溝通圖式聯(lián)系提升思維能力
——《兩積之和》教學實錄與思考

姜 匯

【教學過程】

一、圖形導入，初步感知

師：下面這兩個是什么圖形？會求它們的面積嗎？

（學生口頭回答，教師板書：6×7 10×12）

師：如果把這兩個長方形平移到一起，它們有一條公共邊，你能想象出是什么樣子嗎？會計算這個組合圖形的面積嗎？

生：只要把前面兩個算式加起來就是組合圖形的面積。

（教師板書：6×7+10×12=162）

【設計意圖：對于學生來說，長方形比較直觀，有利于幾何模型的建立。從解決問題出發(fā)，讓學生想象平移的過程，學生的思維更加積極主動?！?/p>

二、變化溝通，尋找聯(lián)系

1.改變信息，提高難度。

師：我們能不能把已知的信息變化一下，提高一點難度呢？

生：可以把直接的信息改成間接的信息。

師：你是這個意思嗎？說說你看懂這幅圖了嗎？你們會求它的總面積嗎？

生：6×7+（18-6）×10=162。

師：還有其他方法嗎？

生：我還可以把這個圖形上下分割，這樣算式就是：18×7+（10-7）×（18-6）=162。

師：說的真好!先說思路，再說方法。還有其他的方法嗎？

生：我還有一種方法！把這個組合圖形看成一個大的長方形，再去掉空白的部分，算式就是：18×10-（10-7）×6=162。

師：研究同一個問題，我們可以有不同的角度、不同的思路。

2.觀察對比，確定主題。

師：請觀察這三個算式，他們在結構上有什么相同的？

生：它們都是先算兩個算式乘積再相加的。

生：它們的得數(shù)都是相同的。

師：像這樣先分別求積，再求兩部分的和，在數(shù)學上我們可以把它稱為：兩積之和（板書）。

師：那這樣的算式18×10-（10-7）×6=162我們可以叫它什么呢？

生：兩積之差。

師：同學們真會遷移，今天我們重點研究兩積之和。

3.深入研究，反饋交流。

師：我們繼續(xù)提高難度，哪里變了？

生：出現(xiàn)了未知數(shù)。

師：現(xiàn)在你還能寫出像這樣的兩積之和的等式嗎？

（學生獨立研究，反饋交流）

師：（出示：162-12×10）÷7=△7×△+10×12=162）這兩個算式你支持哪一種？為什么？

生：支持第二個算式，因為這是兩積之和的結構。

師：那這兩種方法之間有聯(lián)系嗎？

生：有聯(lián)系，第一個算式就是把第二個算式反過來。

生：162是面積和，去掉12×10這個面積就能得到另一個長方形面積，再除以7就得到它的寬，第一個算式就是求未知數(shù)的。

師：你們真會觀察，看來只要列出了兩積之和的，等式我們就可以用第一種方法來求出圖形代表的數(shù)。也就是說：第二個算式是兩積之和的正運算，那第一個算式就是它的逆運算。

師：又發(fā)生了什么變化？你還能列出兩積之和的算式嗎？

生：未知數(shù)的位置發(fā)生了變化。

師：你還能寫出兩積之和的算式嗎？

（學生獨立列式，根據(jù)學生表述，板書：10×△+7×（18-△）=162 7×18+△×（10-7）=162）

師：這兩組算式有什么不同？

生：第一組沒有未知數(shù)，第二組算式中出現(xiàn)了未知數(shù)。

師：雖然算式一次比一次復雜，無論有沒有未知數(shù)，它們的主體結構都沒有變化。我們都可以列出求兩積之和的等式。

【設計意圖：改編題目提高難度，雖然學生不太習慣，但很有價值，學生會有角色互換的感覺，這個過程他們需要進行更多的思考。讓學生不解答應用題，通過多次觀察、對比、聯(lián)系感知無論信息怎樣變化，求面積的基本方法都是不變的，從計算方法上都可以應用“兩積之和”的數(shù)學模型，逐漸概括出幾何模型和數(shù)量關系的聯(lián)系。設計有未知數(shù)的信息參與，在交流討論中分別呈現(xiàn)正向題和逆向題，強調“圖”和“式”的聯(lián)系，利用圖去幫助分析數(shù)量關系。讓學生可以借助幾何模型將復雜的數(shù)學問題變得更加簡單、明了，化難為易，從而感知模型的建立可以使數(shù)學問題的解決更加方便。進一步落實兩積之和的數(shù)學模型?！?/p>

三、實際應用，體會價值

1．結合生活再次溝通。

例1.美術老師買了兩種油畫棒共18盒，一種每盒10元，一種每盒7元，7元的買了6盒，一共花去多少元？

師：這道題和下面這幅圖之間有沒有聯(lián)系？先思考一下，再小組交流。

生：有聯(lián)系。油畫棒共18盒，就等于小長方形和大長方形的總長，10元就等于大長方形的邊長，每盒7元是小長方形的邊長，7元買了6盒，7×6就算出了小長方形的面積，兩個長方形的面積就是兩種油畫棒的價格。

生：一共花去了162元，就是這個組合圖形的總面積。

師：表述的真清楚，如果是租船問題你能把題目中的數(shù)量填到圖中相應的位置嗎？

例2.同學們去劃船，一共租了18條船，小船每條坐7人，租了6條，大船每條坐10人，一共有多少人？

（學生獨立填寫，反饋交流，學生回答略）

師：在這個幾何圖形中我們找到了這兩道應用題的影子，再和算式溝通聯(lián)系起來，這就是一個兩積之和的數(shù)學模型。

2.下面三幅圖請你任選一幅圖編一道用兩積之和解決的問題。

生：我編的是第一幅圖。去水果店買蘋果，紅蘋果5元一個就是這個大長方形的寬，一共買了6個就是大長方形的長；青蘋果是4元一個就是小長方形的長，一共買了3個就是小長方形的寬，一共用了多少錢就是小長方形的面積加上大長方形的面積，算式是：3×4+5×6=42。

（再請學生逐一交流第二、三幅圖，并請學生互相點評）

【設計意圖：數(shù)與形的聯(lián)系不是一蹴而就的，需要循序漸進，螺旋上升。要讓學生保持較高的學習興趣，教師在設計問題時還要有一些挑戰(zhàn)性?；灸Ｐ徒⒑筮€需要與生活建立聯(lián)系，體會數(shù)學學習的價值。本環(huán)節(jié)從解決問題溝通圖形和算式聯(lián)系到給出幾何圖形讓學生對應模型自主編題，從正向和逆向兩個角度溝通聯(lián)系代數(shù)問題與圖形之間的互相轉化、互相滲透、數(shù)形結合，是學生數(shù)學思維能力一個提升的過程?！?/p>