以看作是總體為無限型。顧客相繼到達的時間間隔有確定型和隨機型兩種，顯然通過路口的機動車到達時間不可預(yù)測，因此是隨機型的。

圖1 機動車道排隊系統(tǒng)一般模型

排隊規(guī)則分為即時制與等待制，機動車道上的汽車流期望通過路口就必須堅持到服務(wù)為止，因此屬于后者。且機動車按次序依次通過，符合先到先服務(wù)原則。

服務(wù)機構(gòu)根據(jù)機動車道數(shù)量排隊系統(tǒng)可分為單隊－單服務(wù)臺情形與多隊－多服務(wù)臺情形，即單機動車道機構(gòu)與多機動車道機構(gòu)。和輸入過程類似，服務(wù)時間分為確定型與隨機型，顯然機動車因避讓行人、交通擁堵、信號燈變化使得通過路口的時間各有差異，所以此研究的服務(wù)時間為隨機型。

三、排隊論模型

(一)單機動車道排隊模型。圖2為單機動車道排隊模型，即M/M/1///FCFS模型。

圖2 單機動車道排隊模型

基本假設(shè):機動車到達服從泊松分布，平均到達速率為λ(λ＞0)，相鄰兩輛車間隔時間為1/λ，機動車數(shù)為∞;服務(wù)時間相互獨立且服從負指數(shù)分布，接受服務(wù)的輸出率為μ(μ＞0)，對每輛機動車的服務(wù)時間為1/μ;一條機動車道;系統(tǒng)容量為∞。

指標:交通強度ρ=λ/μ。當ρ＜1時，在時間充分的條件下狀態(tài)穩(wěn)定，此時的交通順暢;當ρ≥1時，狀態(tài)不穩(wěn)定，隊會越來越長，呈現(xiàn)擁堵狀態(tài)。由差分方程與little公式等可推出以下公式:

系統(tǒng)中沒有機動車的概率:

系統(tǒng)中有n輛機動車的概率:

系統(tǒng)中的平均機動車數(shù):

隊列中等待的平均機動車數(shù):

系統(tǒng)中機動車平均逗留時間:

隊列中機動車平均等待時間:

(二)多機動車道排隊模型。圖3為多機動車道排隊模型，即M/M/N///FCFS模型。

圖3 多機動車道排隊模型

指標:P=λ/Nμ。假設(shè)機動車道數(shù)N＜系統(tǒng)中車輛數(shù)n。

系統(tǒng)中沒有機動車的概率:

系統(tǒng)中有n輛機動車的概率:

系統(tǒng)中的平均機動車數(shù):

隊列中等待的平均機動車數(shù):

系統(tǒng)中機動車平均逗留時間:

隊列中機動車平均等待時間:

四、數(shù)學(xué)模擬分析

假設(shè)一個單向路口的車流量為900L/h，考慮延遲因素和駕駛員理想狀態(tài)通過，每輛車通過時間為10s，對此模擬路口進行機動車道數(shù)設(shè)計。

單機動車道排隊模型:

λ =900/3600=0．25，μ =1/10=0．1，ρ =2．5 ＞1，此方案不成立

多機動車道排隊模型:

N=2:λ =0．25，μ =0．1，ρ =0．25/(2*0．1)=1．25，此方案不成立。

N=3:λ =0．25，μ =0．1，ρ =0．25/(3*0．1)=0．83 ＜ 1，此方案成立。

Ρ0=0．172，L5=15．210，Lq=12．170，W5=60．841，Wq=48．680。

N=4:λ =0．25，μ =0．1，ρ =0．25/(4*0．1)=0．625 ＜1，此方案成立。

P0=0．612，L5=6．923，Lq=4．423，W5=27．692，Wq=17．692。

N=5:λ =0．25，μ =0．1，ρ =0．25/(5*0．1)=0．50 ＜ 1，此方案成立。

Ρ0=0．832，L5=3．268，Lq=0．768，W5=13．072，Wq=3．072。

數(shù)據(jù)結(jié)果的比較如圖4、圖5所示。

圖4 當車道數(shù)分別為3、4、5時Ls、Lq值

圖5 當車道數(shù)分別為3、4、5時Ws、Wq值

通過模擬分析，發(fā)現(xiàn)N=1或2時，ρ＞1，排隊過長，為不穩(wěn)定狀態(tài)，方案不成立;當N=3、4、5時，ρ＜1，呈穩(wěn)定狀態(tài)，模型暢通，方案都成立。從表1、表2體現(xiàn)出的數(shù)據(jù)中，顯然機動車道數(shù)越多，排隊中的車輛越少，等待的時間越短。但是從數(shù)據(jù)變化折線的斜率可以看出，車道數(shù)從3變?yōu)?時，平均等待時間與平均等待機動車數(shù)的下降速率是顯著提高的，而車道數(shù)從4變?yōu)?時，這幾個指標的變化率相比之前顯著減少。結(jié)合現(xiàn)實中經(jīng)濟成本方面考慮，每增加一條車道數(shù)需要占用更多的土地與資金成本。所以從此數(shù)學(xué)模擬綜合分析，機動車道數(shù)為4時基本能夠滿足交通比較順暢，經(jīng)濟方面比較適中，因此選擇建設(shè)4條機動車道的方案。

五、實例評價

選取北京市海淀區(qū)五道口展春園西路作為實驗數(shù)據(jù)測量地點，選早高峰為待測時間間隔(此路段在由南向北方向有3條機動車道)。表1為在8:00～8:30的時段中每5分鐘所通過的機動車輛數(shù)，表2為在紅燈亮?xí)r及紅燈沒有亮?xí)r分別隨機取得的4輛機動車的通行時間。

表1 每時段通過的機動車輛數(shù)

表2 有無紅燈下的機動車通行時間

(一)數(shù)據(jù)計算。機動車道數(shù)N=3;車流量λ=281/1800=0．156;平均通行時間 t=(501+138)/8=79．875;通行效率 μ =1/79．875=0．013;交通強度 ρ=/(Nμ)=0．156/(3*0．013)=4 ＞1。

(二)結(jié)果評估。通過實驗測得的數(shù)據(jù)結(jié)果計算出交通強度大于1，按機動車道模型的指標可以得出在此時間間隔中交通是擁堵的。而在實際測量過程中以行人和駕駛員的經(jīng)驗也認為此時段交通不順暢。所以模型得出的具體結(jié)果與實際相符，可以用來對現(xiàn)有機動車道數(shù)是否能使交通順暢進行評價。

六、改善方法

利用機動車道排隊模型可以規(guī)劃設(shè)計未來城市道路的機動車道數(shù)量，而因機動車道較少而引起交通擁堵可通過下面三個方法解決:

(一)拓寬馬路以增加機動車道數(shù)量。在行人與非機動車數(shù)量較少的道路上可以適當減少人行道與非機動車道的寬度，增加機動車道數(shù)量以緩解交通擁堵的現(xiàn)狀。這種方法的優(yōu)點是成本適中，缺點是作用有限且影響行人與非機動車交通感受。

(二)將機動車道“瘦身”以增加機動車道數(shù)量。由于國家政策的變化，目前機動車道標準寬度小于從前，可以在不改變其他設(shè)施的情況下減緩擁堵現(xiàn)象。這種方法的優(yōu)點是成本極低，基本改變其他現(xiàn)狀，減少駕駛員插縫隙的習(xí)慣也更加安全，缺點是增加的車道數(shù)有限且因車型大小道寬的設(shè)計需著重考慮。

(三)在車流量較大的地段建設(shè)高架。在經(jīng)濟發(fā)達的大城市的車流量極大的地段可以建設(shè)高架，這也是變相增多機動車道數(shù)量以通過分流來減緩交通擁堵。它的優(yōu)點是高架可以成倍地增加車道數(shù)目，特別適合車流量多的中心地帶，但缺點也很明顯，高架的成本極高，且會在一定程度上改變周圍環(huán)境。

以上三種方式都可以通過增加機動車道數(shù)目達到緩解交通擁堵的目的，它們也有各自的優(yōu)缺點，在實際問題上需要具體問題具體分析，使改善方案更經(jīng)濟、更合理。

七、結(jié)語

本文從滿足大型城市交通擁堵的實際情況出發(fā)，從另一角度提出利用排隊論來規(guī)劃設(shè)計機動車道數(shù)量以緩解交通擁堵的想法。通過實踐證明，機動車道排隊模型可以評價現(xiàn)有機動車道數(shù)是否符合機動車流量以優(yōu)化改善，或者通過機動車流量來設(shè)計機動車道數(shù)量以使交通暢通。有關(guān)部門可以以此作為參考來進行未來道路的規(guī)劃建設(shè)與現(xiàn)有道路改善優(yōu)化。

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